EN
IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI: Apprendimento delle principali tecniche matematiche utilizzate nella modellizzazione e nell’ analisi dei mercati finanziari e nella misurazione del rischio.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Gli studenti acquisiscono conoscenza dei principali modelli utilizzati per l’analisi dei mercati finanziari e la misurazione del rischio. Accanto agli aspetti più prettamente teorici, vengono introdotti anche alcuni aspetti applicativi mediante l'uso di software dedicati.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Al termine del percorso di apprendimento gli studenti sono in grado di applicare le conoscenze teoriche, anche tramite l'implementazione di programmi di calcolo.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:. Il corso intende fornire una visione ampia e coerente dei diversi aspetti concernenti la valutazione e la gestione del rischio che possono orientare le decisioni e la soluzione dei problemi in contesti finanziari caratterizzati da informazioni spesso limitate e in rapida evoluzione.
ABILITÀ COMUNICATIVE: Lo studente dovrà essere in possesso di adeguate conoscenze che permettono di comunicare in modo chiaro, a interlocutori specialistici e non, il contesto teorico di riferimento, e sintetizzare le evidenze empiriche concernenti il problema decisionale sorto in ambito finanziario.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES: Learning of the main mathematical techniques used for modeling and analyzing the financial markets and the measurement of risk.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:. Students acquire knowledge of the main models used for the analysis of financial markets and risk measurement. Alongside the more purely theoretical aspects, some application aspects are also introduced through the use of specialized software.
MAKING JUDGEMENTS: The course aims to provide a broad and coherent view of the various aspects concerning risk assessment and management that can guide decisions and problem solving in financial contexts characterized by information that is often limited and rapidly evolving.
COMMUNICATION SKILLS: The student must be in possession of adequate knowledge that allows him to communicate clearly, to specialist and non-specialist interlocutors, the theoretical context of reference and summarize the empirical evidence concerning the decisional problem raised in the financial framework.
LEARNING SKILLS: The student must be able to deal with the problems of analyzing financial markets and measuring risk in a largely autonomous way, and the necessary updating of knowledge and models which are in continuous evolution in this framework.
Prerequisiti
Conoscenze base di matematica generale (serie, limiti, derivate, integrali), statistica (distribuzioni, momenti) e dei principali prodotti finanziari (azioni, obbligazioni e derivati).
Prerequisites
Basic knowledge of general mathematics (series, limits, derivatives, integrals), statistic (distributions, moments) and of the main financial products (shares, bonds and derivatives).
Programma
- Elementi di Teoria della Probabilità. Variabili aleatorie: funzioni di distribuzione e densità. Esempi di distribuzioni notevoli. Valori attesi e momenti di una distribuzione. La legge dei grandi numeri. Il teorema del limite centrale. Metodi Monte Carlo per la generazione di scenari. Il rischio in finanza.
- Elementi di Algebra lineare. Vettori e matrici. Sistemi lineari e loro soluzione. Autovalori ed autovettori.
- Elementi di calcolo multivariato. Funzioni di più variabili. Le curve di livello, le derivate parziali, il gradiente, la matrice Hessiana. Il polinomio di Taylor per funzioni di più variabili. Ottimizzazioni libere e vincolate. Metodi numerici per l’ottimizzazione. Applicazioni alla finanza.
Program
- Fundamentals of probability theory. Random variables: distribution functions, densities, examples of notable distributions. Expectations and moments. The Law of Large Numbers. Central Limit Theorem. Monte Carlo methods for scenario generation. Financial risk.
- Fundamentals of linear algebra. Matrices and vectors. Linear systems.and their solutions. Eigvectors and eigenvalues.
- Fundamentals of multivariate calculus. Multivariate functions. Contour lines, partial derivatives, the gradient vector and the Hessian matrix. Taylor polynomial. Constrained and unconstrained optimization. Numerical methods for optimization. Financial applications.
Testi Adottati
Per ogni argomento previsto nel programma vengono resi disponibili agli studenti sia gli appunti delle lezioni che una collezione di esercizi per la preparazione dell’esame. Il materiale didattico è disponibile nella pagina web del corso insieme ad una bibliografia per l’approfondimento di specifici argomenti.
Testi di riferimento:
Essential Mathematics for Economic Analysis, K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strom, A. Carvajal, Pearson
Baldi P., Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill, 2011.
Books
For each topic included in the program, both lecture notes and a collection of exercises for exam preparation are made available to students. The teaching material is available on the course web page together with a bibliography for in-depth study of specific topics.
Testi di riferimento:
Essential Mathematics for Economic Analysis, K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strom, A. Carvajal, Pearson, 2016.
Baldi P., Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill, 2011.
Modalità di svolgimento
Essential Mathematics for Economic Analysis, K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strom, A. Carvajal, Pearson
Baldi P., Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill, 2011.
Ramponi A., Lezioni di Finanza Matematica, Aracne, 2012.
Options, Futures, and Other Derivatives, Global Edition, J. Hull, Pearson
Teaching methods
Essential Mathematics for Economic Analysis, K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strom, A. Carvajal, Pearson
Baldi P., Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill, 2011.
Ramponi A., Lezioni di Finanza Matematica, Aracne, 2012.
Options, Futures, and Other Derivatives, Global Edition, J. Hull, Pearson
Regolamento Esame
L’esame comprende una prova scritta ed una prova orale. La prova orale può essere sostenuta solamente se si è superata, con voto almeno sufficiente, la prova scritta.
Esame scritto
• L’esame scritto comprende 4/6 esercizi ed una o due domande a risposta aperta.
• Gli esercizi possono avere per oggetto gli esempi numerici/esercizi presenti nel materiale didattico e/o svolti durante le esercitazioni in aula.
• Le domande con risposta aperta si riferiscono ad argomenti trattati nei libri di testo e nel corso delle lezioni in aula. Il voto viene attribuito calcolando in trentesimi il voto della prova scritta.
Esame orale
Superata la prova scritta, lo studente sostiene l’esame orale, consistente prima di tutto nella visione e discussione dei contenuti del compito al fine di ottenere la conferma del voto della prova scritta. Nel corso dell’esame lo studente può decidere di sostenere un colloquio sui contenuti dell’intero corso; in questo caso il voto finale sarà assegnato dal docente, tenuto conto del risultato del colloquio orale e della prova scritta (senza alcuna "garanzia" di voto minimo).
Criteri per la formulazione del giudizio espresso in trentesimi:
o Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.
o 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.
o 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
o 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
o 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
o 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti. Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio. Argomentazioni espresse in modo originale.
Exam Rules
The exam includes a written test,and an oral test. The oral exam can only be taken if the written test has been passed with at least sufficient marks.
Written examination
The written exam includes 4/6 exercises and one or two open-ended questions.
• The exercises can have as object the numerical examples/exercises present in the didactic material and/or performed during the exercises in the classroom.
• Open-ended questions refer to topics covered in textbooks and during classroom lessons. The vote is attributed by calculating the mark of the written test in thirtieths.
Oral examination
After the written test, the student takes the oral exam, consisting first of all in the vision and discussion of the contents of the task in order to obtain confirmation of the mark of the written test. During the exam the student can decide to hold an interview on the contents of the entire course; in this case the final grade will be assigned by the teacher, taking into account the result of the oral interview and the written test (without any "guarantee" of minimum grade).
Criteria for the formulation of the evaluation on a scale of 30:
o Unsuitable: significant deficiencies and/or inaccuracies in knowledge and understanding of the topics; limited capacity for analysis and synthesis, frequent generalizations.
o 18-20: barely sufficient knowledge and understanding of the topics with possible imperfections; sufficient capacity for analysis, synthesis and autonomy of judgement.
o 21-23: Routine knowledge and understanding of the topics; Correct analysis and synthesis skills with coherent logical argumentation.
o 24-26: Fair knowledge and understanding of the topics; good capacity for analysis and synthesis with rigorously expressed arguments.
o 27-29: Comprehensive knowledge and understanding of the topics; Considerable ability to analyze, synthesize. Good autonomy of judgement.
o 30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of the topics. Remarkable analytical and synthetic skills and independent judgement. Arguments expressed in an original manner.
Modalità di frequenza
Il Corso prevede lezioni frontali ed esercitazioni in aula sugli argomenti previsti nel programma.
Attendance Rules
The course includes lectures and classroom exercises on the topics of the program.
EN
IT
Prerequisiti
Conoscenze base di matematica generale (serie, limiti, derivate, integrali), statistica (distribuzioni, momenti) e dei principali prodotti finanziari (azioni, obbligazioni e derivati).
Prerequisites
Basic knowledge of general mathematics (series, limits, derivatives, integrals), statistic (distributions, moments) and of the main financial products (shares, bonds and derivatives).
Programma
- Elementi di Teoria della Probabilità. Variabili aleatorie: funzioni di distribuzione e densità. Esempi di distribuzioni notevoli. Valori attesi e momenti di una distribuzione. La legge dei grandi numeri. Il teorema del limite centrale. Metodi Monte Carlo per la generazione di scenari. Il rischio in finanza.
- Elementi di Algebra lineare. Vettori e matrici. Sistemi lineari e loro soluzione. Autovalori ed autovettori.
- Elementi di calcolo multivariato. Funzioni di più variabili. Le curve di livello, le derivate parziali, il gradiente, la matrice Hessiana. Il polinomio di Taylor per funzioni di più variabili. Ottimizzazioni libere e vincolate. Metodi numerici per l’ottimizzazione. Applicazioni alla finanza.
Program
- Fundamentals of probability theory. Random variables: distribution functions, densities, examples of notable distributions. Expectations and moments. The Law of Large Numbers. Central Limit Theorem. Monte Carlo methods for scenario generation. Financial risk.
- Fundamentals of linear algebra. Matrices and vectors. Linear systems.and their solutions. Eigvectors and eigenvalues.
- Fundamentals of multivariate calculus. Multivariate functions. Contour lines, partial derivatives, the gradient vector and the Hessian matrix. Taylor polynomial. Constrained and unconstrained optimization. Numerical methods for optimization. Financial applications.
Testi Adottati
Per ogni argomento previsto nel programma vengono resi disponibili agli studenti sia gli appunti delle lezioni che una collezione di esercizi per la preparazione dell’esame. Il materiale didattico è disponibile nella pagina web del corso insieme ad una bibliografia per l’approfondimento di specifici argomenti.
Testi di riferimento:
Essential Mathematics for Economic Analysis, K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strom, A. Carvajal, Pearson
Baldi P., Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill, 2011.
Books
For each topic included in the program, both lecture notes and a collection of exercises for exam preparation are made available to students. The teaching material is available on the course web page together with a bibliography for in-depth study of specific topics.
Testi di riferimento:
Essential Mathematics for Economic Analysis, K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strom, A. Carvajal, Pearson, 2016.
Baldi P., Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill, 2011.
Bibliografia
Essential Mathematics for Economic Analysis, K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strom, A. Carvajal, Pearson
Baldi P., Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill, 2011.
Ramponi A., Lezioni di Finanza Matematica, Aracne, 2012.
Options, Futures, and Other Derivatives, Global Edition, J. Hull, Pearson
Bibliography
Essential Mathematics for Economic Analysis, K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strom, A. Carvajal, Pearson
Baldi P., Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill, 2011.
Ramponi A., Lezioni di Finanza Matematica, Aracne, 2012.
Options, Futures, and Other Derivatives, Global Edition, J. Hull, Pearson
Modalità di svolgimento
Il Corso prevede lezioni frontali ed esercitazioni in aula sugli argomenti previsti nel programma.
Teaching methods
The course includes lectures and classroom exercises on the topics of the program.
Regolamento Esame
L’esame comprende una prova scritta ed una prova orale. La prova orale può essere sostenuta solamente se si è superata, con voto almeno sufficiente, la prova scritta.
Esame scritto
• L’esame scritto comprende 4/6 esercizi ed una o due domande a risposta aperta.
• Gli esercizi possono avere per oggetto gli esempi numerici/esercizi presenti nel materiale didattico e/o svolti durante le esercitazioni in aula.
• Le domande con risposta aperta si riferiscono ad argomenti trattati nei libri di testo e nel corso delle lezioni in aula. Il voto viene attribuito calcolando in trentesimi il voto della prova scritta.
Esame orale
Superata la prova scritta, lo studente sostiene l’esame orale, consistente prima di tutto nella visione e discussione dei contenuti del compito al fine di ottenere la conferma del voto della prova scritta. Nel corso dell’esame lo studente può decidere di sostenere un colloquio sui contenuti dell’intero corso; in questo caso il voto finale sarà assegnato dal docente, tenuto conto del risultato del colloquio orale e della prova scritta (senza alcuna "garanzia" di voto minimo).
Exam Rules
The exam includes a written test,and an oral test. The oral exam can only be taken if the written test has been passed with at least sufficient marks.
Written examination
The written exam includes 4/6 exercises and one or two open-ended questions.
• The exercises can have as object the numerical examples/exercises present in the didactic material and/or performed during the exercises in the classroom.
• Open-ended questions refer to topics covered in textbooks and during classroom lessons. The vote is attributed by calculating the mark of the written test in thirtieths.
Oral examination
After the written test, the student takes the oral exam, consisting first of all in the vision and discussion of the contents of the task in order to obtain confirmation of the mark of the written test. During the exam the student can decide to hold an interview on the contents of the entire course; in this case the final grade will be assigned by the teacher, taking into account the result of the oral interview and the written test (without any "guarantee" of minimum grade).
Modalità di frequenza
frequenza facoltativa
Attendance Rules
Optional attendance.
EN
IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI: Apprendimento delle principali tecniche matematiche utilizzate nella modellizzazione e nell’ analisi dei mercati finanziari e nella misurazione del rischio.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Gli studenti acquisiscono conoscenza dei principali modelli utilizzati per l’analisi dei mercati finanziari e la misurazione del rischio. Accanto agli aspetti più prettamente teorici, vengono introdotti anche alcuni aspetti applicativi mediante l'uso di software dedicati.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Al termine del percorso di apprendimento gli studenti sono in grado di applicare le conoscenze teoriche, anche tramite l'implementazione di programmi di calcolo.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:. Il corso intende fornire una visione ampia e coerente dei diversi aspetti concernenti la valutazione e la gestione del rischio che possono orientare le decisioni e la soluzione dei problemi in contesti finanziari caratterizzati da informazioni spesso limitate e in rapida evoluzione.
ABILITÀ COMUNICATIVE: Lo studente dovrà essere in possesso di adeguate conoscenze che permettono di comunicare in modo chiaro, a interlocutori specialistici e non, il contesto teorico di riferimento, e sintetizzare le evidenze empiriche concernenti il problema decisionale sorto in ambito finanziario.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES: Learning of the main mathematical techniques used for modeling and analyzing the financial markets and the measurement of risk.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:. Students acquire knowledge of the main models used for the analysis of financial markets and risk measurement. Alongside the more purely theoretical aspects, some application aspects are also introduced through the use of specialized software.
MAKING JUDGEMENTS: The course aims to provide a broad and coherent view of the various aspects concerning risk assessment and management that can guide decisions and problem solving in financial contexts characterized by information that is often limited and rapidly evolving.
COMMUNICATION SKILLS: The student must be in possession of adequate knowledge that allows him to communicate clearly, to specialist and non-specialist interlocutors, the theoretical context of reference and summarize the empirical evidence concerning the decisional problem raised in the financial framework.
LEARNING SKILLS: The student must be able to deal with the problems of analyzing financial markets and measuring risk in a largely autonomous way, and the necessary updating of knowledge and models which are in continuous evolution in this framework.
Prerequisiti
Conoscenze base di matematica generale (serie, limiti, derivate, integrali), statistica (distribuzioni, momenti) e dei principali prodotti finanziari (azioni, obbligazioni e derivati).
Prerequisites
Basic knowledge of general mathematics (series, limits, derivatives, integrals), statistic (distributions, moments) and of the main financial products (shares, bonds and derivatives).
Programma
- Elementi di Teoria della Probabilità. Variabili aleatorie: funzioni di distribuzione e densità. Esempi di distribuzioni notevoli. Valori attesi e momenti di una distribuzione. La legge dei grandi numeri. Il teorema del limite centrale. Metodi Monte Carlo per la generazione di scenari. Il rischio in finanza.
- Elementi di Algebra lineare. Vettori e matrici. Sistemi lineari e loro soluzione. Autovalori ed autovettori.
- Elementi di calcolo multivariato. Funzioni di più variabili. Le curve di livello, le derivate parziali, il gradiente, la matrice Hessiana. Il polinomio di Taylor per funzioni di più variabili. Ottimizzazioni libere e vincolate. Metodi numerici per l’ottimizzazione. Applicazioni alla finanza.
Program
- Fundamentals of probability theory. Random variables: distribution functions, densities, examples of notable distributions. Expectations and moments. The Law of Large Numbers. Central Limit Theorem. Monte Carlo methods for scenario generation. Financial risk.
- Fundamentals of linear algebra. Matrices and vectors. Linear systems.and their solutions. Eigvectors and eigenvalues.
- Fundamentals of multivariate calculus. Multivariate functions. Contour lines, partial derivatives, the gradient vector and the Hessian matrix. Taylor polynomial. Constrained and unconstrained optimization. Numerical methods for optimization. Financial applications.
Testi Adottati
Per ogni argomento previsto nel programma vengono resi disponibili agli studenti sia gli appunti delle lezioni che una collezione di esercizi per la preparazione dell’esame. Il materiale didattico è disponibile nella pagina web del corso insieme ad una bibliografia per l’approfondimento di specifici argomenti.
Testi di riferimento:
Essential Mathematics for Economic Analysis, K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strom, A. Carvajal, Pearson
Baldi P., Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill, 2011.
Books
For each topic included in the program, both lecture notes and a collection of exercises for exam preparation are made available to students. The teaching material is available on the course web page together with a bibliography for in-depth study of specific topics.
Testi di riferimento:
Essential Mathematics for Economic Analysis, K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strom, A. Carvajal, Pearson, 2016.
Baldi P., Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill, 2011.
Bibliografia
Essential Mathematics for Economic Analysis, K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strom, A. Carvajal, Pearson
Baldi P., Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill, 2011.
Ramponi A., Lezioni di Finanza Matematica, Aracne, 2012.
Options, Futures, and Other Derivatives, Global Edition, J. Hull, Pearson
Bibliography
Essential Mathematics for Economic Analysis, K. Sydsaeter, P. Hammond, A. Strom, A. Carvajal, Pearson
Baldi P., Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill, 2011.
Ramponi A., Lezioni di Finanza Matematica, Aracne, 2012.
Options, Futures, and Other Derivatives, Global Edition, J. Hull, Pearson
Modalità di svolgimento
Il Corso prevede lezioni frontali ed esercitazioni in aula sugli argomenti previsti nel programma.
Teaching methods
The course includes lectures and classroom exercises on the topics of the program.
Regolamento Esame
L’esame comprende una prova scritta ed una prova orale. La prova orale può essere sostenuta solamente se si è superata, con voto almeno sufficiente, la prova scritta.
Esame scritto
• L’esame scritto comprende 4/6 esercizi ed una o due domande a risposta aperta.
• Gli esercizi possono avere per oggetto gli esempi numerici/esercizi presenti nel materiale didattico e/o svolti durante le esercitazioni in aula.
• Le domande con risposta aperta si riferiscono ad argomenti trattati nei libri di testo e nel corso delle lezioni in aula. Il voto viene attribuito calcolando in trentesimi il voto della prova scritta.
Esame orale
Superata la prova scritta, lo studente sostiene l’esame orale, consistente prima di tutto nella visione e discussione dei contenuti del compito al fine di ottenere la conferma del voto della prova scritta. Nel corso dell’esame lo studente può decidere di sostenere un colloquio sui contenuti dell’intero corso; in questo caso il voto finale sarà assegnato dal docente, tenuto conto del risultato del colloquio orale e della prova scritta (senza alcuna "garanzia" di voto minimo).
Exam Rules
The exam includes a written test,and an oral test. The oral exam can only be taken if the written test has been passed with at least sufficient marks.
Written examination
The written exam includes 4/6 exercises and one or two open-ended questions.
• The exercises can have as object the numerical examples/exercises present in the didactic material and/or performed during the exercises in the classroom.
• Open-ended questions refer to topics covered in textbooks and during classroom lessons. The vote is attributed by calculating the mark of the written test in thirtieths.
Oral examination
After the written test, the student takes the oral exam, consisting first of all in the vision and discussion of the contents of the task in order to obtain confirmation of the mark of the written test. During the exam the student can decide to hold an interview on the contents of the entire course; in this case the final grade will be assigned by the teacher, taking into account the result of the oral interview and the written test (without any "guarantee" of minimum grade).
Modalità di frequenza
frequenza facoltativa
Attendance Rules
Optional attendance.
EN
IT
Aggiornato A.A. 2022-2023
Modelli Matematici per la Finanza
Obiettivi del Corso.
Apprendimento delle principali tecniche matematiche utilizzate nella modellizzazione e nell’analisi dei mercati finanziari e comprensione delle caratteristiche essenziali dei vari modelli.
Capacità sia di comprendere la descrizione matematica, che di descrivere in termini matematici, attività e prodotti finanziari.
Capacità di utilizzare le conoscenze acquisite per la caratterizzazione di prodotti finanziari complessi e l’eventuale implementazione di tecniche di prezzaggio e/o di copertura.
Programma.
(6cfu)
I) Spazi di probabilità. Probabilità condizionata e indipendenza. Formula della probabilità totale. Variabili aleatorie, discrete e continue. Funzione di distribuzione e densità. Aspettazioni e quantili. Variabili aleatorie multivariate. Convergenza di variabili aleatorie. La legge dei grandi numeri. Il teorema limite centrale.
II) Vettori e matrici. Rango e determinante. Sistemi lineari. Autovalori e autovettori.
III) Funzioni di più variabili. Gradiente, Hessiano, formula di Taylor. Minimi/massimi liberi e vincolati. Applicazione alla Teoria del Portafoglio.
(9cfu)
IV) Generalità sui derivati finanziari. Modelli ad albero per la valutazione di derivati. Valutazione neutrale al rischio. La formula di Cox-Ross-Rubinstein. Dalla formula CRR alla formula di Black & Scholes. Proprieta' della formula di Black & Scholes: volatilità implicita e lettere greche. Strategie di Hedging. Value at Risk per derivati europei: il modello Delta-Normal.
Testi consigliati
P. Baldi - Calcolo delle probabilita' e statistica, McGraw-Hill,
S. Ross - Calcolo delle probabilita', Apogeo
Note del docente.
Metodo di insegnamento.
Il Corso prevede lezioni frontali ed esercitazioni sui vari argomenti.
Aggiornato A.A. 2022-2023
Modelli Matematici per la Finanza
(6cfu)
I) Probability spaces. Conditional probability and independence. Total probability formula. Discrete and continuous random variables. Distributions and densities. Expectations and quantiles. Multidimensional r.v's. Types of convergence. The Law of Large Numbers. The Central Limit Theorem.
II) Vectors and matrices. Rank and determinants. Linear systems. Eigenvalues and eigenvectors.
III) Multivariate calculus. Gradient, Hessian, Taylor formula. Constrained minima/maxima. Application to Portfolio theory.
(9cfu)
IV) Derivatives. Tree models for derivatives valuation. Risk-neutral pricing. The Cox-Ross-Rubinstein formula. From CRR to the Black & Scholes formula. Properties of the Black & Scholes formula: implied volatility and the Greeks. Hedging strategies. Value-at-Risk for European derivatives: Delta-Normal model.
Textbooks
P. Baldi - Calcolo delle probabilita' e statistica, McGraw-Hill,
S. Ross - Calcolo delle probabilita', Apogeo
Teacher notes.
Lectures and will be in presence.
EN
IT
Aggiornato A.A. 2021-2022
Modelli Matematici per la Finanza
Obiettivi del Corso.
Apprendimento delle principali tecniche matematiche utilizzate nella modellizzazione e nell’analisi dei mercati finanziari e comprensione delle caratteristiche essenziali dei vari modelli.
Capacità sia di comprendere la descrizione matematica, che di descrivere in termini matematici, attività e prodotti finanziari in condizioni d'incertezza.
Capacità di utilizzare le conoscenze acquisite per la valutazione quantitativa di prodotti finanziari complessi, come i derivati o le perdite di un portafoglio di crediti, e l’eventuale implementazione di tecniche di prezzaggio e/o di copertura.
Programma.
Modulo I - Calcolo delle Probabilita'
Spazi di probabilita'. Sigma algebre, probabilita' condizionate e indipendenza. Variabili aleatorie discrete e continue. Funzioni di distribuzione e densita'. Leggi congiunte e indipendenza. Funzioni di variabili aleatorie. Convergenza di variabili aleatorie: legge dei grandi numeri, teorema limite centrale. Valore atteso condizionato e sue proprieta'. Martingale. Il moto browniano, il moto browniano geometrico come soluzione di una EDS (cenni).
Testi consigliati
P. Baldi - Calcolo delle probabilita' e statistica, McGraw-Hill,
S. Ross - Calcolo delle probabilita', Apogeo,
G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker - Probability and random processes, Oxford University Press.
Modulo II - Finanza matematica
Generalita' sui derivati. Contratti Forward e Futures. Opzioni. Limiti sui premi. Arbitraggio. La relazione di parita' Put-Call.
Modelli ad albero per la valutazione di derivati. Valutazione neutrale al rischio. La formula di Cox-Ross-Rubinstein. Dalla formula CRR alla formula di Black & Scholes. Proprieta' della formula di Black & Scholes. Dinamiche log-normali. Lettere greche e la PDE di Black & Scholes. Gestione del rischio per derivati. Strategie di Hedging. Il VaR e le sue principali proprieta'. Il modello lineare ed il modello quadratico. Introduzione al rischio di credito: il modello di strutturale di Merton.
Testi consigliati
A. Ramponi- Lezioni di Finanza Matematica, II Ed. Aracne, 2015
J.C. Hull - Opzioni, Futures e altri Derivati, Pearson, Prentice-Hall
Metodo di insegnamento.
Il Corso prevede lezioni on-line frontali ed esercitazioni sui vari argomenti.
Aggiornato A.A. 2021-2022
Mathematical Models for Finance
I - Probability
Probability spaces. Sigma-Algebras, conditional probabilities and independence. Discrete and continuous random variables. Distribution functions and densities. Joint laws and independence. Function of random variables. Convergences: the Law of Large Numbers, the Central LImit Theorem. Conditional expectations and their main properties. Martingales. Brownian motion geometrical brownian motion and the solution of SDE.
Textbooks (suggested)
P. Baldi - Calcolo delle probabilita' e statistica, McGraw-Hill,
S. Ross - Calcolo delle probabilita', Apogeo,
G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker - Probability and random processes, Oxford University Press.
II - Mathematical finance
Derivatives: forward, futures and options. Arbitrage. Put-call parity.
Tree models for derivatives valuation. Risk neutral pricing: the Cox-Ross-Rubinstein formula. From CRR to the Black & Scholes formula. The main properties of the Black & scholes formula. Log-normal dynamics. The Greeks and the B&S PDE. Hedging strategies.
Value at risk: definition and main properties. Linear and quadratic models.
Introduction to the credit risk: the structural Merton model.
Textbooks
A. Ramponi- Lezioni di Finanza Matematica, II Ed. Aracne, 2015
J.C. Hull - Opzioni, Futures e altri Derivati, Pearson, Prentice-Hall
Lectures will be on-line.
EN
IT
Aggiornato A.A. 2020-2021
Modelli Matematici per la Finanza
Obiettivi del Corso.
Apprendimento delle principali tecniche matematiche utilizzate nella modellizzazione e nell’analisi dei mercati finanziari e comprensione delle caratteristiche essenziali dei vari modelli.
Capacità sia di comprendere la descrizione matematica, che di descrivere in termini matematici, attività e prodotti finanziari in condizioni d'incertezza.
Capacità di utilizzare le conoscenze acquisite per la valutazione quantitativa di prodotti finanziari complessi, come i derivati o le perdite di un portafoglio di crediti, e l’eventuale implementazione di tecniche di prezzaggio e/o di copertura.
Programma.
Modulo I - Calcolo delle Probabilita'
Spazi di probabilita'. Sigma algebre, probabilita' condizionate e indipendenza. Variabili aleatorie discrete e continue. Funzioni di distribuzione e densita'. Leggi congiunte e indipendenza. Funzioni di variabili aleatorie. Convergenza di variabili aleatorie: legge dei grandi numeri, teorema limite centrale. Valore atteso condizionato e sue proprieta'. Martingale. Il moto browniano, il moto browniano geometrico come soluzione di una EDS (cenni).
Testi consigliati
P. Baldi - Calcolo delle probabilita' e statistica, McGraw-Hill,
S. Ross - Calcolo delle probabilita', Apogeo,
G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker - Probability and random processes, Oxford University Press.
Modulo II - Finanza matematica
Generalita' sui derivati. Contratti Forward e Futures. Opzioni. Limiti sui premi. Arbitraggio. La relazione di parita' Put-Call.
Modelli ad albero per la valutazione di derivati. Valutazione neutrale al rischio. La formula di Cox-Ross-Rubinstein. Dalla formula CRR alla formula di Black & Scholes. Proprieta' della formula di Black & Scholes. Dinamiche log-normali. Lettere greche e la PDE di Black & Scholes. Gestione del rischio per derivati. Strategie di Hedging. Il VaR e le sue principali proprieta'. Il modello lineare ed il modello quadratico. Introduzione al rischio di credito: il modello di strutturale di Merton.
Testi consigliati
A. Ramponi- Lezioni di Finanza Matematica, II Ed. Aracne, 2015
J.C. Hull - Opzioni, Futures e altri Derivati, Pearson, Prentice-Hall
Metodo di insegnamento.
Il Corso prevede lezioni on-line frontali ed esercitazioni sui vari argomenti.
Aggiornato A.A. 2020-2021
Mathematical Models for Finance
I - Probability
Probability spaces. Sigma-Algebras, conditional probabilities and independence. Discrete and continuous random variables. Distribution functions and densities. Joint laws and independence. Function of random variables. Convergences: the Law of Large Numbers, the Central LImit Theorem. Conditional expectations and their main properties. Martingales. Brownian motion geometrical brownian motion and the solution of SDE.
Textbooks (suggested)
P. Baldi - Calcolo delle probabilita' e statistica, McGraw-Hill,
S. Ross - Calcolo delle probabilita', Apogeo,
G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker - Probability and random processes, Oxford University Press.
II - Mathematical finance
Derivatives: forward, futures and options. Arbitrage. Put-call parity.
Tree models for derivatives valuation. Risk neutral pricing: the Cox-Ross-Rubinstein formula. From CRR to the Black & Scholes formula. The main properties of the Black & scholes formula. Log-normal dynamics. The Greeks and the B&S PDE. Hedging strategies.
Value at risk: definition and main properties. Linear and quadratic models.
Introduction to the credit risk: the structural Merton model.
Textbooks
A. Ramponi- Lezioni di Finanza Matematica, II Ed. Aracne, 2015
J.C. Hull - Opzioni, Futures e altri Derivati, Pearson, Prentice-Hall
Lectures will be on-line.
Aggiornato A.A. 2019-2020
Modelli Matematici per la Finanza
Obiettivi del Corso.
Apprendimento delle principali tecniche matematiche utilizzate nella modellizzazione e nell’analisi dei mercati finanziari e comprensione delle caratteristiche essenziali dei vari modelli.
Capacità sia di comprendere la descrizione matematica, che di descrivere in termini matematici, attività e prodotti finanziari in condizioni d'incertezza.
Capacità di utilizzare le conoscenze acquisite per la valutazione quantitativa di prodotti finanziari complessi, come i derivati o le perdite di un portafoglio di crediti, e l’eventuale implementazione di tecniche di prezzaggio e/o di copertura.
Programma.
Modulo I - Calcolo delle Probabilita'
Spazi di probabilita'. Sigma algebre, probabilita' condizionate e indipendenza. Variabili aleatorie discrete e continue. Funzioni di distribuzione e densita'. Leggi congiunte e indipendenza. Funzioni di variabili aleatorie. Funzioni caratteristiche: principali proprieta'. Convergenza di variabili aleatorie: legge dei grandi numeri, teorema limite centrale. Valore atteso condizionato e sue proprieta'. Martingale. Il moto browniano, il moto browniano geometrico come soluzione di una EDS (cenni).
Testi consigliati
P. Baldi - Calcolo delle probabilita' e statistica, McGraw-Hill,
S. Ross - Calcolo delle probabilita', Apogeo,
G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker - Probability and random processes, Oxford University Press,
P. Billingsley - Probability and Measure, Wiley.
Modulo II - Finanza matematica
Generalita' sui derivati. Contratti Forward e Futures. Opzioni. Limiti sui premi. Arbitraggio. La relazione di parita' Put-Call.
Modelli ad albero per la valutazione di derivati. Valutazione neutrale al rischio. La formula di Cox-Ross-Rubinstein. Dalla formula CRR alla formula di Black & Scholes. Proprieta' della formula di Black & Scholes. Dinamiche log-normali. Lettere greche e la PDE di Black & Scholes. Gestione del rischio per derivati. Strategie di Hedging. Il VaR e le sue principali proprieta'. Il modello lineare ed il modello quadratico. Introduzione al rischio di credito: il modello di strutturale di Merton. Il Credit Value Adjustment nella valutazione di derivati.
Testi consigliati
A. Ramponi- Lezioni di Finanza Matematica, II Ed. Aracne, 2015
J.C. Hull - Opzioni, Futures e altri Derivati, Pearson, Prentice-Hall
Metodo di insegnamento.
Il Corso prevede lezioni frontali ed esercitazioni sui vari argomenti.
Aggiornato A.A. 2018-2019
Modelli Matematici per la Finanza
Obiettivi del Corso.
Apprendimento delle principali tecniche matematiche utilizzate nella modellizzazione e nell’analisi dei mercati finanziari e comprensione delle caratteristiche essenziali dei vari modelli.
Capacità sia di comprendere la descrizione matematica, che di descrivere in termini matematici, attività e prodotti finanziari in condizioni d'incertezza.
Capacità di utilizzare le conoscenze acquisite per la valutazione quantitativa di prodotti finanziari complessi, come i derivati o le perdite di un portafoglio di crediti, e l’eventuale implementazione di tecniche di prezzaggio e/o di copertura.
Programma.
Modulo I - Calcolo delle Probabilita'
Spazi di probabilita'. Sigma algebre, probabilita' condizionate e indipendenza. Variabili aleatorie discrete e continue. Funzioni di distribuzione e densita'. Leggi congiunte e indipendenza. Funzioni di variabili aleatorie. Funzioni caratteristiche: principali proprieta'. Convergenza di variabili aleatorie: legge dei grandi numeri, teorema limite centrale. Valore atteso condizionato e sue proprieta'. Martingale. Il moto browniano, il moto browniano geometrico come soluzione di una EDS (cenni).
Testi consigliati
P. Baldi - Calcolo delle probabilita' e statistica, McGraw-Hill,
S. Ross - Calcolo delle probabilita', Apogeo,
G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker - Probability and random processes, Oxford University Press,
P. Billingsley - Probability and Measure, Wiley.
Modulo II - Finanza matematica
Generalita' sui derivati. Contratti Forward e Futures. Opzioni. Limiti sui premi. Arbitraggio. La relazione di parita' Put-Call.
Modelli ad albero per la valutazione di derivati. Valutazione neutrale al rischio. La formula di Cox-Ross-Rubinstein. Dalla formula CRR alla formula di Black & Scholes. Proprieta' della formula di Black & Scholes. Dinamiche log-normali. Lettere greche e la PDE di Black & Scholes. Gestione del rischio per derivati. Strategie di Hedging. Il VaR e le sue principali proprieta'. Il modello lineare ed il modello quadratico. Il Credit Value Adjustment nella valutazione di derivati.
Testi consigliati
A. Ramponi- Lezioni di Finanza Matematica, II Ed. Aracne, 2015
J.C. Hull - Opzioni, Futures e altri Derivati, Pearson, Prentice-Hall
Metodo di insegnamento.
Il Corso prevede lezioni frontali ed esercitazioni sui vari argomenti.
Aggiornato A.A. 2017-2018
Modelli Matematici per la Finanza A.A. 2017/2018
Obiettivi del Corso.
Apprendimento delle principali tecniche matematiche utilizzate nella modellizzazione e nell’analisi dei mercati finanziari e comprensione delle caratteristiche essenziali dei vari modelli.
Capacità sia di comprendere la descrizione matematica, che di descrivere in termini matematici, attività e prodotti finanziari in condizioni d'incertezza.
Capacità di utilizzare le conoscenze acquisite per la valutazione quantitativa di prodotti finanziari complessi, come i derivati o le perdite di un portafoglio di crediti, e l’eventuale implementazione di tecniche di prezzaggio e/o di copertura.
Programma.
Modulo I - Calcolo delle Probabilita'
Spazi di probabilita'. Sigma algebre, probabilita' condizionate e indipendenza. Variabili aleatorie discrete e continue. Funzioni di distribuzione e densita'. Leggi congiunte e indipendenza. Funzioni di variabili aleatorie. Funzioni caratteristiche: principali proprieta'. Convergenza di variabili aleatorie: legge dei grandi numeri, teorema limite centrale. Valore atteso condizionato e sue proprieta'. Martingale. Il moto browniano, il moto browniano geometrico come soluzione di una EDS (cenni).
Testi consigliati
P. Baldi - Calcolo delle probabilita' e statistica, McGraw-Hill,
S. Ross - Calcolo delle probabilita', Apogeo,
G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker - Probability and random processes, Oxford University Press,
P. Billingsley - Probability and Measure, Wiley.
Modulo II - Finanza matematica
Generalita' sui derivati. Contratti Forward e Futures. Opzioni. Limiti sui premi. Arbitraggio. La relazione di parita' Put-Call.
Modelli ad albero per la valutazione di derivati. Valutazione neutrale al rischio. La formula di Cox-Ross-Rubinstein. Dalla formula CRR alla formula di Black & Scholes. Proprieta' della formula di Black & Scholes. Dinamiche log-normali. Lettere greche e la PDE di Black & Scholes. Gestione del rischio per derivati. Strategie di Hedging. Il VaR e le sue principali proprieta'. Il modello lineare ed il modello quadratico. Il Credit Value Adjustment nella valutazione di derivati.
Testi consigliati
A. Ramponi- Lezioni di Finanza Matematica, II Ed. Aracne, 2015
J.C. Hull - Opzioni, Futures e altri Derivati, Pearson, Prentice-Hall
Metodo di insegnamento.
Il Corso prevede lezioni frontali ed esercitazioni sui vari argomenti.
Aggiornato A.A. 2016-2017
Modelli Matematici per la Finanza A.A. 2016/2017
Obiettivi del Corso.
Apprendimento delle principali tecniche matematiche utilizzate nella modellizzazione e nell’analisi dei mercati finanziari e comprensione delle caratteristiche essenziali dei vari modelli.
Capacità sia di comprendere la descrizione matematica, che di descrivere in termini matematici, attività e prodotti finanziari in condizioni d'incertezza.
Capacità di utilizzare le conoscenze acquisite per la valutazione quantitativa di prodotti finanziari complessi, come i derivati o le perdite di un portafoglio di crediti, e l’eventuale implementazione di tecniche di prezzaggio e/o di copertura.
Programma.
Modulo I - Calcolo delle Probabilita'
Spazi di probabilita'. Sigma algebre, probabilita' condizionate e indipendenza. Variabili aleatorie discrete e continue. Funzioni di distribuzione e densita'. Leggi congiunte e indipendenza. Funzioni di variabili aleatorie. Funzioni caratteristiche: principali proprieta'. Convergenza di variabili aleatorie: legge dei grandi numeri, teorema limite centrale. Valore atteso condizionato e sue proprieta'. Martingale. Il moto browniano, il moto browniano geometrico come soluzione di una EDS (cenni).
Testi consigliati
P. Baldi - Calcolo delle probabilita' e statistica, McGraw-Hill,
S. Ross - Calcolo delle probabilita', Apogeo,
G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker - Probability and random processes, Oxford University Press,
P. Billingsley - Probability and Measure, Wiley.
Modulo II - Finanza matematica
Generalita' sui derivati. Contratti Forward e Futures. Opzioni. Limiti sui premi. Arbitraggio. La relazione di parita' Put-Call.
Modelli ad albero per la valutazione di derivati. Valutazione neutrale al rischio. La formula di Cox-Ross-Rubinstein. Dalla formula CRR alla formula di Black & Scholes. Proprieta' della formula di Black & Scholes. Lettere greche e la PDE di Black & Scholes. Dinamiche log-normali. Hedging.
Misure di rischio. Il VaR e le sue principali proprieta', il CVaR. Il rischio di credito e le sue componenti. Principali modelli per il rischio di credito. Il modello strutturale di Merton. Il modello ASRF (Asymptotic Single Risk Factor) e le sue principali proprieta'. Il Credit Value Adjustment nella valutazione di derivati.
Testi consigliati
A. Ramponi- Lezioni di Finanza Matematica, II Ed. Aracne, 2015
J.C. Hull - Opzioni, Futures e altri Derivati, Pearson, Prentice-Hall
Metodo di insegnamento.
Il Corso prevede lezioni frontali ed esercitazioni sui vari argomenti.
Aggiornato A.A. 2015-2016
Modelli Matematici per la Finanza A.A. 2015/2016
Modulo I - Calcolo delle Probabilita'
Spazi di probabilita'. Indipendenza e probabilita' condizionate. Variabili aleatorie discrete e continue. Funzioni di distribuzione e densita'. Leggi congiunte e indipendenza. Funzioni di variabili aleatorie. Funzioni caratteristiche: principali proprieta'. Convergenza di variabili aleatorie: legge dei grandi numeri, teorema limite centrale. Valore atteso condizionato e sue proprieta'. Martingale. Il moto browniano, il moto browniano geometrico come soluzione di una EDS (cenni).
Testi consigliati
P. Baldi - Calcolo delle probabilita' e statistica, McGraw-Hill,
S. Ross - Calcolo delle probabilita', Apogeo,
G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker - Probability and random processes, Oxford University Press,
P. Billingsley - Probability and Measure, Wiley.
Modulo II - Finanza matematica
Generalita' sui derivati. Contratti Forward e Futures. Opzioni. Limiti sui premi. Arbitraggio. La relazione di parita' Put-Call.
Modelli ad albero per la valutazione di derivati. Valutazione neutrale al rischio. La formula di Cox-Ross-Rubinstein. Dalla formula CRR alla formula di Black & Scholes. Proprieta' della formula di Black & Scholes. Lettere greche e la PDE di Black & Scholes. Dinamiche log-normali. Hedging.
Misure di rischio. Il VaR e le sue principali proprieta'. Il rischio di credito e le sue componenti. Principali modelli per il rischio di credito. Il modello strutturale di Merton. Il modello ASRF (Asymptotic Single Risk Factor) e le sue principali proprieta'. Il Credit Value Adjustment nella valutazione di derivati.
Testi consigliati
A. Ramponi- Lezioni di Finanza Matematica, II Ed. Aracne, 2015
J.C. Hull - Opzioni, Futures e altri Derivati, Pearson, Prentice-Hall
Aggiornato A.A. 2014-2015
Modelli Matematici per la Finanza A.A. 2014/2015
Modulo I - Calcolo delle Probabilita'
Spazi di probabilita'. Indipendenza e probabilita' condizionate. Variabili aleatorie discrete e continue. Funzioni di distribuzione e densita'. Leggi congiunte e indipendenza. Funzioni di variabili aleatorie. Funzioni caratteristiche: principali proprieta'. Convergenza di variabili aleatorie: legge dei grandi numeri, teorema limite centrale. Valore atteso condizionato e sue proprieta'. Martingale. Il moto browniano, il moto browniano geometrico come soluzione di una EDS (cenni).
Testi consigliati
P. Baldi - Calcolo delle probabilita' e statistica, McGraw-Hill, S. Ross - Calcolo delle probabilita', Apogeo, G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker - Probability and random processes, Oxford University
Press, P. Billingsley - Probability and Measure, Wiley.
Modulo II - Finanza matematica
Generalita' sui derivati. Contratti Forward e Futures. Opzioni. Limiti sui premi. Arbitraggio. La relazione di parita' Put-Call. Modelli ad albero per la valutazione di derivati. Valutazione neutrale al rischio. La formula di Cox-Ross-Rubinstein. Dalla formula CRR alla formula di Black & Scholes. Proprieta' della formula di Black & Scholes. Lettere greche e la PDE di Black & Scholes. Dinamiche log-normali. Hedging. Misure di rischio. Il VaR e le sue principali proprieta'. Il rischio di credito e le sue componenti. Principali modelli per il rischio di credito. Il modello strutturale di Merton. Il modello ASRF (Asymptotic Single Risk Factor) e le sue principali proprieta'.
Testi consigliati
A. Ramponi- Lezioni di Finanza Matematica, Aracne
J.C. Hull - Opzioni, Futures e altri Derivati, Pearson, Prentice-Hall
Prof.ssa Lucia Leonelli
