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Syllabus

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Obiettivi Formativi

OBIETTIVI FORMATIVI:
Il corso di Matematica Generale fornisce sia gli elementi teorici che quelli pratici essenziali che consentono agli studenti di affrontare le varie problematiche inerenti l’Analisi Matematica elementare, dallo studio di funzione ai problemi di ottimizzazione liberi e vincolati, e l’Algebra Lineare.

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
Le principali conoscenze acquisite (descrittore di Dublino 1) riguardano come prima cosa la familiarità con i concetti di insieme, limite, funzione, derivata, integrale. Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà inoltre avere un’adeguata conoscenza dei concetti di vettore, rango, dipendenza ed indipendenza lineare, del teorema di Rouché–Capelli, della diagonalizzazione di matrici. Lo studente dovrà apprendere i concetti fondamentali usati nello studio di funzioni in più variabili, in particolare: derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità, matrice Hessiana. Questo permetterà lo studio e la risoluzione di problemi di ottimizzazione in più variabili, libera e vincolata (Lagrangiana).

CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Le principali abilità acquisite (descrittore di Dublino 2) si realizzano nella messa in pratica delle conoscenze teoriche al fine di risolvere esercizi e problemi pratici, come lo studio di funzione e la risoluzione di sistemi lineari. In particolare, lo studio dei problemi di ottimizzazione potrà essere applicato al fine di risolvere problemi legati all’ economia. Dicasi parimenti per lo studio dei sistemi lineari, strumenti fondamentali per la comprensione di importanti modelli economici.

AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Lo studio del corso di Matematica Generale consente allo studente di acquisire un metodo di studio, fondamentale ingrediente per poter raggiungere autonomia nell’apprendimento di qualsiasi altro tipo di conoscenza, qualità essenziale per ogni professionista. Lo studente acquisirà familiarità con il formalismo logico / matematico astratto, che sta alla base del concetto stesso di modellizzazione.

ABILITÀ COMUNICATIVE:
L’acquisizione di un metodo di studio e di lavoro, soprattutto se condiviso con altri studenti e colleghi, aiuta anche a sviluppare le capacità di esposizione e di condivisione di idee, qualità fondamentali per molti professionisti.

CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO:
L'acquisizione di concetti e metodi matematici elementari aiuta a leggere e comprendere argomentazioni tecniche presenti in testi di divulgazione e articoli anche di altre discipline, ad esempio di carattere economico.

LUCA GIORGETTI

Prerequisiti

Nessuno

Programma

Parte A)

Elementi di teoria degli insiemi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, complementare, insieme delle parti e partizioni, prodotto cartesiano. Insiemi numerici: i numeri interi, razionali, reali e loro proprietà generali. Topologia della retta reale: insiemi aperti, chiusi, punti interni, esterni, di accumulazione, di frontiera, isolati, maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore di un sottoinsieme di R.

Parte B)

Funzioni reali di variabile reale. Funzioni crescenti, decrescenti, monotone, funzione composta, funzione inversa. Successioni di numeri reali: limite di una successione, proprietà ed esempi vari. Il numero "e". Serie numeriche, serie geometrica, serie armonica, criterio del rapporto. Le funzioni esponenziale e logaritmo: principali proprietà. Limiti di funzioni al finito e all'infinito: definizioni, esempi e proprietà.
Cenni sulle funzioni trigonometriche e loro inverse. Funzioni continue. Massimi e minimi locali e globali. Il teorema di Weierstrass, il teorema della permanenza del segno. teor. degli zeri. Funzioni derivabili: definizione, esempi. Regole di derivazione. Derivate di ordine superiore. Concavità e convessità. Polinomio di Taylor. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Forme indeterminate e teorema di de L'Hospital. Studio grafico di funzioni.

Parte C)

L'integrale definito: definizione e principali proprietà. Integrale indefinito. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. L'integrazione per parti e per sostituzione, integrali impropri.

Parte D)

Funzioni a 2 variabili: definizione, dominio, derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità, matrice Hessiana, punti stazionari, massimi e minimi in R^2. Ottimizzazione libera e vincolata. Cenni al caso di n2 variabili.

Parte E)
Algebra lineare. Vettori ,operazioni tra vettori. Spazi vettoriali e sottospazi vettoriali. Generatori e sottospazi generati. Insiemi di vettori linearmente indipendenti e linearmente dipendenti. Base di uno spazio vettoriale. La base canonica di V=RxR...xR. Dimensione di uno spazio vettoriale. Matrici, operazioni tra matrici. Matrici e sistemi lineari. Trasposta di una matrice. Matrici quadrate. Matrici diagonali e triangolari. Determinante di una matrice quadrata. Inversa di una matrice. Metodi per il calcolo del determinante. Calcolo della matrice inversa. Interpretazione geometrica dei sistemi lineari. I sistemi omogenei. Il rango di una matrice. Il teorema di Rouchè-Capelli. Il teorema di Cramer.

Testi Adottati

L. Peccati, S. Salsa, A. Squellati, Matematica per l'economia e l'azienda, Egea (IV ediz)
A. Guerraggio, Matematica, Pearson (III ediz)
F. Cacciafesta, Matematica Generale, Giappichelli, 2007.

Bibliografia

C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica 1, Masson 1992
M. Bertsch, A. Dall’Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1 - Primocorso di analisi matematica. 1 edizione, McGraw-Hill Education 2021
M. Amal, A.M. Bersani, Analisi matematica. Esercizi e richiami di teoria (Vol. 1), edizioni LaDotta, II° Edizione 2013
P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Matematica, Liguori Editore, 2004.
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Volume 1, parti I e II, 2007, Liguori Editore.

Modalità di svolgimento

Lezioni frontali di 2 ore ciascuna, per un totale di 4 lezioni settimanali per le prime 4 settimane. Successivamente 3 lezioni settimanali per 3 settimane e una settimana da 2 lezioni per un totale di 54 ore.
Esercitazione settimanale di 2 ore.
Per controllare l'acquisizione delle nozioni "teoriche" e delle tecniche "pratiche" da parte degli studenti, oltre alle esercitazioni settimanali, sono previste simulazioni della prova scritta e attivita' di ricevimento personale (in presenza o a distanza) con cadenza settimanale, sia da parte del docente che dei suoi collaboratori.

Regolamento Esame

L’esame finale prevede una prova scritta in cui vengono proposti esercizi sugli argomenti più significativi del programma (limiti, studio di funzione, integrali, sistemi lineari, funzioni in due variabili). Con una votazione sufficiente (di 18/30) lo studente può scegliere se verbalizzare il voto dello scritto o accedere alla prova orale. Con una votazione maggiore di 16/30 lo studente può comunque accedere all’orale. Nella prova orale lo studente deve dimostrare di conoscere i concetti teorici alla base degli argomenti proposti nella prova scritta; se ciò accade vengono inoltre chieste nozioni supplementari nel caso lo studente voglia migliorare il voto dello scritto; in caso contrario si chiede allo studente di dimostrare di conoscere almeno gli argomenti di base di tutto il corso. Per passare l’esame occorre ottenere una votazione finale maggiore o uguale a 18/30 (sufficienza).

La prova d’esame valuta più in generale la preparazione complessiva dello studente, la capacità di integrazione delle conoscenze delle diverse parti del programma, la consequenzialità del ragionamento, la capacità analitica e l’autonomia di giudizio. Inoltre vengono valutate la proprietà di linguaggio e la chiarezza espositiva.
Il voto finale sarà rapportato per il 70% al grado di conoscenza e per il 30% alla capacità espressiva e di giudizio autonomo dimostrate dallo studente.

La prova di esame sarà valutata in trentesimi (con possibilità di Lode) secondo i seguenti criteri:
• Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.
• 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.
• 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
• 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
• 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
• 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti. Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio. Argomentazioni espresse in modo originale.

SERGIO SCARLATTI