EN
IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI:
Il corso di Matematica Generale fornisce elementi teorici e pratici essenziali per i percorsi di studio in Economia, con un focus sull'Analisi Matematica. Il corso affronta argomenti fondamentali dell'analisi matematica, quali lo studio delle funzioni, i problemi di ottimizzazione e l’algebra lineare, in modo funzionale alla trattazione di applicazioni economiche e finanziarie.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
Le principali conoscenze acquisite includono i concetti di insieme, limite, funzione, derivata, integrale, vettore, rango, dipendenza ed indipendenza lineare, i sistemi di equazioni lineari,. Lo/la studente acquisisce le conoscenze di base per lo studio di una funzione e l'analisi di grafici.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Le principali abilità acquisite si realizzano nella messa in pratica delle conoscenze teoriche al fine di risolvere esercizi e problemi pratici, come lo studio di funzione e la risoluzione di sistemi lineari. In particolare, lo studio dei problemi di ottimizzazione e la risoluzione di sistemi lineari potranno essere applicati al fine di risolvere problemi di carattere economico.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Lo studio del corso di Matematica Generale consente di acquisire un metodo di studio, competenze logico-formali e capacita' di astrazione autonome, fondamentali sia nell'applicazione degli studi in ambito professionale che per la prosecuzione degli studi in ambito teorico.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Il corso si prefigge di sviluppare competenze comunicative che permettano di esprimere in modo chiaro, esaustivo, eventualmente sintetico, ma senza semplificazioni, e con un linguaggio adeguato le conoscenze acquisite.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO:
L'acquisizione di concetti e metodi matematici elementari aiuta a leggere e comprendere argomentazioni tecniche presenti in testi di divulgazione e articoli in modo autonomo, con particolare attenzione alle discipline economiche.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
The course of Calculus provides essential theoretical and practical elements for study paths in Economics, with a focus on Mathematical Analysis. The course covers fundamental topics of mathematical analysis, such as the study of functions, optimization problems, and linear algebra, in a way that is functional for the treatment of economic and financial applications.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The main acquired knowledge includes the concepts of set, limit, function, derivative, integral, vector, rank, linear dependence and independence, as well as systems of linear equations. The student acquires the basic knowledge for studying a function and analyzing graphs.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The main acquired skills are realized in the practical application of theoretical knowledge to solve exercises and practical problems, such as the study of functions and the resolution of linear systems. In particular, the study of optimization problems and the resolution of linear systems can be applied to solve economic problems.
MAKING JUDGEMENTS:
The study of Calculus allows students to acquire a study method, logical-formal skills, and autonomous abstraction abilities, which are fundamental both for the application of studies in the professional field and for the continuation of studies in the theoretical field.
COMMUNICATION SKILLS:
The course aims to develop communication skills that allow students to express the acquired knowledge clearly, comprehensively, possibly concisely, avoiding oversimplification, and with appropriate language.
LEARNING SKILLS:
Acquiring elementary mathematical concepts and methods helps in reading and understanding technical arguments present in popular science texts and articles independently, with particular attention to economic disciplines.
Prerequisiti
Il corso presuppone la conoscenza di argomenti matematici trattati alla scuola superiore. Tali argomenti sono: numeri naturali, interi, razionali e irrazionali. Calcolo algebrico. Trigonometria. Equazioni e diseguaglianze di primo e secondo grado. Logaritmi.
Prerequisites
The course presupposes knowledge of mathematical topics covered in high school. These topics include: natural, integer, rational, and irrational numbers. Algebraic calculus. Trigonometry. First and second-degree equations and inequalities. Logarithms.
Programma
Parte A)
Elementi di teoria degli insiemi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, complementare, insieme delle parti e partizioni, prodotto cartesiano. Insiemi numerici: i numeri interi, razionali, reali e loro proprietà generali. Topologia della retta reale: insiemi aperti, chiusi, punti interni, esterni, di accumulazione, di frontiera, isolati, maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore di un sottoinsieme di R. (10 ore)
Parte B)
Funzioni reali di variabile reale. Funzioni crescenti, decrescenti, monotone, funzione composta, funzione inversa. Successioni di numeri reali: limite di una successione, proprietà ed esempi vari. Il numero "e". Serie numeriche, serie geometrica, serie armonica, criterio del rapporto. Le funzioni esponenziale e logaritmo: principali proprietà. Limiti di funzioni al finito e all'infinito: definizioni, esempi e proprietà.
Cenni sulle funzioni trigonometriche e loro inverse. Funzioni continue. Massimi e minimi locali e globali. Il teorema di Weierstrass, il teorema della permanenza del segno. Il teorema di esistenza degli zeri. Funzioni derivabili: definizione, esempi. Regole di derivazione. Derivate di ordine superiore. Concavità e convessità. Polinomio di Taylor. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Forme indeterminate e teorema di de L'Hospital. Studio grafico di funzioni. (28 ore)
Parte C)
L'integrale definito: definizione e principali proprietà. Integrale indefinito. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. L'integrazione per parti e per sostituzione. (6 ore)
Parte D)
Algebra Lineare: Spazi vettoriali. Matrici e sistemi lineari. Operazioni su matrici. Determinante e matrici invertibili. Rango di una matrice. I teoremi di Cramer e di Rouche-Capelli. (10 ore)
Program
Part A)
Elements of set theory. Operations between sets: union, intersection, complement, set of parts and partitions, Cartesian product. Numerical sets: integer, rational, real numbers and their general properties. Topology of the real line: open, closed, interior, exterior, accumulation, boundary, isolated, major, minor, points, supremum, infimum of a subset of R.
Part B)
Real functions of real variable. Increasing, decreasing, monotonic functions, compound function, inverse function. Sequences of real numbers: limit of a sequence, properties and various examples. The number is". Numerical series, geometric series, harmonic series, ratio criterion. The exponential and logarithm functions: main properties. Limits of finite and infinite functions: definitions, examples and properties.
Outline of trigonometric functions and their inverses. Continuous functions. Local and global maxima and minima. Weierstrass theorem, the sign permanence theorem. theor. of zeros. Derivable functions: definition, examples. Derivation rules. Higher order derivatives. Concavity and convexity. Taylor polynomial. Rolle and Lagrange theorems. Indeterminate forms and de L'Hospital's theorem. Graphic study of functions.
Part C)
The definite integral: definition and main properties. Indefinite integral. The fundamental theorem of integral calculus. Integration by parts and by substitution.
Part D)
Linear Algebra: Vector spaces. Matrices and linear systems. Matrix operations. Determinant and invertible matrices. Rank of a matrix. Cramer's and Rouche-Capelli's theorems.
Testi Adottati
Marcellini, Sbordone. Matematica generale - (Liguori 2007)
Books
Carl P. Simon, Lawrence E. Blume, Mathematics for Economists (International Student Edition)
Bibliografia
L. Peccati, S. Salsa, A. Squellati, Matematica per l'economia e l'azienda, Egea (IV ediz)
A. Guerraggio, Matematica, Pearson (III ediz)
Carl P. Simon, Lawrence E. Blume, Matematica generale. Egea 2007
Bibliography
Carl P. Simon, Lawrence E. Blume, Mathematics for Economists (International Student Edition)
W. Rudin, Principles of mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976
Modalità di svolgimento
Il corso si articola in 54 ore di lezioni frontali teoriche e 18 ore di esercitazioni. Le lezioni frontali sono dedicate alla presentazione e alla spiegazione degli argomenti fondamentali della Matematica Generale, tra cui lo studio di funzione, il calcolo integrale, l’algebra lineare e gli ulteriori contenuti previsti dal programma. La trattazione degli argomenti teorici è accompagnata da esempi e applicazioni pratiche, con particolare riferimento, ove pertinente, a problemi e situazioni proprie dell’economia e della finanza. Tale approccio è finalizzato non solo alla comprensione dei concetti e degli strumenti matematici, ma anche alla loro interpretazione e all’acquisizione della consapevolezza della loro utilità nell’ambito di un percorso di studi in Economia e Management. Le 18 ore di esercitazione sono dedicate all’applicazione e all’approfondimento pratico degli strumenti e dei metodi introdotti durante le lezioni, attraverso la risoluzione di esercizi e problemi, con l’obiettivo di consolidare le conoscenze acquisite e sviluppare progressivamente l’autonomia degli studenti nell’utilizzo degli strumenti matematici. Le lezioni e le esercitazioni prevedono un’interazione continua tra docente e studenti: durante le attività didattiche la classe è invitata a porre domande e a richiedere chiarimenti, sia sugli aspetti teorici sia sulle modalità di applicazione pratica degli strumenti presentati. Tale modalità interattiva favorisce la partecipazione attiva, consente di verificare in itinere la comprensione degli argomenti e contribuisce al raggiungimento degli obiettivi formativi, in particolare per quanto riguarda la capacità di applicare le conoscenze matematiche alla risoluzione di problemi.
Teaching methods
The course consists of 54 hours of lectures and 18 hours of tutorial sessions. The lectures are devoted to the presentation and explanation of the fundamental topics of Mathematics, including function analysis, integral calculus, linear algebra, and the other contents specified in the syllabus. The presentation of theoretical topics is supported by examples and practical applications, with particular reference, where appropriate, to problems and situations arising in economics and finance.
This approach is intended not only to foster the understanding of mathematical concepts and methods, but also to promote their interpretation and to develop students’ awareness of their relevance and usefulness within a programme of study in Economics and Management.
The 18 hours of tutorial sessions are devoted to the practical application and further development of the methods and tools introduced during the lectures. Through the solution of exercises and problems, students are encouraged to consolidate the knowledge acquired and progressively develop autonomy in the use of mathematical techniques.
Both lectures and tutorial sessions are characterized by continuous interaction between the instructor and the students. During teaching activities, students are encouraged to ask questions and seek clarification regarding both theoretical aspects and the practical implementation of the methods and tools presented. This interactive approach promotes active participation, allows ongoing monitoring of students’ understanding of the topics covered, and contributes to the achievement of the intended learning outcomes, particularly with regard to the ability to apply mathematical knowledge to problem-solving.
Regolamento Esame
L' esame finale prevede una prova scritta in cui vengono proposti esercizi sugli argomenti più significativi del programma (limiti, studio di funzione, integrali, sistemi lineari, algebra lineare). Con una votazione sufficiente (di 18/30) lo/la studente può scegliere se verbalizzare il voto dello scritto. La prova orale è prevista, a discrezione della docente, solo nei casi in cui la valutazione dell'elaborato scritto non permette una piena e chiara comprensione del livello di preparazione dello/a studente.
La prova d'’esame valuta più in generale la preparazione complessiva dello studente, la capacità di integrazione delle conoscenze delle diverse parti del programma, la consequenzialità del ragionamento, la capacità analitica e l'autonomia di giudizio. Vengono altresi valutate la proprietà di linguaggio, la chiarezza espositiva e il rigore matematico.
La prova di esame sarà valutata in trentesimi (con possibilità di Lode) secondo i seguenti criteri:
• Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.
• 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.
• 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
• 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
• 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
• 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti. Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio.
Per la verifica della preparazione attraverso esame, non sono previste differenze tra chi ha frequentato e chi non ha frequentato le lezioni.
Exam Rules
The final exam includes a written test in which exercises are proposed on the most significant topics of the program (limits, study of functions, integrals, linear systems, linear algebra). With a sufficient grade (18/30) the student can choose whether to record the grade of the written exam. The oral test is scheduled, at the discretion of the teachers, only in cases where it is deemed appropriate to ascertain the actual knowledge of the student.
More generally, the exam evaluates the student's overall preparation, the ability to integrate the knowledge of the different parts of the program, the consequentiality of reasoning, analytical ability and independent judgement. It is subject of evaluation also the property of language, clarity of presentation and rigor.
The exam will be evaluated out of thirty (with the possibility of honours) according to the following criteria:
• Unsuitable: important deficiencies and/or inaccuracies in knowledge and understanding of the topics; limited capacity for analysis and synthesis, frequent generalisations.
• 18-20: just enough knowledge and understanding of topics with possible imperfections; ability to analyze synthesis and independent judgment sufficient.
• 21-23: Knowledge and understanding of routine topics; Correct analysis and synthesis skills with coherent logical argumentation.
• 24-26: Fair knowledge and understanding of the topics; good analytical and synthesis skills with rigorously expressed arguments.
• 27-29: Thorough knowledge and understanding of topics; remarkable skills of analysis, synthesis. Good autonomy of judgment.
• 30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of the topics. Remarkable capacity for analysis and synthesis and independent judgement.
For the assessment of preparation through exams, there are no differences between those who have attended the classes and those who have not.
Modalità di frequenza
La frequenza in presenza è facoltativa, ma fortemente consigliata. In fase di valutazione non sono previste prove differenziate tra frequentanti e non frequentanti.
Attendance Rules
Attendance in person is optional but strongly recommended. During assessment, there are no differentiated tests between attendees and non-attendees.
EN
IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI:
Il corso di Matematica Generale fornisce elementi teorici e pratici essenziali specifici dell'Analisi Matematica. Il corso affronta gli argomenti matematici di base dell'analisi matematica, quali lo studio di funzione, problemi di ottimizzazione e l’ algebra lineare, in modo funzionale alla trattazione di applicazioni di carattere economico e finanziario.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
Le principali conoscenze acquisite includono i concetti di insieme, limite, funzione, derivata, integrale, vettore, rango, dipendenza ed indipendenza lineare, i sistemi di equazioni lineari,. Lo/la studente acquisisce le conoscenze di base per lo studio di una funzione e l'analisi di grafici.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Le principali abilità acquisite si realizzano nella messa in pratica delle conoscenze teoriche al fine di risolvere esercizi e problemi pratici, come lo studio di funzione e la risoluzione di sistemi lineari. In particolare, lo studio dei problemi di ottimizzazione e la risoluzione di sistemi lineari potranno essere applicati al fine di risolvere problemi di carattere economico.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Lo studio del corso di Matematica Generale consente di acquisire un metodo di studio, competenze logico-formali e capacita' di astrazione, fondamentali sia nell'applicazione degli studi in ambito professionale che per la prosecuzione degli studi in ambito teorico.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Il corso si prefigge di sviluppare competenze comunicative che permettano di esprimere in modo chiaro, esaustivo, eventualmente sintetico senza semplificazioni le conoscenze acquisite.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO:
L'acquisizione di concetti e metodi matematici elementari aiuta a leggere e comprendere argomentazioni tecniche presenti in testi di divulgazione e articoli in modo autonomo, con particolare attenzione alle discipline economiche.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
The General Mathematics course provides both the theoretical and the essential practical elements that allow students to tackle the various problems inherent in elementary Mathematical Analysis, as the study of functions, optimization problems, and Linear Algebra, with specific application to economic issues.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The main acquired knowledge concerns the concepts of set, limit, function, derivative, integral, the concepts of vector, rank, linear dependence and independence, and linear equation systems. At the end of the course the student must have an adequate knowledge of functions and the ability to read graphs.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The main skills acquired are realized in putting theoretical knowledge into practice in order to solve exercises and practical problems, such as the study of functions and the resolution of linear systems. In particular, the study of optimization problems can be applied in order to solve problems related to economics. The same applies to the study of linear systems, fundamental tools for understanding important economic models.
MAKING JUDGEMENTS:
Studying Calculus course allows students to acquire a study method, logical-formal skills and abstraction skills, which are fundamental both in the application of studies in the professional field and for the studies in the theoretical field.
COMMUNICATION SKILLS:
The acquisition of a study and work method, especially if shared with other students and colleagues, also helps to develop the ability to present and share ideas, fundamental qualities for many professionals.
LEARNING SKILLS:
The acquisition of elementary mathematical concepts and methods helps to read and understand the technical arguments in scientific papers or technical report also from other disciplines, for example of an economic nature.
Prerequisiti
l corso presuppone la conoscenza di argomenti matematici trattati alla scuola superiore. Tali argomenti sono: numeri naturali, interi, razionali e irrazionali. Calcolo algebrico. Trigonometria. Equazioni e diseguaglianze di primo e secondo grado. Logaritmi.
Prerequisites
The course presupposes knowledge of mathematical topics covered in high school. These topics include: natural, integer, rational, and irrational numbers. Algebraic calculus. Trigonometry. First and second-degree equations and inequalities. Logarithms.
Programma
Parte A)
Elementi di teoria degli insiemi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, complementare, insieme delle parti e partizioni, prodotto cartesiano. Insiemi numerici: i numeri interi, razionali, reali e loro proprietà generali. Topologia della retta reale: insiemi aperti, chiusi, punti interni, esterni, di accumulazione, di frontiera, isolati, maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore di un sottoinsieme di R. (10 ore)
Parte B)
Funzioni reali di variabile reale. Funzioni crescenti, decrescenti, monotone, funzione composta, funzione inversa. Successioni di numeri reali: limite di una successione, proprietà ed esempi vari. Il numero "e". Serie numeriche, serie geometrica, serie armonica, criterio del rapporto. Le funzioni esponenziale e logaritmo: principali proprietà. Limiti di funzioni al finito e all'infinito: definizioni, esempi e proprietà.
Cenni sulle funzioni trigonometriche e loro inverse. Funzioni continue. Massimi e minimi locali e globali. Il teorema di Weierstrass, il teorema della permanenza del segno. Il teorema di esistenza degli zeri. Funzioni derivabili: definizione, esempi. Regole di derivazione. Derivate di ordine superiore. Concavità e convessità. Polinomio di Taylor. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Forme indeterminate e teorema di de L'Hospital. Studio grafico di funzioni. (28 ore)
Parte C)
L'integrale definito: definizione e principali proprietà. Integrale indefinito. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. L'integrazione per parti e per sostituzione. (6 ore)
Parte D)
Algebra Lineare: Spazi vettoriali. Matrici e sistemi lineari. Operazioni su matrici. Determinante e matrici invertibili. Rango di una matrice. I teoremi di Cramer e di Rouche-Capelli. (10 ore)
Program
Part A)
Elements of set theory. Operations between sets: union, intersection, complement, set of parts and partitions, Cartesian product. Numerical sets: integer, rational, real numbers and their general properties. Topology of the real line: open, closed, interior, exterior, accumulation, boundary, isolated, major, minor, points, supremum, infimum of a subset of R.
Part B)
Real functions of real variable. Increasing, decreasing, monotonic functions, compound function, inverse function. Sequences of real numbers: limit of a sequence, properties and various examples. The number is". Numerical series, geometric series, harmonic series, ratio criterion. The exponential and logarithm functions: main properties. Limits of finite and infinite functions: definitions, examples and properties.
Outline of trigonometric functions and their inverses. Continuous functions. Local and global maxima and minima. Weierstrass theorem, the sign permanence theorem. theor. of zeros. Derivable functions: definition, examples. Derivation rules. Higher order derivatives. Concavity and convexity. Taylor polynomial. Rolle and Lagrange theorems. Indeterminate forms and de L'Hospital's theorem. Graphic study of functions.
Part C)
The definite integral: definition and main properties. Indefinite integral. The fundamental theorem of integral calculus. Integration by parts and by substitution.
Part D)
Linear Algebra: Vector spaces. Matrices and linear systems. Matrix operations. Determinant and invertible matrices. Rank of a matrix. Cramer's and Rouche-Capelli's theorems.
Testi Adottati
Marcellini, Sbordone. Matematica generale (Liguori 2007)
Books
Carl P. Simon, Lawrence E. Blume, Mathematics for Economists (International Student Edition)
Bibliografia
L. Peccati, S. Salsa, A. Squellati, Matematica per l'economia e l'azienda, Egea (IV ediz)
A. Guerraggio, Matematica, Pearson (III ediz)
Carl P. Simon, Lawrence E. Blume, Matematica generale. Egea 2007
Bibliography
Carl P. Simon, Lawrence E. Blume, Mathematics for Economists (International Student Edition)
W. Rudin, Principles of mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976
Modalità di svolgimento
Lezioni frontali di 2 ore ciascuna.
Esercitazione settimanale di 2 ore.
Come auto verifica dell'acquisizione delle nozioni "teoriche" e delle tecniche "pratiche" da parte degli/lle studenti, oltre alle esercitazioni settimanali, sono previste simulazioni della prova scritta.
Teaching methods
Lectures of 2 hours each
Weekly 2 hour practice.
To check the students' acquisition of "theoretical" notions and "practical" techniques, simulations of the written test are provided in addition to the weekly exercises.
Regolamento Esame
L' esame finale prevede una prova scritta in cui vengono proposti esercizi sugli argomenti più significativi del programma (limiti, studio di funzione, integrali, sistemi lineari, funzioni in due variabili). Con una votazione sufficiente (di 18/30) lo/la studente può scegliere se verbalizzare il voto dello scritto. La prova orale è prevista, a discrezione della docente, solo nei casi in cui la valutazione dell'elaborato scritto non permette una piena e chiara comprensione del livello di preparazione dello/a studente.
La prova d'’esame valuta più in generale la preparazione complessiva dello studente, la capacità di integrazione delle conoscenze delle diverse parti del programma, la consequenzialità del ragionamento, la capacità analitica e l'autonomia di giudizio. Vengono altresi valutate la proprietà di linguaggio, la chiarezza espositiva e il rigore matematico.
La prova di esame sarà valutata in trentesimi (con possibilità di Lode) secondo i seguenti criteri:
• Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.
• 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.
• 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
• 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
• 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
• 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti. Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio.
Per la verifica della preparazione attraverso esame, non sono previste differenze tra chi ha frequentato e chi non ha frequentato le lezioni.
Exam Rules
The final exam includes a written test in which exercises are proposed on the most significant topics of the program (limits, study of functions, integrals, linear systems, functions in two variables). With a sufficient grade (18/30) the student can choose whether to record the grade of the written exam. The oral test is scheduled, at the discretion of the teachers, only in cases where it is deemed appropriate to ascertain the actual knowledge of the student.
More generally, the exam evaluates the student's overall preparation, the ability to integrate the knowledge of the different parts of the program, the consequentiality of reasoning, analytical ability and independent judgement. It is subject of evaluation also the property of language, clarity of presentation and rigor.
The exam will be evaluated out of thirty (with the possibility of honours) according to the following criteria:
• Unsuitable: important deficiencies and/or inaccuracies in knowledge and understanding of the topics; limited capacity for analysis and synthesis, frequent generalisations.
• 18-20: just enough knowledge and understanding of topics with possible imperfections; ability to analyze synthesis and independent judgment sufficient.
• 21-23: Knowledge and understanding of routine topics; Correct analysis and synthesis skills with coherent logical argumentation.
• 24-26: Fair knowledge and understanding of the topics; good analytical and synthesis skills with rigorously expressed arguments.
• 27-29: Thorough knowledge and understanding of topics; remarkable skills of analysis, synthesis. Good autonomy of judgment.
• 30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of the topics. Remarkable capacity for analysis and synthesis and independent judgement.
For the assessment of preparation through exams, there are no differences between those who have attended the classes and those who have not.
Modalità di frequenza
La frequenza in presenza è facoltativa, ma fortemente consigliata. In fase di valutazione non sono previste prove differenziate tra frequentanti e non frequentanti.
Attendance Rules
Attendance in person is optional but strongly recommended. During assessment, there are no differentiated tests between attendees and non-attendees.
EN
IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI:
Il corso di Matematica Generale fornisce elementi teorici e pratici essenziali per i percorsi di studio in Economia, con un focus sull'Analisi Matematica. Il corso affronta argomenti fondamentali dell'analisi matematica, quali lo studio delle funzioni, i problemi di ottimizzazione e l’algebra lineare, in modo funzionale alla trattazione di applicazioni economiche e finanziarie.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
Le principali conoscenze acquisite includono i concetti di insieme, limite, funzione, derivata, integrale, vettore, rango, dipendenza ed indipendenza lineare, i sistemi di equazioni lineari,. Lo/la studente acquisisce le conoscenze di base per lo studio di una funzione e l'analisi di grafici.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Le principali abilità acquisite si realizzano nella messa in pratica delle conoscenze teoriche al fine di risolvere esercizi e problemi pratici, come lo studio di funzione e la risoluzione di sistemi lineari. In particolare, lo studio dei problemi di ottimizzazione e la risoluzione di sistemi lineari potranno essere applicati al fine di risolvere problemi di carattere economico.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Lo studio del corso di Matematica Generale consente di acquisire un metodo di studio, competenze logico-formali e capacita' di astrazione autonome, fondamentali sia nell'applicazione degli studi in ambito professionale che per la prosecuzione degli studi in ambito teorico.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Il corso si prefigge di sviluppare competenze comunicative che permettano di esprimere in modo chiaro, esaustivo, eventualmente sintetico, ma senza semplificazioni, e con un linguaggio adeguato le conoscenze acquisite.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO:
L'acquisizione di concetti e metodi matematici elementari aiuta a leggere e comprendere argomentazioni tecniche presenti in testi di divulgazione e articoli in modo autonomo, con particolare attenzione alle discipline economiche.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
The course of Calculus provides essential theoretical and practical elements for study paths in Economics, with a focus on Mathematical Analysis. The course covers fundamental topics of mathematical analysis, such as the study of functions, optimization problems, and linear algebra, in a way that is functional for the treatment of economic and financial applications.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The main acquired knowledge includes the concepts of set, limit, function, derivative, integral, vector, rank, linear dependence and independence, as well as systems of linear equations. The student acquires the basic knowledge for studying a function and analyzing graphs.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The main acquired skills are realized in the practical application of theoretical knowledge to solve exercises and practical problems, such as the study of functions and the resolution of linear systems. In particular, the study of optimization problems and the resolution of linear systems can be applied to solve economic problems.
MAKING JUDGEMENTS:
The study of Calculus allows students to acquire a study method, logical-formal skills, and autonomous abstraction abilities, which are fundamental both for the application of studies in the professional field and for the continuation of studies in the theoretical field.
COMMUNICATION SKILLS:
The course aims to develop communication skills that allow students to express the acquired knowledge clearly, comprehensively, possibly concisely, avoiding oversimplification, and with appropriate language.
LEARNING SKILLS:
Acquiring elementary mathematical concepts and methods helps in reading and understanding technical arguments present in popular science texts and articles independently, with particular attention to economic disciplines.
Prerequisiti
l corso presuppone la conoscenza di argomenti matematici trattati alla scuola superiore. Tali argomenti sono: numeri naturali, interi, razionali e irrazionali. Calcolo algebrico. Trigonometria. Equazioni e diseguaglianze di primo e secondo grado. Logaritmi.
Prerequisites
The course presupposes knowledge of mathematical topics covered in high school. These topics include: natural, integer, rational, and irrational numbers. Algebraic calculus. Trigonometry. First and second-degree equations and inequalities. Logarithms.
Programma
Parte A)
Elementi di teoria degli insiemi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, complementare, insieme delle parti e partizioni, prodotto cartesiano. Insiemi numerici: i numeri interi, razionali, reali e loro proprietà generali. Topologia della retta reale: insiemi aperti, chiusi, punti interni, esterni, di accumulazione, di frontiera, isolati, maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore di un sottoinsieme di R. (10 ore)
Parte B)
Funzioni reali di variabile reale. Funzioni crescenti, decrescenti, monotone, funzione composta, funzione inversa. Successioni di numeri reali: limite di una successione, proprietà ed esempi vari. Il numero "e". Serie numeriche, serie geometrica, serie armonica, criterio del rapporto. Le funzioni esponenziale e logaritmo: principali proprietà. Limiti di funzioni al finito e all'infinito: definizioni, esempi e proprietà.
Cenni sulle funzioni trigonometriche e loro inverse. Funzioni continue. Massimi e minimi locali e globali. Il teorema di Weierstrass, il teorema della permanenza del segno. Il teorema di esistenza degli zeri. Funzioni derivabili: definizione, esempi. Regole di derivazione. Derivate di ordine superiore. Concavità e convessità. Polinomio di Taylor. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Forme indeterminate e teorema di de L'Hospital. Studio grafico di funzioni. (28 ore)
Parte C)
L'integrale definito: definizione e principali proprietà. Integrale indefinito. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. L'integrazione per parti e per sostituzione. (6 ore)
Parte D)
Algebra Lineare: Spazi vettoriali. Matrici e sistemi lineari. Operazioni su matrici. Determinante e matrici invertibili. Rango di una matrice. I teoremi di Cramer e di Rouche-Capelli. (10 ore)
Program
Part A)
Elements of set theory. Operations between sets: union, intersection, complement, set of parts and partitions, Cartesian product. Numerical sets: integer, rational, real numbers and their general properties. Topology of the real line: open, closed, interior, exterior, accumulation, boundary, isolated, major, minor, points, supremum, infimum of a subset of R.
Part B)
Real functions of real variable. Increasing, decreasing, monotonic functions, compound function, inverse function. Sequences of real numbers: limit of a sequence, properties and various examples. The number is". Numerical series, geometric series, harmonic series, ratio criterion. The exponential and logarithm functions: main properties. Limits of finite and infinite functions: definitions, examples and properties.
Outline of trigonometric functions and their inverses. Continuous functions. Local and global maxima and minima. Weierstrass theorem, the sign permanence theorem. theor. of zeros. Derivable functions: definition, examples. Derivation rules. Higher order derivatives. Concavity and convexity. Taylor polynomial. Rolle and Lagrange theorems. Indeterminate forms and de L'Hospital's theorem. Graphic study of functions.
Part C)
The definite integral: definition and main properties. Indefinite integral. The fundamental theorem of integral calculus. Integration by parts and by substitution.
Part D)
Linear Algebra: Vector spaces. Matrices and linear systems. Matrix operations. Determinant and invertible matrices. Rank of a matrix. Cramer's and Rouche-Capelli's theorems.
Testi Adottati
Marcellini, Sbordone. Matematica generale (Liguori 2007)
Books
Carl P. Simon, Lawrence E. Blume, Mathematics for Economists (International Student Edition)
Bibliografia
L. Peccati, S. Salsa, A. Squellati, Matematica per l'economia e l'azienda, Egea (IV ediz)
A. Guerraggio, Matematica, Pearson (III ediz)
Carl P. Simon, Lawrence E. Blume, Matematica generale. Egea 2007
Bibliography
Carl P. Simon, Lawrence E. Blume, Mathematics for Economists (International Student Edition)
W. Rudin, Principles of mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976
Modalità di svolgimento
Lezioni frontali di 2 ore ciascuna.
Esercitazione settimanale di 2 ore.
Come auto verifica dell'acquisizione delle nozioni "teoriche" e delle tecniche "pratiche" da parte degli/lle studenti, oltre alle esercitazioni settimanali, sono previste simulazioni della prova scritta.
Teaching methods
Lectures of 2 hours each
Weekly 2 hour practice.
To check the students' acquisition of "theoretical" notions and "practical" techniques, simulations of the written test are provided in addition to the weekly exercises.
Regolamento Esame
L' esame finale prevede una prova scritta in cui vengono proposti esercizi sugli argomenti più significativi del programma (limiti, studio di funzione, integrali, sistemi lineari, funzioni in due variabili). Con una votazione sufficiente (di 18/30) lo/la studente può scegliere se verbalizzare il voto dello scritto. La prova orale è prevista, a discrezione della docente, solo nei casi in cui la valutazione dell'elaborato scritto non permette una piena e chiara comprensione del livello di preparazione dello/a studente.
La prova d'’esame valuta più in generale la preparazione complessiva dello studente, la capacità di integrazione delle conoscenze delle diverse parti del programma, la consequenzialità del ragionamento, la capacità analitica e l'autonomia di giudizio. Vengono altresi valutate la proprietà di linguaggio, la chiarezza espositiva e il rigore matematico.
La prova di esame sarà valutata in trentesimi (con possibilità di Lode) secondo i seguenti criteri:
• Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.
• 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.
• 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
• 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
• 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
• 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti. Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio.
Per la verifica della preparazione attraverso esame, non sono previste differenze tra chi ha frequentato e chi non ha frequentato le lezioni.
Exam Rules
The final exam includes a written test in which exercises are proposed on the most significant topics of the program (limits, study of functions, integrals, linear systems, functions in two variables). With a sufficient grade (18/30) the student can choose whether to record the grade of the written exam. The oral test is scheduled, at the discretion of the teachers, only in cases where it is deemed appropriate to ascertain the actual knowledge of the student.
More generally, the exam evaluates the student's overall preparation, the ability to integrate the knowledge of the different parts of the program, the consequentiality of reasoning, analytical ability and independent judgement. It is subject of evaluation also the property of language, clarity of presentation and rigor.
The exam will be evaluated out of thirty (with the possibility of honours) according to the following criteria:
• Unsuitable: important deficiencies and/or inaccuracies in knowledge and understanding of the topics; limited capacity for analysis and synthesis, frequent generalisations.
• 18-20: just enough knowledge and understanding of topics with possible imperfections; ability to analyze synthesis and independent judgment sufficient.
• 21-23: Knowledge and understanding of routine topics; Correct analysis and synthesis skills with coherent logical argumentation.
• 24-26: Fair knowledge and understanding of the topics; good analytical and synthesis skills with rigorously expressed arguments.
• 27-29: Thorough knowledge and understanding of topics; remarkable skills of analysis, synthesis. Good autonomy of judgment.
• 30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of the topics. Remarkable capacity for analysis and synthesis and independent judgement.
For the assessment of preparation through exams, there are no differences between those who have attended the classes and those who have not.
Modalità di frequenza
La frequenza in presenza è facoltativa, ma fortemente consigliata. In fase di valutazione non sono previste prove differenziate tra frequentanti e non frequentanti.
Attendance Rules
Attendance in person is optional but strongly recommended. During assessment, there are no differentiated tests between attendees and non-attendees.
EN
IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI:
Il corso di Matematica Generale fornisce elementi teorici e pratici essenziali specifici dell'Analisi Matematica. Il corso affronta gli argomenti matematici di base dell'analisi matematica, quali lo studio di funzione, problemi di ottimizzazione e l’ algebra lineare, in modo funzionale alla trattazione di applicazioni di carattere economico e finanziario.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
Le principali conoscenze acquisite includono i concetti di insieme, limite, funzione, derivata, integrale, vettore, rango, dipendenza ed indipendenza lineare, i sistemi di equazioni lineari,. Lo/la studente acquisisce le conoscenze di base per lo studio di una funzione e l'analisi di grafici.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Le principali abilità acquisite si realizzano nella messa in pratica delle conoscenze teoriche al fine di risolvere esercizi e problemi pratici, come lo studio di funzione e la risoluzione di sistemi lineari. In particolare, lo studio dei problemi di ottimizzazione e la risoluzione di sistemi lineari potranno essere applicati al fine di risolvere problemi di carattere economico.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Lo studio del corso di Matematica Generale consente di acquisire un metodo di studio, competenze logico-formali e capacita' di astrazione, fondamentali sia nell'applicazione degli studi in ambito professionale che per la prosecuzione degli studi in ambito teorico.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Il corso si prefigge di sviluppare competenze comunicative che permettano di esprimere in modo chiaro, esaustivo, eventualmente sintetico senza semplificazioni le conoscenze acquisite.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO:
L'acquisizione di concetti e metodi matematici elementari aiuta a leggere e comprendere argomentazioni tecniche presenti in testi di divulgazione e articoli in modo autonomo, con particolare attenzione alle discipline economiche.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
The General Mathematics course provides both the theoretical and the essential practical elements that allow students to tackle the various problems inherent in elementary Mathematical Analysis, as the study of functions, optimization problems, and Linear Algebra, with specific application to economic issues.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The main acquired knowledge concerns the concepts of set, limit, function, derivative, integral, the concepts of vector, rank, linear dependence and independence, and linear equation systems. At the end of the course the student must have an adequate knowledge of functions and the ability to read graphs.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The main skills acquired are realized in putting theoretical knowledge into practice in order to solve exercises and practical problems, such as the study of functions and the resolution of linear systems. In particular, the study of optimization problems can be applied in order to solve problems related to economics. The same applies to the study of linear systems, fundamental tools for understanding important economic models.
MAKING JUDGEMENTS:
Studying Calculus course allows students to acquire a study method, logical-formal skills and abstraction skills, which are fundamental both in the application of studies in the professional field and for the studies in the theoretical field.
COMMUNICATION SKILLS:
The acquisition of a study and work method, especially if shared with other students and colleagues, also helps to develop the ability to present and share ideas, fundamental qualities for many professionals.
LEARNING SKILLS:
The acquisition of elementary mathematical concepts and methods helps to read and understand the technical arguments in scientific papers or technical report also from other disciplines, for example of an economic nature.
Prerequisiti
Numeri naturali, interi, razionali e irrazionali. Calcolo algebrico. Trigonometria. Equazioni e diseguaglianze di primo e secondo grado. Logaritmi.
Prerequisites
Natural, integer, rational and irrational numbers. Basic algebra. Trigonometry. First and second degree equations and inequalities. Logarithms.
Programma
Parte A)
Elementi di teoria degli insiemi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, complementare, insieme delle parti e partizioni, prodotto cartesiano. Insiemi numerici: i numeri interi, razionali, reali e loro proprietà generali. Topologia della retta reale: insiemi aperti, chiusi, punti interni, esterni, di accumulazione, di frontiera, isolati, maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore di un sottoinsieme di R.
Parte B)
Funzioni reali di variabile reale. Funzioni crescenti, decrescenti, monotone, funzione composta, funzione inversa. Successioni di numeri reali: limite di una successione, proprietà ed esempi vari. Il numero "e". Serie numeriche, serie geometrica, serie armonica, criterio del rapporto. Le funzioni esponenziale e logaritmo: principali proprietà. Limiti di funzioni al finito e all'infinito: definizioni, esempi e proprietà.
Cenni sulle funzioni trigonometriche e loro inverse. Funzioni continue. Massimi e minimi locali e globali. Il teorema di Weierstrass, il teorema della permanenza del segno. Il teorema di esistenza degli zeri. Funzioni derivabili: definizione, esempi. Regole di derivazione. Derivate di ordine superiore. Concavità e convessità. Polinomio di Taylor. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Forme indeterminate e teorema di de L'Hospital. Studio grafico di funzioni. Cenni di funzioni a più variabili e problemi di ottimizzazione libera.
Parte C)
L'integrale definito: definizione e principali proprietà. Integrale indefinito. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. L'integrazione per parti e per sostituzione, integrali impropri.
Parte D)
Algebra Lineare: Spazi vettoriali. Matrici e sistemi lineari. Operazioni su matrici. Determinante e matrici invertibili. Rango di una matrice. I teoremi di Cramer e di Rouche-Capelli.
Program
Part A)
Elements of set theory. Operations between sets: union, intersection, complement, set of parts and partitions, Cartesian product. Numerical sets: integer, rational, real numbers and their general properties. Topology of the real line: open, closed, interior, exterior, accumulation, boundary, isolated, major, minor, points, supremum, infimum of a subset of R.
Part B)
Real functions of real variable. Increasing, decreasing, monotonic functions, compound function, inverse function. Sequences of real numbers: limit of a sequence, properties and various examples. The number is". Numerical series, geometric series, harmonic series, ratio criterion. The exponential and logarithm functions: main properties. Limits of finite and infinite functions: definitions, examples and properties.
Outline of trigonometric functions and their inverses. Continuous functions. Local and global maxima and minima. Weierstrass theorem, the sign permanence theorem. theor. of zeros. Derivable functions: definition, examples. Derivation rules. Higher order derivatives. Concavity and convexity. Taylor polynomial. Rolle and Lagrange theorems. Indeterminate forms and de L'Hospital's theorem. Graphic study of functions. Basic concepts of functions with n variables and optimization problems.
Part C)
The definite integral: definition and main properties. Indefinite integral. The fundamental theorem of integral calculus. Integration by parts and by substitution, improper integrals.
Part D)
Linear Algebra: Vector spaces. Matrices and linear systems. Matrix operations. Determinant and invertible matrices. Rank of a matrix. Cramer's and Rouche-Capelli's theorems.
Testi Adottati
Carl P. Simon, Lawrence E. Blume, Matematica generale. Egea 2007
Books
Carl P. Simon, Lawrence E. Blume, Mathematics for Economists (International Student Edition)
Bibliografia
L. Peccati, S. Salsa, A. Squellati, Matematica per l'economia e l'azienda, Egea (IV ediz)
A. Guerraggio, Matematica, Pearson (III ediz)
Marcellini, Sbordone. Matematica generale - (Liguori 2007)
Bibliography
Carl P. Simon, Lawrence E. Blume, Mathematics for Economists (International Student Edition)
W. Rudin, Principles of mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976
Modalità di svolgimento
Lezioni frontali di 2 ore ciascun
Esercitazione settimanale di 2 ore.
Per controllare l'acquisizione delle nozioni "teoriche" e delle tecniche "pratiche" da parte degli studenti, oltre alle esercitazioni settimanali, sono previste simulazioni della prova scritta.
Teaching methods
Lectures of 2 hours each
Weekly 2 hour practice.
To check the students' acquisition of "theoretical" notions and "practical" techniques, simulations of the written test are provided in addition to the weekly exercises.
Regolamento Esame
L' esame finale prevede una prova scritta in cui vengono proposti esercizi sugli argomenti più significativi del programma (limiti, studio di funzione, integrali, sistemi lineari, funzioni in due variabili). Con una votazione sufficiente (di 18/30) lo studente può scegliere se verbalizzare il voto dello scritto. La prova orale è prevista, a discrezione dei docenti, solo nei casi in cui venga ritenuta opportuna per accertare la veridicità delle risposte nella prova scritta.
La prova d'’esame valuta più in generale la preparazione complessiva dello studente, la capacità di integrazione delle conoscenze delle diverse parti del programma, la consequenzialità del ragionamento, la capacità analitica e l'autonomia di giudizio. Nelle eventuali risposte aperte presenti nella prova scritta vengono valutate la proprietà di linguaggio, la chiarezza espositiva e il rigore.
La prova di esame sarà valutata in trentesimi (con possibilità di Lode) secondo i seguenti criteri:
• Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.
• 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.
• 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
• 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
• 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
• 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti. Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio.
Exam Rules
The final exam includes a written test in which exercises are proposed on the most significant topics of the program (limits, study of functions, integrals, linear systems, functions in two variables). With a sufficient grade (18/30) the student can choose whether to record the grade of the written exam. The oral test is scheduled, at the discretion of the teachers, only in cases where it is deemed appropriate to ascertain the truthfulness of the answers in the written test.
More generally, the exam evaluates the student's overall preparation, the ability to integrate the knowledge of the different parts of the program, the consequentiality of reasoning, analytical ability and independent judgement. In any open answers present in the written test, the property of language, clarity of presentation and rigor are evaluated.
The exam will be evaluated out of thirty (with the possibility of honours) according to the following criteria:
• Unsuitable: important deficiencies and/or inaccuracies in knowledge and understanding of the topics; limited capacity for analysis and synthesis, frequent generalisations.
• 18-20: just enough knowledge and understanding of topics with possible imperfections; ability to analyze synthesis and independent judgment sufficient.
• 21-23: Knowledge and understanding of routine topics; Correct analysis and synthesis skills with coherent logical argumentation.
• 24-26: Fair knowledge and understanding of the topics; good analytical and synthesis skills with rigorously expressed arguments.
• 27-29: Thorough knowledge and understanding of topics; remarkable skills of analysis, synthesis. Good autonomy of judgment.
• 30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of the topics. Remarkable capacity for analysis and synthesis and independent judgement.
Modalità di frequenza
In presenza
Attendance Rules
In person
