EN
IT
Obiettivi Formativi
Linear Algebra e Probabilità
OBIETTIVI FORMATIVI:
Conoscere le proprietà di base degli spazi vettoriali astratti e delle trasformazioni lineari.
Saper derivare le proprietà delle principali distribuzioni discrete e (assolutamente) continue.
CONOSCENZA E CAPACITA’ DI COMPRENSIONE:
Essere in grado di determinare autovalori e autovettori di una matrice.
Matrici simmetriche.
Conoscere la nozione di proiettori e di matrice idempotente.
Conoscenza dei teoremi limite fondamentali: legge (debole) dei grandi numeri e teorema centrale del limite.
Calculus e Optimization
OBIETTIVI FORMATIVI:
CONOSCENZA E CAPACITA’ DI COMPRENSIONE:
Saper effettuare un semplice cambiamento di variabili nel calcolo degli integrali e saper usare le coordinate polari.
Saper applicare il teorema di Kuhn-Tucker in casi semplici.
Saper usare i moltiplicatori Lagrangiani nello studio di estremi vincolati per funzioni di più variabili.
CAPACITA’ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Saper calcolare l’integrali di funzioni di più variabili (tramite il Teorema di Fubini, …) .
Saper calcolare la matrice Hessiana e suoi autovalori.
Saper determinare i massimi e minimi liberi di una funzione di più variabili.
Calcolo di integrali tramite la derivazione sotto il segno di integrale.
Saper risolvere semplici equazioni differenziali (variabili separabili, …).
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Traduzione in termini matematici di problemi di ottimizzazione dalla vita reale.
ABILITA’ COMUNICATIVE:
Saper presentare gli aspetti quantitativi dei modelli economici e finanziari.
CAPACITA’ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Saper applicare le proprietà algebriche dell’algebra delle matrici con particolare riferimento alle matrici a blocchi.
Saper diagonalizzazione una matrice (sotto le opportune condizioni).
Attesa condizionata e suo significato geometrico. Gaussiana multivariata.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Come modellare situazioni economiche e finanziarie utilizzando modelli stocastici.
ABILITA’ COMUNICATIVE:
Saper presentare gli aspetti quantitativi dei modelli economici e finanziari.
Learning Objectives
Calculus and Optimization
LEARNING OUTCOMES:
Integrals and optimization in several variables.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
Change of variables in integrals and use of polar coordinates.
Lagrangian multipliers to study optimization under costraints.
Simple cases of Kuhn-Tucker theorem.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
To be able to evaluate integrals in several variables (by means of Fubini Theorem, …).
Evaluation of integral by the derivation under the integral sign technique.
To solve simple differential equations.
To calculate the Hessian matrix and its eigenvalues.
To calculate local minimum and maximum for a several variable function.
MAKING JUDGEMENTS:
Translation in mathematical terms of optimizations problems from real life.
COMMUNICATION SKILLS:
To be able to present quantitative aspects of economic and financial models.
Linear Algebra and Probability
LEARNING OUTCOMES:
Basic properties of abstract vector spaces and linear transformations.
How the main discrete and (absolutely) continuous distribution arise from real life problems and their properties.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
To be able to determine eigenvalues and eigenvectors of a matrix.
Symmetric matrices.
Notions of projections and idempotent matrices.
Meaning of the basic limit theorems: (weak) law of large numbers and central limit theorem.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
To know how to apply basic properties of matrix algebra with special emphasis on block matrices.
To know how to diagonalize a matrix (under suitable conditions).
Geometric meaning of conditional expectation and its applications to multivariate gaussian.
MAKING JUDGEMENTS:
How to model economic and financial situations using stochastic models.
COMMUNICATION SKILLS
To be able to present quantitative aspects of economic and financial models.
Prerequisiti
Gli studenti che vogliono frequentare il corso devono avere una conoscenza di base dell'analisi matematica e dell'algebra lineare. In particolare devono sapere: come studiare una funzione di una variabile, il teorema fondamentale del calcolo, come calcolare un integrale definito, come studiare un sistema di equazioni lineari, la geometria di base dello spazio tridimensionale.
Come riferimento si possono usare le Appendici A1, A2, A3, A4 e le Parti I e II del libro di Simon-Blume.
Prerequisites
It is taken for granted that students have a basic knowledge of calculus and linear algebra. In particular they know: how to study a function in one variable, the fundamental theorem of calculus, how to evaluate a definite integral, how to study a system of linear equations, the basic geometry of three-dimensional space.
As a reference one can use the Appendices A1, A2, A3, A4 and Part I – Part II of the book by Simon-Blume.
Programma
Algebra Lineare
Sistemi di equazioni lineari. Algebra delle matrici. Matrici quadrate. Trasposta. Determinante. Gruppi, campi, spazi vettoriali. Indipendenza lineare e basi. Dimensione. Trasformazioni lineari. Nuclei. Prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy- Schwartz. Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico di una matrice quadrata. Proprietà degli autospazi. Matrici ortogonali e simmetriche. Matrici definite positive. Operatori di proiezione. Decomposizione di Cholesky. Matrici diagonalizzabili. Il teorema spettrale.
Probabilità
Spazi di probabilità. Algebre di eventi. Calcolo combinatorio. Spazi di probabilità finiti. Introduzione agli assiomi di Kolmogorov. Probabilità condizionata, formula di Bayes. Eventi indipendenti. Variabili aleatorie. Distribuzione di probabilità e funzione di densità per variabili aleatorie. Attesa, varianza e loro proprietà. Attesa e varianza per le principali distribuzioni. Covarianza e invarianza di scala per il coefficiente di correlazione. Vettori aleatori. Distribuzione e densità per i vettori aleatori. Variabili aleatorie indipendenti, covarianza e correlazione. Attesa condizionata per variabili aleatorie e suo significato geometrico. Convergenza in probabilità e in legge. La funzione caratteristica. Legge (debole) dei grandi numeri. Teorema centrale del limite. Distribuzione gaussiana multivariata. Attesa condizionata per la gaussiana bivariata.
Program
Linear Algebra
Systems of linear equations. Matrix Algebra. Algebra of square ma- trices. Transpose and its properties. Determinant. Groups, fields, vector spaces. Linear independence and basis. Dimension of vector spaces. Linear transformations. Kernels. Scalar products. Cauchy-Schwartz inequality. Eigenvalues, eigenvectors and the characteristic polynomial of a square matrix. Basic properties of eigenspaces. Symmetric, and orthogonal matrices. Positive definite matrices. Projection operators. Cholesky decomposition. Diagonalizable matrices. The spectral theorem.
Probability
Elements of a probability space. Algebras of events and information about random experiments. Introduction to combinatorial calculus. Finite probability spaces, probability measures, introduction to Kolmogorov theory. Conditional probability, total probability formula, Bayes formula. Independent events. Random variables and their properties. Probability distribution, distribution function and densities function of a random vari- able. Expectation and variance of a random variable and their properties. Expectation and variance for the main kinds of random variables. Covariance and scale-invariance of the correlation coefficient. Random vectors and their properties. Probability distribution, distribution functions and densities functions of a random vector. Independent random variables, covariance and correlation. Conditional expectation of a random variable and its prop- erties. Conditional expectation as best estimator. Geometric approach to the conditional expectation. Sequences of random variables. Convergence in probability and in law. The (weak) law of large numbers. The characteristic function. Central limit theorem. Multivariate Gaussian distribution. Conditional expectation for the bivariate gaussian.
Testi Adottati
C.P. Simon and L. Blume. Mathematics for Economists. Norton & Company
G. Casella and R.L. Berger. Statistical Inference. Duxbury
A. Mas-Colell, M. D. Winston and J.R. Green. Microeconomic Theory
Books
C. P. Simon and L. Blume. Mathematics for Economists. Norton & Company
G. Casella and R.L. berger. Statistical Inference. Duxbury
A. Mas-Colell, M. D. Winston and J.R. Green. Microeconomic Theory
Bibliografia
T.M. Apostol. Calculus, Vol. I and Vol. II, Wiley & Sons.
D. C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Pearson
P. Bilingsley, Probability and Measure (Wiley Series in Probability and Statistics)
S. Ross, A First course in Probability
J.P. Romano and A.F. Siegel, Counterexamples in Probability And
Statistics (Wadsworth and Brooks/Cole Statistics/Probability Series)
P. Lockhart. A Mathematician Lament.
Bibliography
T.M. Apostol. Calculus, Vol. I and Vol. II, Wiley & Sons.
D. C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Pearson
P. Biilingsley, Probability and Measure (Wiley Series in Probability and Statistics)
S. Ross, A First course in Probability
J.P. Romano and A.F. Siegel, Counterexamples in Probability And
Statistics (Wadsworth and Brooks/Cole Statistics/Probability Series)
P. Lockhart. A Mathematician Lament.
Modalità di svolgimento
Il corso è fatto da lezioni ed esercitazioni.
Anche durante le lezioni, esempi, problemi ed esercizi svolgono un ruolo centrale allo scopo di applicare immediatamente le conoscenze teoretiche proposte.
Questo viene fatto alla luce delle aree (statistica, economia, finanza) dove gli studenti applicheranno i contenuti matematici del corso.
Teaching methods
The course has lectures and practice sessions.
Also during the lectures, examples, problems and exercises play a central role in order to immediately apply the theoretical knowledge proposed.
This is done keeping in mind the areas (statistics, economics, finance) where the students will apply the mathematical contents of the course.
Regolamento Esame
La valutazione dello studente prevede una prova scritta strutturata.
Per garantire il raggiungimento degli obiettivi di apprendimento la struttura dell'esame è tripartita. Una parte è dedicata alla dimostrazione di teoremi con lo scopo di controllare la comprensione teoretica degli argomenti del programma (Learning Outcomes). In una situazione intermedia si trova una seconda parte effettuata tramite quiz (alternativa vero-falso): le domande implicate hanno lo scopo di controllare l'abilità dello studente nell'applicazione della comprensione teoretica a nuove situazioni (Applying Knowledge and Understanding). Una terza parte è composta da esercizi più standard (Knowledge and Understanding).
Gli studenti che si ritirano o vengono bocciati a un esame possono ripresentarsi anche nella stessa sessione di esame.
Exam Rules
The students evaluation is done through a written examination.
To guarantee the achievement of the learning outcomes the structure of the examination has three parts. One part is devoted to the proof of theorems in order to check the theoretical understanding of the program (Learning Outcomes). In an intermediate situation is a second part made by quizzes (true-false alternative): the questions involved test the ability of the students to apply the theoretical comprehension to new situations (Applying Knowledge and Understanding). A third part is made by more standard exercises (Knowledge and Understanding).
Students who withdraw or fail an exam may take the exam again in the same exam session.
EN
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Obiettivi Formativi
Linear Algebra e Probabilità
OBIETTIVI FORMATIVI:
Conoscere le proprietà di base degli spazi vettoriali astratti e delle trasformazioni lineari.
Saper derivare le proprietà delle principali distribuzioni discrete e (assolutamente) continue.
CONOSCENZA E CAPACITA’ DI COMPRENSIONE:
Essere in grado di determinare autovalori e autovettori di una matrice.
Matrici simmetriche.
Conoscere la nozione di proiettori e di matrice idempotente.
Conoscenza dei teoremi limite fondamentali: legge (debole) dei grandi numeri e teorema centrale del limite.
Calculus e Optimization
OBIETTIVI FORMATIVI:
CONOSCENZA E CAPACITA’ DI COMPRENSIONE:
Saper effettuare un semplice cambiamento di variabili nel calcolo degli integrali e saper usare le coordinate polari.
Saper applicare il teorema di Kuhn-Tucker in casi semplici.
Saper usare i moltiplicatori Lagrangiani nello studio di estremi vincolati per funzioni di più variabili.
CAPACITA’ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Saper calcolare l’integrali di funzioni di più variabili (tramite il Teorema di Fubini, …) .
Saper calcolare la matrice Hessiana e suoi autovalori.
Saper determinare i massimi e minimi liberi di una funzione di più variabili.
Calcolo di integrali tramite la derivazione sotto il segno di integrale.
Saper risolvere semplici equazioni differenziali (variabili separabili, …).
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Traduzione in termini matematici di problemi di ottimizzazione dalla vita reale.
ABILITA’ COMUNICATIVE:
Saper presentare gli aspetti quantitativi dei modelli economici e finanziari.
CAPACITA’ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Saper applicare le proprietà algebriche dell’algebra delle matrici con particolare riferimento alle matrici a blocchi.
Saper diagonalizzazione una matrice (sotto le opportune condizioni).
Attesa condizionata e suo significato geometrico. Gaussiana multivariata.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Come modellare situazioni economiche e finanziarie utilizzando modelli stocastici.
ABILITA’ COMUNICATIVE:
Saper presentare gli aspetti quantitativi dei modelli economici e finanziari.
Learning Objectives
Calculus and Optimization
LEARNING OUTCOMES:
Integrals and optimization in several variables.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
Change of variables in integrals and use of polar coordinates.
Lagrangian multipliers to study optimization under costraints.
Simple cases of Kuhn-Tucker theorem.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
To be able to evaluate integrals in several variables (by means of Fubini Theorem, …).
Evaluation of integral by the derivation under the integral sign technique.
To solve simple differential equations.
To calculate the Hessian matrix and its eigenvalues.
To calculate local minimum and maximum for a several variable function.
MAKING JUDGEMENTS:
Translation in mathematical terms of optimizations problems from real life.
COMMUNICATION SKILLS:
To be able to present quantitative aspects of economic and financial models.
Linear Algebra and Probability
LEARNING OUTCOMES:
Basic properties of abstract vector spaces and linear transformations.
How the main discrete and (absolutely) continuous distribution arise from real life problems and their properties.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
To be able to determine eigenvalues and eigenvectors of a matrix.
Symmetric matrices.
Notions of projections and idempotent matrices.
Meaning of the basic limit theorems: (weak) law of large numbers and central limit theorem.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
To know how to apply basic properties of matrix algebra with special emphasis on block matrices.
To know how to diagonalize a matrix (under suitable conditions).
Geometric meaning of conditional expectation and its applications to multivariate gaussian.
MAKING JUDGEMENTS:
How to model economic and financial situations using stochastic models.
COMMUNICATION SKILLS
To be able to present quantitative aspects of economic and financial models.
Prerequisiti
Gli studenti che vogliono frequentare il corso devono avere una conoscenza di base dell'analisi matematica e dell'algebra lineare. In particolare devono sapere: come studiare una funzione di una variabile, il teorema fondamentale del calcolo, come calcolare un integrale definito, come studiare un sistema di equazioni lineari, la geometria di base dello spazio tridimensionale.
Come riferimento si possono usare le Appendici A1, A2, A3, A4 e le Parti I e II del libro di Simon-Blume.
Prerequisites
It is taken for granted that students have a basic knowledge of calculus and linear algebra. In particular they know: how to study a function in one variable, the fundamental theorem of calculus, how to evaluate a definite integral, how to study a system of linear equations, the basic geometry of three-dimensional space.
As a reference one can use the Appendices A1, A2, A3, A4 and Part I – Part II of the book by Simon-Blume.
Programma
Algebra Lineare
Sistemi di equazioni lineari. Algebra delle matrici. Matrici quadrate. Trasposta. Determinante. Gruppi, campi, spazi vettoriali. Indipendenza lineare e basi. Dimensione. Trasformazioni lineari. Nuclei. Prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy- Schwartz. Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico di una matrice quadrata. Proprietà degli autospazi. Matrici ortogonali e simmetriche. Matrici definite positive. Operatori di proiezione. Decomposizione di Cholesky. Matrici diagonalizzabili. Il teorema spettrale.
Analisi Matematica
Serie. Numeri complessi. Serie ed esponenziali complessi. Formula di Eulero. Differenziabilità per funzioni in più variabili: esempi e controesempi. Il gradiente. La matrice jacobiana. Differenziale per funzioni composte. Derivate parziali miste. Il teorema di Schwartz-Young. Integrazione in dimensione n. Il teorema di Fubini. La formula per il cambio di variabili. Integrazione usando coordinate polari. Derivazione sotto il segno di integrale. Introduzione alle equazioni differenziali. Il problema di Cauchy. Il prodotto scalare L^2 in R^2 e per le variabili aleatorie. Funzioni quasiconcave. Funzioni implicite. Il teorema della mappa contrattiva.
Ottimizzazione
Il polinomio di Taylor in dimensione n. La matrice hessiana. Ottimizzazione non vincolata: condizioni necessarie e sufficienti per massimi e minimi. Ottimizzazione vincolata. Lagrangiana e moltiplicatori di Lagrange. Introduzione a Kuhn-Tucker. Il teorema dell’inviluppo.
Probabilità
Spazi di probabilità. Algebre di eventi. Calcolo combinatorio. Spazi di probabilità finiti. Introduzione agli assiomi di Kolmogorov. Probabilità condizionata, formula di Bayes. Eventi indipendenti. Variabili aleatorie. Distribuzione di probabilità e funzione di densità per variabili aleatorie. Attesa, varianza e loro proprietà. Attesa e varianza per le principali distribuzioni. Covarianza e invarianza di scala per il coefficiente di correlazione. Vettori aleatori. Distribuzione e densità per i vettori aleatori. Variabili aleatorie indipendenti, covarianza e correlazione. Attesa condizionata per variabili aleatorie e suo significato geometrico. Convergenza in probabilità e in legge. La funzione caratteristica. Legge (debole) dei grandi numeri. Teorema centrale del limite. Distribuzione gaussiana multivariata. Attesa condizionata per la gaussiana bivariata.
Program
Linear Algebra
Systems of linear equations. Matrix Algebra. Algebra of square ma- trices. Transpose and its properties. Determinant. Groups, fields, vector spaces. Linear independence and basis. Dimension of vector spaces. Linear transformations. Kernels. Scalar products. Cauchy-Schwartz inequality. Eigenvalues, eigenvectors and the characteristic polynomial of a square matrix. Basic properties of eigenspaces. Symmetric, and orthogonal matrices. Positive definite matrices. Projection operators. Cholesky decomposition. Diagonalizable matrices. The spectral theorem.
Calculus
Series. The complex numbers. Complex series and the complex exponential. The Euler formula. Differentiability for functions of several variables: examples and counterexamples. The gradient. The Jacobian matrix. The chain rule for differentials. Mixed partial derivative. The Schwartz (Young) theorem. Integration in n dimension. The Fubini theorem. The change of variable formula. Integration using polar coordinates. Differentiation un- der the integral sign. Introduction to differential equations. The Cauchy problem. The L^^2 scalar product on R^2, on C[0, 1] and for random variables. Quasiconcave functions. Implicit functions. The contraction mapping principle.
Optimization
The Taylor polynomial in n-dimensions. The Hessian matrix. Uncon- strained optimization: necessary and sufficient conditions for maxima and minima. Constrained optimization. Lagrangian function and Lagrange mul- tiplier. Introduction to Kuhn-Tucker. The Envelope Theorem.
Probability
Elements of a probability space. Algebras of events and information about random experiments. Introduction to combinatorial calculus. Finite probability spaces, probability measures, introduction to Kolmogorov theory. Conditional probability, total probability formula, Bayes formula. Independent events. Random variables and their properties. Probability distribution, distribution function and densities function of a random vari- able. Expectation and variance of a random variable and their properties. Expectation and variance for the main kinds of random variables. Covariance and scale-invariance of the correlation coefficient. Random vectors and their properties. Probability distribution, distribution functions and densities functions of a random vector. Independent random variables, covariance and correlation. Conditional expectation of a random variable and its prop- erties. Conditional expectation as best estimator. Geometric approach to the conditional expectation. Sequences of random variables. Convergence in probability and in law. The (weak) law of large numbers. The characteristic function. Central limit theorem. Multivariate Gaussian distribution. Conditional expectation for the bivariate gaussian.
Testi Adottati
C.P. Simon and L. Blume. Mathematics for Economists. Norton & Company
G. Casella and R.L. Berger. Statistical Inference. Duxbury
A. Mas-Colell, M. D. Winston and J.R. Green. Microeconomic Theory
Books
C. P. Simon and L. Blume. Mathematics for Economists. Norton & Company
G. Casella and R.L. berger. Statistical Inference. Duxbury
A. Mas-Colell, M. D. Winston and J.R. Green. Microeconomic Theory
Bibliografia
T.M. Apostol. Calculus, Vol. I and Vol. II, Wiley & Sons.
D. C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Pearson
P. Bilingsley, Probability and Measure (Wiley Series in Probability and Statistics)
S. Ross, A First course in Probability
J.P. Romano and A.F. Siegel, Counterexamples in Probability And
Statistics (Wadsworth and Brooks/Cole Statistics/Probability Series)
P. Lockhart. A Mathematician Lament.
Bibliography
T.M. Apostol. Calculus, Vol. I and Vol. II, Wiley & Sons.
D. C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Pearson
P. Biilingsley, Probability and Measure (Wiley Series in Probability and Statistics)
S. Ross, A First course in Probability
J.P. Romano and A.F. Siegel, Counterexamples in Probability And
Statistics (Wadsworth and Brooks/Cole Statistics/Probability Series)
P. Lockhart. A Mathematician Lament.
Modalità di svolgimento
Il corso è fatto da lezioni ed esercitazioni.
Anche durante le lezioni, esempi, problemi ed esercizi svolgono un ruolo centrale allo scopo di applicare immediatamente le conoscenze teoretiche proposte.
Questo viene fatto alla luce delle aree (statistica, economia, finanza) dove gli studenti applicheranno i contenuti matematici del corso.
Teaching methods
The course has lectures and practice sessions.
Also during the lectures, examples, problems and exercises play a central role in order to immediately apply the theoretical knowledge proposed.
This is done keeping in mind the areas (statistics, economics, finance) where the students will apply the mathematical contents of the course.
Regolamento Esame
La valutazione dello studente prevede una prova scritta strutturata.
Per garantire il raggiungimento degli obiettivi di apprendimento la struttura dell'esame è tripartita. Una parte è dedicata alla dimostrazione di teoremi con lo scopo di controllare la comprensione teoretica degli argomenti del programma (Learning Outcomes). In una situazione intermedia si trova una seconda parte effettuata tramite quiz (alternativa vero-falso): le domande implicate hanno lo scopo di controllare l'abilità dello studente nell'applicazione della comprensione teoretica a nuove situazioni (Applying Knowledge and Understanding). Una terza parte è composta da esercizi più standard (Knowledge and Understanding).
Gli studenti che si ritirano o vengono bocciati a un esame possono ripresentarsi anche nella stessa sessione di esame.
Exam Rules
The students evaluation is done through a written examination.
To guarantee the achievement of the learning outcomes the structure of the examination has three parts. One part is devoted to the proof of theorems in order to check the theoretical understanding of the program (Learning Outcomes). In an intermediate situation is a second part made by quizzes (true-false alternative): the questions involved test the ability of the students to apply the theoretical comprehension to new situations (Applying Knowledge and Understanding). A third part is made by more standard exercises (Knowledge and Understanding).
Students who withdraw or fail an exam may take the exam again in the same exam session.
