EN
IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI:
L'obiettivo del corso è quello di acquisire le principali tecniche matematiche utilizzate nella modellizzazione e nell'analisi dei mercati assicurativi
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
Il corso sviluppa i principali metodi matematici deterministici e stocastici per la modellizzazione dei mercati attuariali e il prezzaggio di contratti assicurativi sulla vita.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Saper descrivere in termini matematici i modelli comunemente utilizzati nella gestione e valutazione dei contratti assicurativi sulla vita, individuandone le caratteristiche. Saper applicare le tecniche matematiche adatte nella valutazione dei contratti assicurativi.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Il corso prevede la dimostrazione di teoremi e di proprietà analitiche. Questa peculiarità permette agli studenti di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni e di individuare ragionamenti errati o lacunosi. La discussione di vari esempi in ambito attuariale permetterà agli studenti di individuare le caratteristiche fondamentali di una ragionevole modellizzazione matematica di alcuni fenomeni.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Lo studente deve saper descrivere con il necessario rigore scientifico, modelli matematici per la rappresentazione del rischio di longevità e discutere le tecniche per la valutazione dei contratti assicurativi trattati nel corso. Il corso fornisce dunque gli strumenti necessari per comunicare con rigore risultati quantitativi nell'ambito delle scienze attuariali.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO:
Il corso fornisce strumenti basilari per lo sviluppo di studi ulteriori in ambito attuariale. Lo studio teorico fornisce la capacità di affrontare autonomamente nuovi problemi di media difficoltà.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
The objective of this course is to understand the main mathematical techniques for the modelling and the analysis of insurance markets.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The course discusses the main determinisic and stochastic methord for modelling the insurance market and pricing life insurance policies.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
Students will be able to describe in mathematical terms, the main models which are commonly used in managing and pricing of life insurance contracts, and to indentify their main characteristics. Students will also be able to apply quatitative techniques for evaluating different types of insurance policies.
MAKING JUDGEMENTS:
The course contains proofs of theorems and analytic properties. These aspects allows students to build and develop logic arguments with a clear identification of hypotheses and theses, and identify wrong or incorrect reasoning. The discussion of examples and model in actuarial science will permit the students to understand the main characteristics of a reasonable mathematical modelling of some phenomena.
COMMUNICATION SKILLS:
Students must be able to describe with the due scientific rigour, mathematical models for representing longevity risk and discuss the necessary techniques for the valutaion of life insurance contracts. This course provides all the instruments for communicating rigorously quantitative results in the actuatial framework.
LEARNING SKILLS:
The course provides basic instruments for the development of further studies in the actuarial framework. The more theoretical part allows students to independently face new and more complex problems.
Prerequisiti
Matematica Finanziaria (tassi di interessi composti, intensità di interesse, rendite)
Probabilità (Variabili aleatorie discrete e continue, valori attesi, probabilità condizionate)
Prerequisites
Financial mathematics (compound intereset rates, force of interest and annuities).
Probability (Discrete and continuous random variables, expectations, conditional probability)
Programma
1.Tassi di interesse composti
2.Probabilità di sopravvivenza
3.Contratti di assicurazione sulla vita
4.Rendite sulla vita
5.Valutazione del Premio Netto e della Riserva
6.Assicurazione sulla vita multipla
7.Assicurazioni di tipo Unit-linked e Equity-linked
Program
1.Reminder on Compound Interest
2.Survival probability
3.Life Insurance contracts
4.Life Annuities
5.Net Premiums and Reserve Calculations
6.Multiple Life Insurance
7.Equity linked iand Unit linked Insurance
Testi Adottati
1. Life insurance mathematics. Hans U. Gerber. With exercises contributed by Samuel H. Cox. 3rd ed. Springer, 1997.
2. Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. David C. M. Dickson, Mary R. Hardy, Howard R. Waters. 3rd ed. Cambridge University Press, 2020.
Books
1. Life insurance mathematics. Hans U. Gerber. With exercises contributed by Samuel H. Cox. 3rd ed. Springer, 1997.
2. Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. David C. M. Dickson, Mary R. Hardy, Howard R. Waters. 3rd ed. Cambridge University Press, 2020.
Bibliografia
1. Life insurance mathematics. Hans U. Gerber. With exercises contributed by Samuel H. Cox. 3rd ed. Springer, 1997.
2. Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. David C. M. Dickson, Mary R. Hardy, Howard R. Waters. 3rd ed. Cambridge University Press, 2020.
Bibliography
1. Life insurance mathematics. Hans U. Gerber. With exercises contributed by Samuel H. Cox. 3rd ed. Springer, 1997.
2. Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. David C. M. Dickson, Mary R. Hardy, Howard R. Waters. 3rd ed. Cambridge University Press, 2020.
Modalità di svolgimento
Lezioni frontali teoriche ed esercizi
Teaching methods
Theoretical lectures and exercises
Regolamento Esame
La valutazione dello studente prevede una prova scritta in cui verranno proposti esercizi e domande teoriche relativi a tutti gli argomenti trattati a lezione.
L'esame si ritiene superato se la valutazione della prova scritta è di almeno 18/30.
Se lo scritto si supera (i.e. la votazione della prova è di almeno 18/30) si può rifiutare il voto UNA SOLA VOLTA e tornare in un appello successivo. Il voto ottenuto all'appello successivo annulla il voto precedente e non può essere rifiutato.
Chi volesse aumentare il voto dello scritto può sostenere l'orale sulla parte teorica. Il voto dello scritto può aumentare o diminuire di massimo 3 punti; Scritto e orale devono essere sostenuti nel medesimo appello.
Per superare l'esame lo studente dovrà dimostrare di saper determinare le probabilità di sopravvivenza di un individuo sulla base dei modelli descritti durante il corso e delle tavole e di conoscerne le proprietà; di saper distinguere i vari contratti assicurativi sulla vita di tipo classico e moderno in base alle loro caratteristiche, saperli descrivere in termini matematici e fornire il loro significato finanziario; di saper determinare, anche con l’aiuto del foglio di calcolo elettronico, il valore attuariale di questi contratti, il processo delle perdite, i premi e altre importanti quantità come il net amount at risk, risk premium e saving premium.
Exam Rules
Learning will be verified through a written exam where you will be asked to solve exercises and to answer theoretical questions on all topics covered during letures.
The exam is passed if the written test is evaluated 18/30 or more. If the exam is passed (i.e. the mark in the written test is at least 18/30), you can withdraw and repeat the exam in one of the next exam calls. This can be done ONE TIME ONLY. The mark obtained at the next exam date cancels the previous mark and cannot be rejected.
Students who wish to increase the mark of the written test can take an oral exam on the theoretical part. The oral exam may increase or decrease the grade up to 3 points;
Written and oral must be taken in the same exam call.
To pass this exam students must demonstrate to be able to determine survival probability of an individual using the models studied in classes and mortality tables and to know their properties, describe them in mathematical terms and provide their financial meaning; to be able to distinguish life insurance contracts, both classical and modern, and to comment on their characteristics; to be able to determine, both theoretically and with the help of electronic paper sheet, the actuarial value of these contracts, the loss process, premiums, and other important quantities such as net amount at risk, risk premium and saving premium.
EN
IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI:
L'obiettivo del corso è quello di acquisire le principali tecniche matematiche utilizzate nella modellizzazione e nell'analisi dei mercati assicurativi
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
Il corso sviluppa i principali metodi matematici deterministici e stocastici per la modellizzazione dei mercati attuariali e il prezzaggio di contratti assicurativi sulla vita.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Saper descrivere in termini matematici i modelli comunemente utilizzati nella gestione e valutazione dei contratti assicurativi sulla vita, individuandone le caratteristiche. Saper applicare le tecniche matematiche adatte nella valutazione dei contratti assicurativi.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Il corso prevede la dimostrazione di teoremi e di proprietà analitiche. Questa peculiarità permette agli studenti di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni e di individuare ragionamenti errati o lacunosi. La discussione di vari esempi in ambito attuariale permetterà agli studenti di individuare le caratteristiche fondamentali di una ragionevole modellizzazione matematica di alcuni fenomeni.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Lo studente deve saper descrivere con il necessario rigore scientifico, modelli matematici per la rappresentazione del rischio di longevità e discutere le tecniche per la valutazione dei contratti assicurativi trattati nel corso. Il corso fornisce dunque gli strumenti necessari per comunicare con rigore risultati quantitativi nell'ambito delle scienze attuariali.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO:
Il corso fornisce strumenti basilari per lo sviluppo di studi ulteriori in ambito attuariale. Lo studio teorico fornisce la capacità di affrontare autonomamente nuovi problemi di media difficoltà.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
The objective of this course is to understand the main mathematical techniques for the modelling and the analysis of insurance markets.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The course discusses the main determinisic and stochastic methord for modelling the insurance market and pricing life insurance policies.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
Students will be able to describe in mathematical terms, the main models which are commonly used in managing and pricing of life insurance contracts, and to indentify their main characteristics. Students will also be able to apply quatitative techniques for evaluating different types of insurance policies.
MAKING JUDGEMENTS:
The course contains proofs of theorems and analytic properties. These aspects allows students to build and develop logic arguments with a clear identification of hypotheses and theses, and identify wrong or incorrect reasoning. The discussion of examples and model in actuarial science will permit the students to understand the main characteristics of a reasonable mathematical modelling of some phenomena.
COMMUNICATION SKILLS:
Students must be able to describe with the due scientific rigour, mathematical models for representing longevity risk and discuss the necessary techniques for the valutaion of life insurance contracts. This course provides all the instruments for communicating rigorously quantitative results in the actuatial framework.
LEARNING SKILLS:
The course provides basic instruments for the development of further studies in the actuarial framework. The more theoretical part allows students to independently face new and more complex problems.
Prerequisiti
Matematica Finanziaria (tassi di interessi composti, intensità di interesse, rendite)
Probabilità (Variabili aleatorie discrete e continue, valori attesi, probabilità condizionate)
Prerequisites
Probability (Discrete and continuous random variables, expectations, conditional probability)
Programma
4.Rendite sulla vita
5.Valutazione del Premio Netto e della Riserva
6.Assicurazione sulla vita multipla
7.Assicurazioni di tipo Equity-linked
Program
1.Reminder on Compound Interest
2.Survival probability
3.Life Insurance contracts
4.Life Annuities
5.Net Premiums and Reserve Calculations
6.Multiple Life Insurance
7.Equity linked insurance
Testi Adottati
1. Life insurance mathematics. Hans U. Gerber. With exercises contributed by Samuel H. Cox. 3rd ed. Springer, 1997.
2. Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. David C. M. Dickson, Mary R. Hardy, Howard R. Waters. 3rd ed. Cambridge University Press, 2020.
Books
1. Life insurance mathematics. Hans U. Gerber. With exercises contributed by Samuel H. Cox. 3rd ed. Springer, 1997.
2. Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. David C. M. Dickson, Mary R. Hardy, Howard R. Waters. 3rd ed. Cambridge University Press, 2020.
Bibliografia
1. Life insurance mathematics. Hans U. Gerber. With exercises contributed by Samuel H. Cox. 3rd ed. Springer, 1997.
2. Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. David C. M. Dickson, Mary R. Hardy, Howard R. Waters. 3rd ed. Cambridge University Press, 2020.
Bibliography
1. Life insurance mathematics. Hans U. Gerber. With exercises contributed by Samuel H. Cox. 3rd ed. Springer, 1997.
2. Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. David C. M. Dickson, Mary R. Hardy, Howard R. Waters. 3rd ed. Cambridge University Press, 2020.
Modalità di svolgimento
Lezioni frontali teoriche ed esercizi
Teaching methods
Theoretical lectures and exercises
Regolamento Esame
Per gli studenti frequentanti (max 3 assenze).
La valutazione prevede una serie di verifiche in itinere (home assignments) e una prova orale finale da svolgersi in occasione del primo appello (Dicembre). In queste prove verranno proposti esercizi e domande teoriche relativi agli argomenti trattati a lezione.
Studenti non frequentanti o frequentanti che non consegnano le prove in itinere entro la scadenza fissata.
La valutazione dello studente prevede una prova scritta in cui verranno proposti esercizi e domande teoriche relativi agli argomenti trattati a lezione.
Lo studente dovrà dimostrare di saper determinare le probabilità di sopravvivenza di un individuo sulla base dei modelli descritti durante il corso e delle tavole e di conoscerne le proprietà; di saper distinguere i vari contratti assicurativi sulla vita di tipo classico e moderno in base alle loro caratteristiche; di saper determinare, anche con l’aiuto del foglio di calcolo elettronico, il valore attuariale di questi contratti, il processo delle perdite, i premi e altre importanti quantità come il net amount at risk, risk premium e saving premium.
Exam Rules
Attending students (at most 3 missing lectures).
To verify learning you will be given home assignments and there will be a final oral examination to be done at the first exam call (December). In assignments and the oral exam you will be asked to solve exercises and to answer theoretical questions on topics covered during letures.
Non-attending students and attending students who do not deliver assignements in due time.
Learning will be verified through a written exam where you will be asked to solve exercises and to answer theoretical questions on topics covered during letures.
Students must demonstrate to be able to determine survival probability of an individual using the models studied in classes and mortality tables and to know their properties; to be able to distinguish life insurance contracts, both classical and modern, and to comment on their characteristics; to be able to determine, both theoretically and with the help of electronic paper sheet, the actuarial value of these contracts, the loss process, premiums, and other important quantities such as net amount at risk, risk premium and saving premium.
EN
IT
Aggiornato A.A. 2021-2022
Programma:
Il programma provvisorio del corso è:
1. Richiami sui tassi di interesse composti
2.Probabilità di sopravvivenza: modelli deterministici e stocastici
3.Contratti di assicurazione sulla vita
4.Rendite sulla vita
5.Valutazione del Premio Netto e della Riserva
6.Assicurazione sulla vita multipla
7.Assicurazioni di tipo Equity-linked (Cenni)
8.Modelli stocastici per la longevità (Cenni)
Il programma verrà aggiornato con una descrizione dettagliata del contenuto delle lezioni, lezione per lezione.
Il programma definitivo sarà disponibile alla fine del corso.
Testi di riferimento:
Life insurance mathematics. Hans U. Gerber. 3rd ed. Springer, 1997.
Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. David C. M. Dickson, Mary R. Hardy, Howard R. Waters. 3rd ed. Cambridge University Press, 2020.
Detailed Syllabus
- Reminder on Mathematical Finance:
- Compound interest rate, discount factor, present value
- Nominal interest rate and its properties
- Continuously compounded interest rates, force of interest
- Payments made with continuous rate of payments
- Interests credited in advance
- Perpetuities: due, immediate, present value, one payment per year, more than one payment per year, constant payments, variable payments
- Annuities: due, immediate, present value, accumulated value, one payment per year, more than one payment per year, constant payments, variable payments
- Reminder on probability:
- Random variables (discrete and continuous), Cumulative distribution function and its properties, expected value, variance and their properties.
- Conditional probability, Bayes rule, full probability rule, Conditional distribution
- Remaining lifetime of a policy holder, lifetime distribution, survival probability and their properties.
- Force of mortality and famous mortality laws (De Moivre, Constant force of mortality, Gompertz, Makeham, Weibull)
- Mean and Standard deviation of the remaining lifetime, Curtate lifetime, Fractional lifetime, usual assumptions on the fractional lifetime.
- Life tables
- Life insurance market and life insurance products: main characteristics.
- Actuarial value of standard life insurance products (life insurance and life annuities).
- Whole life insurance, term insurance, pure endowment, endowment insurance: actuarial values and properties
- Whole life annuity, term annuity, deferred annuities: actuarial value and properties. Annuities paid more than once per year. Whoolhouses’ formula.
- The cost of additional options and guarantees.
- Loss at issue on a policy (net/gross). Premiums (net and gross). The equivalence principle and the portfolio percentile premium principle for premiums calculation.
- Loss at time t, Policy value and its interpretation
- Net Amount at Risk and the premium decomposition: the saving premium and the risk premium
- Modern life insurance contracts
Aggiornato A.A. 2021-2022
Program
The provisional Program of the course is:
1.Reminder on Compound Interest
2.Survival probability: deterministic and stochastic models
3.Life Insurance contracts
4.Life Annuities
5.Net Premiums and Reserve Calculations
6.Multiple Life Insurance
7.Equity linked insurance (Ideas)
8.Stochastic longevity models (Ideas)
The program will be updated with a lecture-by-lecture description of the contents during the teaching period.
The final program will be available at the end of the course.
Reference Books:
Life insurance mathematics. Hans U. Gerber. 3rd ed. Springer, 1997.
Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. David C. M. Dickson, Mary R. Hardy, Howard R. Waters. 3rd ed. Cambridge University Press, 2020.
Detailed Syllabus
- Reminder on Mathematical Finance:
- Compound interest rate, discount factor, present value
- Nominal interest rate and its properties
- Continuously compounded interest rates, force of interest
- Payments made with continuous rate of payments
- Interests credited in advance
- Perpetuities: due, immediate, present value, one payment per year, more than one payment per year, constant payments, variable payments
- Annuities: due, immediate, present value, accumulated value, one payment per year, more than one payment per year, constant payments, variable payments
- Reminder on probability:
- Random variables (discrete and continuous), Cumulative distribution function and its properties, expected value, variance and their properties.
- Conditional probability, Bayes rule, full probability rule, Conditional distribution
- Remaining lifetime of a policy holder, lifetime distribution, survival probability and their properties.
- Force of mortality and famous mortality laws (De Moivre, Constant force of mortality, Gompertz, Makeham, Weibull)
- Mean and Standard deviation of the remaining lifetime, Curtate lifetime, Fractional lifetime, usual assumptions on the fractional lifetime.
- Life tables
- Life insurance market and life insurance products: main characteristics.
- Actuarial value of standard life insurance products (life insurance and life annuities).
- Whole life insurance, term insurance, pure endowment, endowment insurance: actuarial values and properties
- Whole life annuity, term annuity, deferred annuities: actuarial value and properties. Annuities paid more than once per year. Whoolhouses’ formula.
- The cost of additional options and guarantees.
- Loss at issue on a policy (net/gross). Premiums (net and gross). The equivalence principle and the portfolio percentile premium principle for premiums calculation.
- Loss at time t, Policy value and its interpretation
- Net Amount at Risk and the premium decomposition: the saving premium and the risk premium
- Modern life insurance contracts
EN
IT
Aggiornato A.A. 2020-2021
Programma:
Il programma provvisorio del corso è:
1. Richiami sui tassi di interesse composti
2.Probabilità di sopravvivenza: modelli deterministici e stocastici
3.Contratti di assicurazione sulla vita
4.Rendite sulla vita
5.Valutazione del Premio Netto e della Riserva
6.Assicurazione sulla vita multipla
7.Assicurazioni di tipo Equity-linked
8.Modelli stocastici per la longevità
Il programma verrà aggiornato con una descrizione dettagliata del contenuto delle lezioni, lezione per lezione.
Il programma definitivo sarà disponibile alla fine del corso.
Testi di riferimento:
Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. David C. M. Dickson, Mary R. Hardy, Howard R. Waters. 3rd ed. Cambridge University Press, 2020.
Life insurance mathematics. Hans U. Gerber. 3rd ed. Springer, 1997.
Aggiornato A.A. 2020-2021
Program
The provisional Program of the course is:
1.Reminder on Compound Interest
2.Survival probability: deterministic and stochastic models
3.Life Insurance contracts
4.Life Annuities
5.Net Premiums and Reserve Calculations
6.Multiple Life Insurance
7.Equity linked insurance
8.Stochastic longevity models
The program will be updated with a lecture-by-lecture description of the contents during the teaching period.
The final program will be available at the end of the course.
Reference Books:
Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. David C. M. Dickson, Mary R. Hardy, Howard R. Waters. 3rd ed. Cambridge University Press, 2020.
Life insurance mathematics. Hans U. Gerber. 3rd ed. Springer, 1997.
Aggiornato A.A. 2016-2017
Programma:
Il programma provvisorio del corso è:
1. Richiami sui tassi di interesse composti
2.Probabilità di sopravvivenza: modelli deterministici e stocastici
3.Contratti di assicurazione sulla vita
4.Rendite sulla vita
5.Valutazione del Premio Netto e della Riserva
6.Assicurazione sulla vita multipla
7.Assicurazioni di tipo Equity-linked (Cenni)
8.Modelli stocastici per la longevità (Cenni)
Il programma verrà aggiornato con una descrizione dettagliata del contenuto delle lezioni, lezione per lezione.
Il programma definitivo sarà disponibile alla fine del corso.
Testi di riferimento:
Life insurance mathematics. Hans U. Gerber. 3rd ed. Springer, 1997.
Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. David C. M. Dickson, Mary R. Hardy, Howard R. Waters. 3rd ed. Cambridge University Press, 2020.
Detailed Syllabus
- Reminder on Mathematical Finance:
- Compound interest rate, discount factor, present value
- Nominal interest rate and its properties
- Continuously compounded interest rates, force of interest
- Payments made with continuous rate of payments
- Interests credited in advance
- Perpetuities: due, immediate, present value, one payment per year, more than one payment per year, constant payments, variable payments
- Annuities: due, immediate, present value, accumulated value, one payment per year, more than one payment per year, constant payments, variable payments
- Reminder on probability:
- Random variables (discrete and continuous), Cumulative distribution function and its properties, expected value, variance and their properties.
- Conditional probability, Bayes rule, full probability rule, Conditional distribution
- Remaining lifetime of a policy holder, lifetime distribution, survival probability and their properties.
- Force of mortality and famous mortality laws (De Moivre, Constant force of mortality, Gompertz, Makeham, Weibull)
- Mean and Standard deviation of the remaining lifetime, Curtate lifetime, Fractional lifetime, usual assumptions on the fractional lifetime.
- Life tables
- Life insurance market and life insurance products: main characteristics.
- Actuarial value of standard life insurance products (life insurance and life annuities).
- Whole life insurance, term insurance, pure endowment, endowment insurance: actuarial values and properties
- Whole life annuity, term annuity, deferred annuities: actuarial value and properties. Annuities paid more than once per year. Whoolhouses’ formula.
- The cost of additional options and guarantees.
- Loss at issue on a policy (net/gross). Premiums (net and gross). The equivalence principle and the portfolio percentile premium principle for premiums calculation.
- Loss at time t, Policy value and its interpretation
- Net Amount at Risk and the premium decomposition: the saving premium and the risk premium
- Modern life insurance contracts
Prof.ssa Lucia Leonelli
