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Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI:
Il corso di Matematica Generale fornisce elementi teorici e pratici essenziali per i percorsi di studio in Economia, con un focus sull'Analisi Matematica. Il corso affronta argomenti fondamentali dell'analisi matematica, quali lo studio delle funzioni, i problemi di ottimizzazione e l’algebra lineare, in modo funzionale alla trattazione di applicazioni economiche e finanziarie.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
Le principali conoscenze acquisite includono i concetti di insieme, limite, funzione, derivata, integrale, vettore, rango, dipendenza ed indipendenza lineare, i sistemi di equazioni lineari,. Lo/la studente acquisisce le conoscenze di base per lo studio di una funzione e l'analisi di grafici.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Le principali abilità acquisite si realizzano nella messa in pratica delle conoscenze teoriche al fine di risolvere esercizi e problemi pratici, come lo studio di funzione e la risoluzione di sistemi lineari. In particolare, lo studio dei problemi di ottimizzazione e la risoluzione di sistemi lineari potranno essere applicati al fine di risolvere problemi di carattere economico.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Lo studio del corso di Matematica Generale consente di acquisire un metodo di studio, competenze logico-formali e capacita' di astrazione autonome, fondamentali sia nell'applicazione degli studi in ambito professionale che per la prosecuzione degli studi in ambito teorico.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Il corso si prefigge di sviluppare competenze comunicative che permettano di esprimere in modo chiaro, esaustivo, eventualmente sintetico, ma senza semplificazioni, e con un linguaggio adeguato le conoscenze acquisite.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO:
L'acquisizione di concetti e metodi matematici elementari aiuta a leggere e comprendere argomentazioni tecniche presenti in testi di divulgazione e articoli in modo autonomo, con particolare attenzione alle discipline economiche.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
The course of Calculus provides essential theoretical and practical elements for study paths in Economics, with a focus on Mathematical Analysis. The course covers fundamental topics of mathematical analysis, such as the study of functions, optimization problems, and linear algebra, in a way that is functional for the treatment of economic and financial applications.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The main acquired knowledge includes the concepts of set, limit, function, derivative, integral, vector, rank, linear dependence and independence, as well as systems of linear equations. The student acquires the basic knowledge for studying a function and analyzing graphs.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The main acquired skills are realized in the practical application of theoretical knowledge to solve exercises and practical problems, such as the study of functions and the resolution of linear systems. In particular, the study of optimization problems and the resolution of linear systems can be applied to solve economic problems.
MAKING JUDGEMENTS:
The study of Calculus allows students to acquire a study method, logical-formal skills, and autonomous abstraction abilities, which are fundamental both for the application of studies in the professional field and for the continuation of studies in the theoretical field.
COMMUNICATION SKILLS:
The course aims to develop communication skills that allow students to express the acquired knowledge clearly, comprehensively, possibly concisely, avoiding oversimplification, and with appropriate language.
LEARNING SKILLS:
Acquiring elementary mathematical concepts and methods helps in reading and understanding technical arguments present in popular science texts and articles independently, with particular attention to economic disciplines.
Prerequisiti
La matematica delle scuole superiori: numeri naturali, interi, razionali e irrazionali, calcolo algebrico, equazioni e diseguaglianze di primo e secondo grado, logaritmi.
Prerequisites
High school mathematics: natural, integer, rational, and irrational numbers, basic algebraic ccomputations, first and second-degree equations and inequalities, logarithms.
Programma
Elementi di teoria degli insiemi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, complementare, insieme delle parti, prodotto cartesiano. Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali, reali e loro proprietà generali. Topologia della retta reale: insiemi aperti, chiusi, punti interni, esterni, di frontiera, maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore di un sottoinsieme di R. (10 ore)
Funzioni reali di variabile reale. Funzioni crescenti, decrescenti, monotone, funzione composta, funzione inversa. Successioni di numeri reali: limite di una successione, proprietà ed esempi vari. Il numero "e". Serie numeriche, serie geometrica. Le funzioni esponenziale e logaritmo: principali proprietà, cenni sulle funzioni trigonometriche e loro inverse. (8 ore)
Limiti di funzioni: definizioni, esempi e proprietà. Funzioni continue. Massimi e minimi locali e globali. Il teorema di Weierstrass, il teorema della permanenza del segno. Il teorema di esistenza degli zeri. Funzioni derivabili: definizione, esempi. Regole di derivazione. Derivate di ordine superiore. Concavità e convessità. Polinomio di Taylor. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Forme indeterminate e teorema di de L'Hopital. Studio grafico di funzioni. (20 ore)
L'integrale definito: definizione e principali proprietà. Integrale indefinito. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. L'integrazione per parti e per sostituzione. (6 ore)
Algebra Lineare: Spazi vettoriali. Matrici e sistemi lineari. Operazioni su matrici. Determinante e matrici invertibili. Rango di una matrice. I teoremi di Cramer e di Rouche-Capelli. (10 ore)
Program
Elements of Set Theory. Operations between sets: union, intersection, complement, power set, Cartesian product. Number sets: natural numbers, integers, rational numbers, real numbers, and their general properties. Topology of the real line: open sets, closed sets, interior points, exterior points, boundary points, upper bounds, lower bounds, supremum, and infimum of a subset of R. (10 hours)
Real functions of a real variable. Increasing, decreasing, and monotonic functions, composite function, inverse function. Sequences of real numbers: limit of a sequence, properties, and various examples. The number "e". Numerical series, geometric series. Exponential and logarithmic functions: main properties, brief notes on trigonometric functions and their inverses. (8 hours)
Limits of functions: definitions, examples, and properties. Continuous functions. Local and global maxima and minima. Weierstrass's theorem, the sign permanence theorem, the zero existence theorem. Differentiable functions: definition, examples. Differentiation rules. Higher-order derivatives. Concavity and convexity. Taylor polynomial. Rolle's and Lagrange's theorems. Indeterminate forms and L'Hopital's rule. Graphical study of functions. (20 hours)
The definite integral: definition and main properties. Indefinite integral. The fundamental theorem of calculus. Integration by parts and substitution. (6 hours)
Linear Algebra: Vector spaces. Matrices and linear systems. Matrix operations. Determinant and invertible m
Testi Adottati
Marcellini, Sbordone. Matematica generale (Liguori 2007)
Bibliografia
Prontuario di Matematica Generale - Barzanti, Benvenuti, Pezzi (Esculapio 2018)
Bibliography
Carl P. Simon, Lawrence E. Blume, Mathematics for Economists (International Student Edition)
Modalità di svolgimento
Modalità di lezione convenzionale (lezione frontale con lavagna o proiettore).
Lezioni di teoria con esempi ed esercizi. Tutorati di esercizi per chiarificare e prendere confidenza con le nozioni apprese.
Teaching methods
Standard lectures with blackboard/projector.
Lectures with theory, examples and exercises. Practice sessions to clarify and improve confidence with the theoretical notions.
Regolamento Esame
L'esame finale prevede una prova scritta in cui vengono proposti esercizi e domande teoriche sugli argomenti più significativi del programma (limiti, studio di funzione, derivate, integrali, matrici, sistemi lineari). Con una votazione sufficiente (di 18/30) lo/la studente può scegliere se verbalizzare il voto dello scritto. La prova orale è prevista, a discrezione del docente, nei casi in cui la valutazione dell'elaborato scritto non permette una piena e chiara comprensione del livello di preparazione dello studente. La prova d'esame valuta più in generale la preparazione complessiva dello studente, la capacità di integrazione delle conoscenze delle diverse parti del programma, la consequenzialità del ragionamento, la capacità analitica e l'autonomia di giudizio. Vengono altresi valutate la proprietà di linguaggio, la chiarezza espositiva e il rigore matematico.
La prova di esame sarà valutata in trentesimi (con possibilità di Lode) secondo i seguenti criteri:
Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.
18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.
21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti. Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio.
Per la verifica della preparazione attraverso esame, non sono previste differenze tra frequentanti e non frequentanti.
Exam Rules
The final exam includes a written test that features exercises and theoretical questions on the most significant topics of the syllabus (limits, function study, derivatives, integrals, matrices, linear systems). With a sufficient score (18/30), the student can choose whether to record the written test grade. An oral exam is at the discretion of the professor in cases where the evaluation of the written test does not allow a full and clear understanding of the student's level of preparation. The exam as a whole assesses the overall preparation of the student, the ability to integrate knowledge from different parts of the syllabus, logical reasoning, analytical skills, and independent judgment. Additionally, it evaluates the student's command of language, clarity of exposition, and mathematical rigor.
The exam will be graded on a scale of thirty (with the possibility of honors) according to the following criteria:
Not suitable (Non idoneo): significant deficiencies and/or inaccuracies in the knowledge and understanding of the topics; limited analytical and synthesis skills, frequent generalizations.
18-20: barely sufficient knowledge and understanding of the topics with possible imperfections; sufficient analytical, synthesis, and independent judgment skills.
21-23: routine knowledge and understanding of the topics; correct analytical and synthesis skills with coherent logical reasoning.
24-26: good knowledge and understanding of the topics; good analytical and synthesis skills with rigorously expressed arguments.
27-29: comprehensive knowledge and understanding of the topics; considerable analytical and synthesis skills, good independent judgment.
30-30L: excellent level of knowledge and understanding of the topics; significant analytical, synthesis, and independent judgment skills.
For the assessment of preparation through the exam, there are no differences between attending and non-attending students.
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Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI: Il corso di Matematica generale fornisce sia gli elementi teorici che
quelli pratici essenziali che consentono agli studenti di affrontare le varie problematiche inerenti
l’Analisi Matematica elementare, dallo studio di funzione ai problemi di ottimizzazione liberi e
vincolati, e l’ Algebra Lineare.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Le principali conoscenze (Descrittore di
Dublino 1) riguardano come prima cosa la familiarita' con i concetti di limite, funzione, derivata..
Lo studente dovra' altresi' avere una adeguata conoscenza dei concetti di vettore, rango,
dipendenza ed indipendenza lineare e del teorema di Rouche' Capelli. Infine lo studente dovra'
apprendere i concetti fondamentali per lo studio di funzioni in piu' variabili con particolare
attenzione al calcolo differenziale in piu' variabili; derivate parziali, direzionali, differenziabilita',
Hessiano. Questo consentira' lo studio e l'impostazione di problemi di ottimizzazione in piu'
variabili anche ricorrendo alle tecniche con vincoli (Lagrangiana).
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Le principali abilità
acquisite (Descrittore di Dublino 2) si concretizzano nel fatto che gli studenti saranno in grado di
mettere in pratica le conoscenze teoriche al fine di risolvere problemi pratici, come lo studio di
funzione, il calcolo differenziale e la risoluzione di sistemi lineari. In particolare, lo studio dei
problemi di ottimo potra’ essere applicato al fine di risolvere problemi legati all’economia. Altresi
dicasi per le applicazioni ai sistemi lineari, fondamentali per la comprensione di importanti
modelli economici.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: Lo studio del corso di matematica generale consente allo studente
di acquisire un metodo di studio, fondamentale ingrediente per poter raggiungere una autonomia
nello studio e nell’apprendimento di conoscenze, qualita’ essenziale per ogni professionista.
ABILITÀ COMUNICATIVE: L’acquisizione di un metodo di studio e di lavoro aiutano anche
alla condivisione di idee e progetti, qualita’ fondamentali per un professionista.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES The main knowledge (Dublin Descriptor 1) first of all regards the
familiarity with the concepts of limit, function, derivative. The student will also have an adequate
knowledge of the concepts of vector, rank, linear dependence and independence and of the
Rouche -Capelli theorem. Finally, the student will have to learn with the study of functions in
several variables with particular attention to differential calculus in several variables; partial
derivative, differentiability, Hessian directional derivatives. This will allows to the student the
analysis and set up of optimisation problems in several variables also using constraint techniques
(Lagrangian multipliers). APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING. The main
skills acquired (Dublin Descriptor 2) are embodied in the fact that students, in order to solve
practical problems, will be able to put theoretical knowledge into practice., such as the study of
function, differential calculus and the resolution of linear systems. In particular, the study of
optimal problems can be applied to solve problems related to the economy. Moreover, regarding
linear system applications, they are fundamental to the understanding of important economic
models. MAKING JUDGEMENTS The study of mathematics allows the student to acquire a
study method, a fundamental ingredient to be able to achieve autonomy in the study and learning
of knowledge, an essential quality for every professional. COMMUNICATION SKILLS: The
study of the arguments treated in the course also helps to share ideas and projects, fundamental
qualities for a professional. LEARNING SKILLS: The acquisition of a method of study and work
also helps the student to acquire tools to learn new skills in order to solve more involved
problems.
Prerequisiti
La matematica delle scuole superiori
Prerequisites
High school mathematics
Programma
- Elementi di teoria degli insiemi
- Topologia della retta reale
- Piano cartesiano
- Elementi di teoria delle funzioni
- Funzioni reali di una variabile reale
- Dominio, codominio, grafico di una funzione
- Funzioni monotone, funzione composta, funzione inversa
- Funzioni lineari, esponenziali, logaritmi, polinomi
- Elementi di trigonometria
- Successioni e loro limiti
- Teoremi sui limiti, limiti notevoli, confronto tra limiti, regole di calcolo
- Cenni alle serie
- Limiti e continutia di funzioni reali
- Derivate: definizione, interpretazione fisica e significato geometrico
- Derivate notevoli, regole di calcolo, derivate di ordine superiore
- Studio di funzione: applicazione delle derivate per lo studio della crescenza e della decrescenza, massimi
e minimi, concavità , convessità e punti di flesso
- Differenziale e espansioni di Taylor
- Integrali definiti ed indefiniti di funzioni reali di variabile reale: costruzione e definizione
- Proprieta degli integrali
- Teorema fondamentale del calcolo integrale
- Applicazione al calcolo di integrali immediati
- Cenni alle principali tecniche di integrazione
- Elementi di algebra lineare: vettori, matrici, spazi vettoriali, dipendenza e indipendenza lineare,
operazioni con matrici, determinante, autovalori e autovettori
- Sistemi lineari: rappresentazione matriciale, teoremi di Rouche-Capelli e Cramer
- Funzioni reali di due variabili reali: curve di livello, gradiente e Hessiana
- Ottimizzazione libera e vincolata per funzioni a due variabili
Program
Elements of set theory
- Cartesian plane
- Elements of function theory
- Real-valued functions of real variable
- Domain, codomain, graph of a function
- Monotone functions, composite function, inverse function
- Linear, exponential, logarithmic, polynomial functions
- Elements of trigonometry
- Sequences and their limits
- Theorems on limits, notable limits, computation of limits, rules of comparison
- Series
- Limits and continuity of real functions
- Derivatives: definition, interpretation and geometric meaning
- Notable derivatives, computation rules, higher order derivatives
- Study of functions: applications of derivatives to study monotonicity, maximum and minimum,
concavity, convexity and inflection points
- Differential and Taylor expansions
- Definite and indefinite integrals of real valued functions of real variable: construction and
definition
- Properties of integrals
- Fundamental theorem of calculus
- Application to computation of integrals
- Outline of the main integration techniques
- Elements of linear algebra: vectors, matrices, vector spaces, linear dependence, operations
with matrices, determinant, eigenvalues and eigenvectors
- Linear systems: matrix representation, Rouche-Capelli and Cramer theorems
- Real valued functions of two real variables: level curves, gradient, Hessian
- Free and constrained optimisation for functions of two variables
Testi Adottati
Matematica generale - Marcellini, Sbordone (Liguori 2007)
Books
Matematica generale - Marcellini, Sbordone (Liguori 2007)
Bibliografia
Prontuario di Matematica Generale - Barzanti, Benvenuti, Pezzi (Esculapio 2018)
Bibliography
Mathematics For Economists - Simon, Blume (WW Norton 1994)
Modalità di svolgimento
Modalità di lezione convenzionale (lezione frontale con lavagna o proiettore).
Lezioni di teoria con esempi ed esercizi. Tutorati di esercizi per chiarificare e prendere confidenza con le
nozioni apprese.
Teaching methods
Standard lectures with blackboard/projector.
Lectures with theory, examples and exercises. Practice sessions to clarify and improve confidence with the
theoretical notions.
Regolamento Esame
La prova di esame è la stessa per frequentanti e non frequentanti. Consiste in uno scritto di esercizi e un possibile orale in cui si discute l’esame scritto e si affrontano aspetti piu teorici.
Exam Rules
The exam is the same for attending and non-attending students. It consists in a written exam with exercises and possibly an oral exam with a discussion of the written exam and then more theoretical questions.
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IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI: Il corso di Matematica generale fornisce sia gli elementi teorici che
quelli pratici essenziali che consentono agli studenti di affrontare le varie problematiche inerenti
l’Analisi Matematica elementare, dallo studio di funzione ai problemi di ottimizzazione liberi e
vincolati, e l’ Algebra Lineare.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Le principali conoscenze (Descrittore di
Dublino 1) riguardano come prima cosa la familiarita' con i concetti di limite, funzione, derivata..
Lo studente dovra' altresi' avere una adeguata conoscenza dei concetti di vettore, rango,
dipendenza ed indipendenza lineare e del teorema di Rouche' Capelli. Infine lo studente dovra'
apprendere i concetti fondamentali per lo studio di funzioni in piu' variabili con particolare
attenzione al calcolo differenziale in piu' variabili; derivate parziali, direzionali, differenziabilita',
Hessiano. Questo consentira' lo studio e l'impostazione di problemi di ottimizzazione in piu'
variabili anche ricorrendo alle tecniche con vincoli (Lagrangiana).
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Le principali abilità
acquisite (Descrittore di Dublino 2) si concretizzano nel fatto che gli studenti saranno in grado di
mettere in pratica le conoscenze teoriche al fine di risolvere problemi pratici, come lo studio di
funzione, il calcolo differenziale e la risoluzione di sistemi lineari. In particolare, lo studio dei
problemi di ottimo potra’ essere applicato al fine di risolvere problemi legati all’economia. Altresi
dicasi per le applicazioni ai sistemi lineari, fondamentali per la comprensione di importanti
modelli economici.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: Lo studio del corso di matematica generale consente allo studente
di acquisire un metodo di studio, fondamentale ingrediente per poter raggiungere una autonomia
nello studio e nell’apprendimento di conoscenze, qualita’ essenziale per ogni professionista.
ABILITÀ COMUNICATIVE: L’acquisizione di un metodo di studio e di lavoro aiutano anche
alla condivisione di idee e progetti, qualita’ fondamentali per un professionista.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES The main knowledge (Dublin Descriptor 1) first of all regards the
familiarity with the concepts of limit, function, derivative. The student will also have an adequate
knowledge of the concepts of vector, rank, linear dependence and independence and of the
Rouche -Capelli theorem. Finally, the student will have to learn with the study of functions in
several variables with particular attention to differential calculus in several variables; partial
derivative, differentiability, Hessian directional derivatives. This will allows to the student the
analysis and set up of optimisation problems in several variables also using constraint techniques
(Lagrangian multipliers). APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING. The main
skills acquired (Dublin Descriptor 2) are embodied in the fact that students, in order to solve
practical problems, will be able to put theoretical knowledge into practice., such as the study of
function, differential calculus and the resolution of linear systems. In particular, the study of
optimal problems can be applied to solve problems related to the economy. Moreover, regarding
linear system applications, they are fundamental to the understanding of important economic
models. MAKING JUDGEMENTS The study of mathematics allows the student to acquire a
study method, a fundamental ingredient to be able to achieve autonomy in the study and learning
of knowledge, an essential quality for every professional. COMMUNICATION SKILLS: The
study of the arguments treated in the course also helps to share ideas and projects, fundamental
qualities for a professional. LEARNING SKILLS: The acquisition of a method of study and work
also helps the student to acquire tools to learn new skills in order to solve more involved
problems.
Prerequisiti
La matematica delle scuole superiori
Prerequisites
High school mathematics
Programma
• Elementi di teoria degli insiemi
• Topologia della retta reale
• Piano cartesiano
• Elementi di teoria delle funzioni
• Funzioni reali di una variabile reale
• Dominio, codominio, grafico di una funzione
• Funzioni monotone, funzione composta, funzione inversa
• Funzioni lineari, esponenziali, logaritmi, polinomi
• Elementi di trigonometria
• Successioni e loro limiti
• Teoremi sui limiti, limiti notevoli, confronto tra limiti, regole di calcolo
• Cenni alle serie
• Limiti e continuita' di funzioni reali
• Derivate: definizione, interpretazione fisica e significato geometrico
• Derivate notevoli, regole di calcolo, derivate di ordine superiore
• Studio di funzione: applicazione delle derivate allo studio della crescenza e della decrescenza, massimi e minimi, concavità , convessità e punti di flesso
• Differenziale e espansioni di Taylor
• Integrali definiti ed indefiniti di funzioni reali di variabile reale: costruzione e definizione
• Proprieta degli integrali
• Teorema fondamentale del calcolo integrale
• Applicazione al calcolo di integrali immediati
• Cenni alle principali tecniche di integrazione
• Elementi di algebra lineare: vettori, matrici, spazi vettoriali, dipendenza e indipende
Program
Elements of set theory
• Cartesian plane
• Elements of function theory
• Real-valued functions of real variable
• Domain, codomain, graph of a function
• Monotone functions, composite function, inverse function
• Linear, exponential, logarithmic, polynomial functions
• Elements of trigonometry
• Sequences and their limits
• Theorems on limits, notable limits, computation of limits, rules of comparison
• Series
• Limits and continuity of real functions
• Derivatives: definition, interpretation and geometric meaning
• Notable derivatives, computation rules, higher order derivatives
• Study of functions: applications of derivatives to study monotonicity, maximum and minimum, concavity, convexity and inflection points
• Differential and Taylor expansions
• Definite and indefinite integrals of real valued functions of real variable: construction and definition
• Properties of integrals
• Fundamental theorem of calculus
• Application to computation of integrals
• Outline of the main integration techniques
• Elements of linear algebra: vectors, matrices, vector spaces, linear dependence, operations with matrices, determinant, eigenvalues and eigenvectors
• Linear systems: matrix representation, Rouche-Capelli and Cramer theorems
• Real valued functions of two real variables: level curves, gradient, Hessian
• Free and constrained optimisation for functions of two variables
Testi Adottati
Matematica generale - Marcellini, Sbordone (Liguori 2007)
Books
Matematica generale - Marcellini, Sbordone (Liguori 2007)
Bibliografia
Prontuario di Matematica Generale - Barzanti, Benvenuti, Pezzi (Esculapio 201
Bibliography
Mathematics For Economists - Simon, Blume (WW Norton 1994)
Modalità di svolgimento
Modalità di lezione convenzionale (lezione frontale con lavagna o proiettore).
Teaching methods
Modalità di lezione convenzionale (lezione frontale con lavagna o proiettore).
Regolamento Esame
La prova di esame è la stessa per frequentanti e non frequentanti. Consiste in uno scritto di esercizi e un possibile orale in cui si discute l’esame scritto e si affrontano aspetti piu teorici.
Exam Rules
he exam is the same for attending and non-attending students. It consists in a written exam with exercises and possibly an oral exam with a discussion of the written exam and then more theoretical questions.
