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MATEMATICA GENERALE

Programma

Aggiornato A.A. 2019-2020

Parte A)

Introduzione alla teoria degli insiemi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, complementare, insieme delle parti e partizioni, prodotto cartesiano. Insiemi numerici: numeri interi, razionali, reali e le loro proprietà generali. Piano Cartesiano. Radici, esponenti, logaritmi: definizione  e proprieta'.Topologia retta: insiemi aperti, chiusi, compatti, punti di accumulazione, di frontiera, esterni ed interni, isolati. Maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore, minimo, massimo, completezza in R.

Parte B)

Funzioni di una variabile reale: dominio, codominio,  grafico. Funzioni crescenti, decrescenti, monotone, funzione composta, funzione inversa. Successioni di numeri reali: limite di una successione, proprietà ed esempi vari. Il numero "e". Le funzioni lineari, , esponenziali e logaritmiche: grafico e principali proprietà.  Polinomi. Cenni sulle funzioni trigonometriche.  Disequaziionì associate a polinomi, radici potenze  e logaritmi. Limiti di funzioni al finito e all'infinito: definizioni, esempi e proprietà. Asintoti orizzontali verticali e obliqui.  Unicita' del limite. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti funzioni composte. Limiti notevoli. Ordini di infinito e infinitesimi: formalismo di Landau. Calcolo limiti. Funzioni continue. Massimi e minimi locali e globali. Il teorema di Weierstrass, il teorema della permanenza del segno. Teorema degli zeri di una funzione continua. Funzioni derivabili: definizione, esempi.  Rapporto incrementale, derivata da un punto di vista  geometrico, differenziale di una funzione. Regola della catena per derivata di funzioni composte. Calcolo formale delle derivate. Derivata funzione inversa. Punti critici, teorema di Fermat. Derivate di ordine superiore. Relazione tra monotonia e derivata prima. Definizione formale di primitiva. Concavità , convessità e flessi. Relazione tra monotonia derivata prima e convessita' e segno della derivata seconda e convessita'.Teoremi di Rolle e di Lagrange. Forme indeterminate e teorema di de L'Hospital. Studio del grafico di funzioni: esempi. Cenni sulle serie numeriche: serie geometrica. Cenni sui polinomi di Taylor.

Parte C)

L'integrale definito: definizione e principali proprietà. Teorema della media. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. L'integrazione per parti e per sostituzione, esempi vari. Decomposizione in fratti semplici. Calcolo di aree.

Parte D)

Definizione di vettore: classi di equipollenza. Spazi e sottospazi vettoriali. Dipendenza e indipendenza lineare. Prodotto scalare. Norma di un vettore. Matrici e sistemi lineari. Operazioni su matrici. Determinante, loro significato geometrico, matrici invertibili. Rango di una matrice. Forma triangolare per una matrice quadrata. Cenni sulI metodo di eliminazione di Gauss per sitemi lineari.  Torema di Kronecher. I teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli.  Matrici simmetriche. Cenni sui numeri complessi. Autovalori ed autovettori.  Diagonalizzazione di una matrice simmetrica.                         

Parte E)                                                                                                                                                                                                                                                                               

Funzioni reali di due variabili: Definizione, dominio, curve di livello, grafico, proprieta', esempi. Limiti e continuita'  in due variabili. Derivate direzionali, derivate parziali, gradiente, Hessiano, massimi e minimi liberi. Derivabilita' e differenziabilita'. Caso vincolato: Lagrangiana.

TEOREMI (* = con dimostrazione)

Irrazionalita' di radice di 2*; Unicita' max e min*;Unicita' limite*; Completezza di R;Teorema limiti funzioni composte;Teorema degli zeri;Teorema di Weierstrass;Differenziabilita' implica continuita' per funzioni in R*; Regole di derivazione*;Teorema derivata funzioni composte*;  Teorema di Fermat*; Teorema di Rolle*;Teorema di Lagrange*; Teorema di de L'Hospital; Teorema convergenza asintotica per serie a termini negativi; Condizione necessaria per convergenza serie numerica*; Prima e seconda parte teorema media integrale; Teorema fondamentale del calcolo integrale*; Formule di integrazione per parti e per sostituzione*; Teorema fondamentale sui determinanti; Teorema di Cramer; Teorema di Rouche'-Capelli; Teorema autovalori e autovettori di una matrice simmetrica; Teorema punti critici per funzioni scalari in piu' variabili; Teorema di Schwarz per funzioni in due variabili. Teorema ottimizzazione vincolata con Lagrangiana.

OBIETTIVI DEL CORSO.

Lo studente dovra' come prima cosa avere familiarita' con i concetti di limite, funzione, derivata. Questo consentira' di poter svolgere uno studio completo di funzione ed in particolare  padroneggiare le tecniche di derivazione, fondamentali per il bagaglio tecnico di un economista. Lo studente dovra' altresi' avere una adeguata conoscenza dei concetti di vettore, rango, dipendenza ed indipendenza lineare e del teorema di Rouche' Capelli. Questo consentira' allo studente di poter affrontare lo studio di qualsiasi sistema lineare dato. Lo studio dei sistemi lineari, avendo importanti applicazioni economiche, non puo' mancare nel bagaglio tecnico di un economista. Infine lo studente dovra' apprendere i concetti fondamentali per lo studio di funzioni in piu' variabili con particolare attenzione al calcolo differenziale in piu' variabili; derivate parziali, derezionali, differenziabilita', Hessiano. Questo consentira' lo studio e l'impostazione di problemi di ottimizzazzione in piu' variabili anche ricorrendo alle tecniche con vincoli (Lagrangiana). Va altresi notato come lo studio di argomenti come i limiti e gli integrali permette allo studenti di acquisire piu rapidamente un metodo di studio che sara' poi utile nei corsi successivi.

 

METODi DI INSEGNAMENTO

Il corso e' strutturato con lezioni frontali completate con esercitazioni in aula svolte da un tutor,. E' a disposizione dello studente tra il materiale didattico una raccolta completa scaricabile in formato .pdf degli esercizi dati nelle sessioni d'esame a partire dall' a.a 2011-2012.  E' importante per lo studente studiare gli argomenti svolti a lezione sui testi consigliati. E' inoltre attivo un servizio di ricevimento studenti settimanale. L'esame verte in una prova scrita e orale, dove si richiede allo studente di padroneggiare le tecniche di calcolo e i concetti essenziali.  

Testi consigliati:
- Lorenzo Peccati, Sandro Salsa, Annamaria Squellati: Matematica per l'economia e l'azienda,  quarta edizione settembre 2018, Egea editore.
- L. Accardi,  A. Bersani, Note di matematica generale, Aracne 1993.
- F. Cacciafesta, Matematica Generale, Giappichelli, 2007.
- Frank Ayres - Matematica Generale - coll. SCHAUM - McGraw Hill.
- A. Bersani, F. Manzini, L. Mastroeni, Matematica Generale – Esercizi per i corsi del nuovo  ordinamento della Facoltà di Economia, Soc. Ed. Esculapio.