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MATEMATICA GENERALE

Programma

Aggiornato A.A. 2018-2019

Programma del corso

Parte A

Elementi di teoria degli insiemi: nozione di insieme e di elemento; insieme vuoto, insieme ambiente; sottoinsiemi dell'insieme ambiente, operazioni sui sottoinsiemi dell'insieme ambiente (unione, intersezione, differenza, complemento); famiglie di sottoinsiemi dell'insieme ambiente; prodotto cartesiano di insiemi.
Insiemi numerici: i numeri naturali, i numeri interi, i numeri razionali, i numeri reali; operazioni algebriche elementari sugli insiemi numerici; potenze ad esponente intero positivo e negativo, radici aritmetiche ed algebriche, potenze ad esponente razionale, potenze ad esponente reale.
 Elementi di teoria delle funzioni: nozione di funzione; dominio e condominio di una funzione; insieme immagine e controimmagine di un insieme mediante una funzione, insieme dei valori; funzioni iniettive, suriettive ed invertibili; funzione inversa; composizione di funzioni; grafici di funzioni.
 Insiemi di numeri reali. Punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e isolati, sottoinsiemi di un insieme ordinato superiormente ed inferiormente limitati, maggioranti e minoranti; minimo e massimo; estremo superiore ed inferiore.

Parte B

 Funzioni reali di variabile reale: rappresentazione del grafico di una funzione reale di variabile reale, grafici di funzioni elementari; equazioni e disequazioni associate al grafico di una funzione; grafico della funzione costante, equazioni e disequazioni associate; grafici dei polinomi di I e II grado, equazioni e disequazioni associate; grafico della funzione valore assoluto, equazioni e disequazioni associate; grafici dei polinomi di grado superiore al primo, equazioni e disequazioni associate.

Parte C


Funzioni lineari: la retta, Funzione esponenziale, funzione logaritmo e loro proprietà ; il numero di Neper; equazioni e disequazioni associate alle funzioni esponenziali e logaritmiche.
Applicazioni economiche: regime finanziario ad interesse semplice e composto; ruolo del numero di Neper nel regime finanziario ad interesse composto.

Parte D

Limiti di funzioni reali di variabile reale: definizioni; significato geometrico di limite; principali limiti notevoli, teoremi di manipolazione, limite di una combinazione lineare di funzioni, di un prodotto, di un rapporto, di una composizione.
Funzioni reali continue di variabile reale: funzione continua in un punto ed in un intervallo; significato geometrico di funzione continua; principali teoremi di manipolazione, teorema di esistenza dei massimi e minimi per funzioni continue su intervalli chiusi e limitati; teorema di esistenza dei valori intermedi per funzioni continue su intervalli.
Derivate di funzioni reali di variabile reale: definizioni; significato geometrico di derivata; principali derivate notevoli; teoremi di manipolazione, derivata di una combinazione lineare di funzioni, di un prodotto, di un rapporto, di una composizione, di una funzione inversa.
 Crescenza e decrescenza di funzioni reali di variabile reale: massimi e limiti locali; applicazione delle derivate per lo studio della crescenza e della decrescenza.
Convessità  e concavità  di funzioni reali di variabile reale: punto di flesso; applicazione delle derivate per lo studio della convessità  e concavità .
Teoremi di De L'Hopital; Teoremi di Rolle e di Lagrange.
 Polinomi di Taylor per funzioni reali di variabile reale.
Studio qualitativo del grafico di una funzione reale di variabile reale.
Integrali di funzioni reali di variabile reale: integrali definiti ed indefiniti; teorema fondamentale del calcolo integrale, principali tecniche di integrazione indefinita, riconducibili ad integrali immediati, per parti, per sostituzione.

Parte E

Elementi di algebra lineare: vettori; matrici; combinazioni lineari; sistemi di vettori indipendenti e dipendenti.
Sistemi lineari: rappresentazione matriciale; sistemi lineari parametrici; Teoremi di Cramer e di Rouche-Capelli.

Parte F

Funzioni reali di più¹ variabili reali: grafici di funzioni reali di più variabili reali; insiemi di livello; derivate parziali
Massimi e minimi di funzioni reali di più variabili reali: massimi e minimi liberi e vincolati.