Info circa Esami
Appello 2:
I risultati del secondo appello del 18/01/2023 sono visibili sulla pagina Materiale Didattico.
Nota: Le matricole appaiono senza lo "0" iniziale. Per un problema di visualizzazione, i risultati sono stati ricaricati alle ore 13:00
Chi vorrà sostenere la prova orale (facoltativa), dovrà presentarsi Martedì 24 Gennaio in aula P5 alle ore 9:00. Gli studenti interessati a vedere il compito (inclusi gli insufficienti <16, quindi non in elenco) potranno visionare l'elaborato Giovedì 26 Gennaio in aula P5 alle ore 9:00.
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l'esame di Mercoledi' 18 Gennaio si terra' in aula T1. La convocazione e' alle 8:45. L'esame durera' 3 ore.
Per poter partecipare all'appello e' obbligatorio essersi prenotati tramite Delphi ed essere muniti di un documento d'identita' in corso di validita' (carta d'identita' o patente o passaporto)
Non sono ammesse calcolatrici, cellulari, smartwatch, appunti e fogli di qualunque tipo.
I risultati dello scritto appariranno sulla pagina del corso Lunedi' 23 Gennaio.
Le prove orali, per chi vorra'/dovra' sostenerla (come regolamento esami sulla pagina del corso), cominceranno Martedi' 24 Gennaio alle ore 9:00 (aula da definire, controllare nei prossimi giorni la pagina del corso).
Avviso: La procedura di verbalizzazione (online tramite Delphi) dei voti del primo appello verrà effettuata a Gennaio, prima del secondo appello.
L’esame finale (appello) prevede una prova scritta in cui vengono proposti esercizi sugli argomenti più significativi del programma. Con una votazione sufficiente (di 18/30) lo studente può scegliere se verbalizzare il voto dello scritto e concludere l'esame o accedere alla prova orale. Con una votazione maggiore o uguale a 16/30 lo studente può comunque accedere all’orale. Nella prova orale lo studente deve dimostrare di conoscere i concetti teorici alla base degli argomenti proposti nella prova scritta; se ciò accade vengono inoltre chieste nozioni supplementari nel caso lo studente voglia migliorare il voto dello scritto; in caso contrario si chiede allo studente di dimostrare di conoscere almeno gli argomenti di base di tutto il corso. Per passare l’esame occorre ottenere una votazione finale maggiore o uguale a 18/30 (sufficienza).
Per partecipare agli appelli è obbligatorio iscriversi tramite la piattaforma Delphi. Fare attenzione ai periodi in cui è possibile prenotarsi (vedere la sezione appelli).
Inoltre, per poter partecipare agli appelli, il giorno della prova gli studenti devono obbligariamente essere muniti di un documento d'identità in corso di validità (carta d'identità o patente o passaporto) da presentare per l'identificazione.
Appello 1:
Mercoledì 14 Dicembre, aula T1. Convocazione è alle 8:45. L'esame durerà 3 ore.
Non sono ammesse calcolatrici, cellulari, smartwatch, appunti e fogli di qualunque tipo. I risultati dello scritto appariranno sulla pagina del corso Lunedì 19 Dicembre. Le prove orali, per chi vorrà/dovrà sostenerla (come regolamento esami sulla pagina del corso), cominceranno Martedì 20 Dicembre in aula P5 alle ore 9:00.
Gli studenti interessati a vedere il compito (inclusi gli insufficienti <16, quindi non in elenco) potranno visionare l'elaborato Giovedì 22 in aula P5 alle ore 9:00.
I risultati della prova scritta del 14/12/2022 sono visibili sulla pagina Materiale Didattico.
Nota: Le matricole appaiono senza lo "0" iniziale
Come già indicato: Chi vorrà sostenere la prova orale (facoltativa), dovrà presentarsi Martedì 20 Dicembre in aula P5 alle ore 9:00.
Il quesito teorico dei compiti scritti verterà indicativamente sulle seguenti definizioni di base e teoremi incontrati a lezione:
Definizioni
Definizione di limite Lim x->x_0 f(x)= L
Definizione di continuità in una variabile
Definizione di funzione crescente e decrescente in una variabile
Definizione di massimo e minimo relativo (o locale) e assoluto (o globale) in una e due variabili
Definizione di derivata (in una variabile)
Definizione di punto critico (o punto stazionario) in una e due variabili
Definizione di funzione concava o convessa in una variabile
Definizione di primitiva
Definizione di vettori linearmente indipendenti
Definizione di Rango di una matrice
Definizione di Sistema Lineare
Teoremi
A)Teoremi con idea di dimostrazione:
- Teorema unicità del limite
- Teorema del confronto (o teorema dei carabinieri)
- Derivabilità implica continuità
B) Teoremi solo enunciato e controesempi rimuovendo una o più ipotesi:
- Permanenza del segno
- Teorema degli zeri
- Teorema di Weierstrass
C) Teoremi solo enunciato ed esempi di utilizzo:
- Teorema dei valori intermedi
- Teorema di Fermat
- Teorema Criterio differenziale di monotonia
- Teorema Fondamentale del calcolo integrale
- Teorema di Lagrange
- Teorema di Fermat in due variabili sui punti critici liberi
- Teorema di Schwartz per funzioni di due variabili
- Teorema sullo studio dei punti critici usando le derivate seconde: massimi, minimi e selle
- Teorema di Rouché-Capelli
Questi sono da interpretare come nozioni fondamentali per una preparazione di base per il quesito teorico nel compito scritto.
Programma svolto per lezione:
Lezione 1: Numeri Naturali, Interi, Razionali, Reali. Ordinamento dei numeri reali. Irrazionalità di radice di due. Rappresentazione dei reali sulla retta. Intervalli.
Lezione 2: Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore di insiemi. Distanza su R e intorni. Proprietà delle potenze, proprietà dei Logaritmi.
Lezione 3: Funzioni (dominio, codominio, immagine, dominio naturale o campo di esistenza), proprietà di crescenza e decrescenza (incluso stretta) di funzioni. Intervalli di monotonia. Algebra delle funzioni. Composizione di funzioni. Iniettività e funzioni inversa. Teorema stretta crescenza (o decrescenza) implica iniettività (con idea di dimostrazione).
Lezione 4: Funzioni Pari, dispari. Intervalli di monotonia. Funzioni elementari, polinomi, funzioni razionali: Dominio, positività, zeri. Esercizi
Lezione 5: Funzioni Potenza (con esponente reale, in particolare frazionario), Funzione esponenziale, Funzione Logaritmica: Dominio, positività, zeri. Esercizi.
Lezione 6: Funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente) e le loro inverse.
Lezione 7: Punti interni, punti di frontiera, punti di accumulazione. Definizione di limite di funzione. Definizione di successione. Definizione di limite di successione. Teorema Ponte.
Lezione 8: Definizione di continuità, Limiti di funzioni elementari, Proprietà dei limiti (somma, prodotto, quoziente) e forme indeterminate. Esercizi.
Lezione 9: Teorema Cambio di variabile per limiti, Infiniti e infinitesimi, Ordine di Infinito. Esercizi.
Lezione 10: Teorema unicità del limite (con idea di dimostrazione), Teorema del confronto (o teorema dei carabinieri) con idea di dimostrazione, limite di sinx/x per x->0 e a infinito
Lezione 11: Limiti notevoli, Esercizi su limiti
Lezione 12: Esercizi con Limiti notevoli. Asintoti.
Lezione 13: Teoremi sulla continuità: Permanenza del segno, Teorema degli zeri, Teorema di Weierstrass. Enunciato e commenti sulla validità dei teoremi quando manca una o più ipotesi. Massimi e minimi assoluti.
Lezione 14: Teorema di Weierstrass (Enunciato e commenti sulla validità dei teoremi quando manca una o più ipotesi), Teorema dei valori intermedi (solo enunciato), Continuità della funzione inversa. Definizione di derivabilità, Significato geometrico della derivata.
Lezione 15: Derivabilità implica continuità (con dimostrazione). Derivata di funzioni elementari. Regole di derivazione. Esercizi.
Lezione 16: Punti di massimo e minimo locale. Teorema di Fermat. Punti singolari per la derivata. Teorema di Lagrange. Teorema Criterio differenziale di monotonia.
Lezione 17: Concavità/convessità e derivata seconda. Formula di Taylor al primo e secondo ordine. Teorema di de l'Hôpital.
Lezione 18: Esercizi su studi di funzione
Lezione 19: Integrale di una funzione secondo Riemann. Teorema della media (solo enunciato). Teorema Fondamentale del calcolo integrale (solo enunciato). Proprietà degli integrali. Integrali di funzioni elementari.
Lezione 20: Tecniche di integrazione, integrazione per sostituzione. Esercizi.
Lezione 21: Integrazione per parti, Integrazione di funzioni razionali
Lezione 22: Esercizi su integrazione, Integrali generalizzati. Serie, serie geometrica, serie armonica.
Lezione 23: Distanza su R^2, Intorni aperti (intorni circolari) di R^2, Insieme aperti, chiusi, frontiera di insiemi di R^2. Funzioni in due variabili, Grafico di una funzione in due variabili. Curve di livello. Dominio naturale e continuità di Funzioni in due variabili.
Lezione 24: Esempio di funzione non continua. Punti di massimo e minimo relativo e assoluto in 2 variabili. Derivate parziali e loro significato geometrico. Gradiente. Punto critico. Teorema di Fermat in due variabili. Esercizi.
Lezione 25: Derivate parziali seconde. Teorema di Schwartz (solo enunciato). Matrice hessiana. Criterio per determinare la natura dei punti stazionari con la mattrice hessiana
Lezione 26: Massimi e minimi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Esercizi
Lezione 27: Massimi e minimi in una regione del piano, esercizi. Limiti in una variabile con comportamenti asintotici. Esercizi
Lezione 28: Spazi vettoriali, combinazioni lineari, prodotto scalare e norma di un vettore, ortogonalità, sottospazi vettoriali. Esempi ed esercizi.
Lezione 29: Distanza tra due punti in R^n. Dipendenza/indipendenza lineare e loro proprietà; base di uno spazio vettoriale e coordinate di un vettore rispetto ad una base; ortogonalità ed indipendenza; rango di un insieme di vettori.
Lezione 30: Spazi vettoriali generati da vettori, base canonica di R^n, dimensione di spazio vettoriale. Sistema lineare Ax=b, matrici, prodotto righe per colonne; definizione di determinante; esempi ed esercizi.
Lezione 31: Proprietà e calcolo dei determinanti ( sviluppo secondo Laplace ); rango di matrice; matrice inversa; Teor. di Kronecker. Proprietà di n vettori di R^n. Esempi.
Lezione 32: Teorema di Cramer e Teorema di Rouché - Capelli. Sistemi omogenei, soluzioni e basi; Esempi.
Lezione 33: Equazioni di rette parallele e perpendicolari nel piano cartesiano. Esempi ed esercizi sui sistemi lineari.
Lezione 34: Esempi ed esercizi su rango e sistemi lineari.
Lezione 35: Piano tangente al grafico di una funzione di due variabili; formula di Taylor del secondo ordine per funzioni di due variabili. Altri esercizi di algebra lineare.
Avvisi passati:
Le lezioni inizieranno martedì 27 settembre (non il 26) al fine di agevolare le studentesse e gli studenti universitari fuori sede negli spostamenti richiesti dall’adempimento elettorale e quanti risultino impegnati nelle procedure amministrative dei seggi medesimi.
Lezioni frontali di 2 ore ciascuna come da Calendario Didattico in aula T1.
La frequenza non è obbigatoria ma fortemente consigliata.
Le lezioni si svolgeranno in presenza. Saranno inoltre trasmesse in streaming via piattaforma Microsoft Teams. Il codice del canale Teams è indicato nel calendario delle lezioni.
Non sono autorizzate registrazioni delle lezioni e delle esercitazioni
Per le esercitazioni, gli studenti sono considerati divisi per cognome in due sottocanali A-C e D-L. Le esercitazioni per i sottocanali saranno svolte rispettivamente dal dott. Alessio Ranallo e il dott. Jacopo Garofali come segue
Sottocanale A-C: Martedì 16:00-18:00 aula I2
Sottocanale D-L: Martedì 16:00-18:00 aula I4
a partire da Martedì 4 Ottobre
A partire da Martedì 8 Novembre le esercitazioni per entrambi i sottocanali saranno tenute dal Dott. Alessio Ranallo in Aula Magna dalle 16:00 alle 18:00. Il canale Teams corrispondente è il canale Esercitazioni A-C.
Prof.ssa Lucia Leonelli
