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Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI:
Il corso di Matematica Generale fornisce sia gli elementi teorici che quelli pratici essenziali che consentono agli studenti di affrontare le varie problematiche inerenti l’Analisi Matematica elementare, dallo studio di funzione ai problemi di ottimizzazione liberi e vincolati, e l’Algebra Lineare.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
Le principali conoscenze acquisite (descrittore di Dublino 1) riguardano come prima cosa la familiarità con i concetti di insieme, limite, funzione, derivata, integrale. Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà inoltre avere un’adeguata conoscenza dei concetti di vettore, rango, dipendenza ed indipendenza lineare, del teorema di Rouché–Capelli, della diagonalizzazione di matrici. Lo studente dovrà apprendere i concetti fondamentali usati nello studio di funzioni in più variabili, in particolare: derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità, matrice Hessiana. Questo permetterà lo studio e la risoluzione di problemi di ottimizzazione in più variabili, libera e vincolata (Lagrangiana).
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Le principali abilità acquisite (descrittore di Dublino 2) si realizzano nella messa in pratica delle conoscenze teoriche al fine di risolvere esercizi e problemi pratici, come lo studio di funzione e la risoluzione di sistemi lineari. In particolare, lo studio dei problemi di ottimizzazione potrà essere applicato al fine di risolvere problemi legati all’ economia. Dicasi parimenti per lo studio dei sistemi lineari, strumenti fondamentali per la comprensione di importanti modelli economici.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Lo studio del corso di Matematica Generale consente allo studente di acquisire un metodo di studio, fondamentale ingrediente per poter raggiungere autonomia nell’apprendimento di qualsiasi altro tipo di conoscenza, qualità essenziale per ogni professionista. Lo studente acquisirà familiarità con il formalismo logico / matematico astratto, che sta alla base del concetto stesso di modellizzazione.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
L’acquisizione di un metodo di studio e di lavoro, soprattutto se condiviso con altri studenti e colleghi, aiuta anche a sviluppare le capacità di esposizione e di condivisione di idee, qualità fondamentali per molti professionisti.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO:
L'acquisizione di concetti e metodi matematici elementari aiuta a leggere e comprendere argomentazioni tecniche presenti in testi di divulgazione e articoli anche di altre discipline, ad esempio di carattere economico.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
The General Mathematics course provides both the essential theoretical and practical elements that allow students to tackle the various problems inherent in elementary Mathematical Analysis, from the study of function to constrained and unconstrained optimization problems, and in Linear Algebra.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The main acquired knowledge (Dublin descriptor 1) concerns first of all the familiarity with the concepts of set, limit, function, derivative, integral. At the end of the course, the student must also have an adequate knowledge of the concepts of vector, rank, linear dependence and independence, of the Rouché–Capelli theorem, of matrix diagonalization. The student will have to learn the fundamental concepts used in the study of functions in several variables, in particular: partial derivatives, directional derivatives, differentiability, Hessian matrix. This will allow the study and resolution of free and constrained (Lagrangian) optimization problems in several variables.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The main acquired skills (Dublin 2 descriptor) are realised in the ability of applying theoretical knowledge in order to solve exercises and practical problems, such as the study of function and the resolution of linear systems. In particular, the study of optimization problems can be applied to solve economy related problems. The same can be said for the study of linear systems, which are fundamental tools to understand important economic models.
MAKING JUDGEMENTS:
The General Mathematics course aims to provide the student with a study method, which is a fundamental tool to reach autonomy in studying and in gaining any type of knowledge, a quality which is essential for any professional. The student will become familiar with the abstract logical / mathematical formalism, which underlies the very concept of modelling.
COMMUNICATION SKILLS:
The acquisition of a study and work method, especially if shared with other students and colleagues, also helps to develop the ability to explain and share ideas, fundamental qualities for many professionals.
LEARNING SKILLS:
The acquisition of elementary mathematical methods also helps understanding technical arguments in popular textbooks and articles, also from other disciplines such as economics.
LUCA GIORGETTI
Programma
Parte A)
Elementi di teoria degli insiemi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, complementare, insieme delle parti e partizioni, prodotto cartesiano. Insiemi numerici: i numeri interi, razionali, reali e loro proprietà generali. Topologia della retta reale: insiemi aperti, chiusi, punti interni, esterni, di accumulazione, di frontiera, isolati, maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore di un sottoinsieme di R.
Parte B)
Funzioni reali di variabile reale. Funzioni crescenti, decrescenti, monotone, funzione composta, funzione inversa. Successioni di numeri reali: limite di una successione, proprietà ed esempi vari. Il numero "e". Serie numeriche, serie geometrica, serie armonica, criterio del rapporto. Le funzioni esponenziale e logaritmo: principali proprietà. Limiti di funzioni al finito e all'infinito: definizioni, esempi e proprietà.
Cenni sulle funzioni trigonometriche e loro inverse. Funzioni continue. Massimi e minimi locali e globali. Il teorema di Weierstrass, il teorema della permanenza del segno. teor. degli zeri. Funzioni derivabili: definizione, esempi. Regole di derivazione. Derivate di ordine superiore. Concavità e convessità. Polinomio di Taylor. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Forme indeterminate e teorema di de L'Hospital. Studio grafico di funzioni.
Parte C)
L'integrale definito: definizione e principali proprietà. Integrale indefinito. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. L'integrazione per parti e per sostituzione, integrali impropri.
Parte D)
Funzioni a 2 variabili: definizione, dominio, derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità, matrice Hessiana, punti stazionari, massimi e minimi in R^2. Ottimizzazione libera e vincolata. Cenni al caso di n2 variabili.
Parte E)
Algebra lineare. Vettori ,operazioni tra vettori. Spazi vettoriali e sottospazi vettoriali. Generatori e sottospazi generati. Insiemi di vettori linearmente indipendenti e linearmente dipendenti. Base di uno spazio vettoriale. La base canonica di V=RxR...xR. Dimensione di uno spazio vettoriale. Matrici, operazioni tra matrici. Matrici e sistemi lineari. Trasposta di una matrice. Matrici quadrate. Matrici diagonali e triangolari. Determinante di una matrice quadrata. Inversa di una matrice. Metodi per il calcolo del determinante. Calcolo della matrice inversa. Interpretazione geometrica dei sistemi lineari. I sistemi omogenei. Il rango di una matrice. Il teorema di Rouchè-Capelli. Il teorema di Cramer.
Program
Part A)
Elements of set theory. Operations between sets: union, intersection, complement, power sets and partitions, Cartesian product. Sets of numbers: integers, rationals, reals, and their general properties. Standard topology on the real line: open and closed sets, interior, exterior, accumulation, boundary, isolated points, upper bound, lower bound, supremum, infimum of a subset of R.
Part B)
Real-valued functions of a real variable. Increasing, decreasing, monotone functions, composite function, inverse function. Sequences : limit of a sequence, properties, and several examples. The number "e". Numerical series, geometric series, harmonic series, ratio test. The exponential and logarithmic functions: main properties. Outline of trigonometric functions and their inverses. Limits of functions to a finite point and to the infinity: definitions, examples and properties. Continuous functions. Maximum and minimum local and global. The Weierstrass theorem, the sign permanence theorem. Derivable functions: definition, examples. Derivation rules. Higher order derivatives. Concavity and convexity. Notes on Taylor polynomials. Rolle and Lagrange theorems. Indeterminate forms and L'Hospital’s rule. Graphic study of functions.
Part C)
The definite integral: definition and properties. Indefinite integral of a function. The fundamental theorem of integral calculus. The integration by parts and by substitution. Improper integral.
Part D)
Functions of two variables: definition, domain, partial derivatives, directional derivatives, differentiability, Hessian matrix, stationary points, maxima and minima in R^2. Constrained optimization. Sketch of the n2 variables case.
Part E)
Linear algebra. Vectors, operations between vectors. Vector spaces and vector subspaces. Generators and generated subspaces. Linearly independent and linearly dependent vector sets. Base of a vector space. The canonical basis of V=RxR...xR. Dimension of a vector space. Matrices, operations between matrices. Matrices and linear systems. Transpose of a matrix. Square matrices. Diagonal and triangular matrices. Determinant of a square matrix. Inverse of a matrix. Methods for calculating the determinant. Calculation of the inverse matrix. Geometric interpretation of linear systems. Homogeneous systems. The rank of a matrix. The Rouchè-Capelli theorem. Cramer's theorem.
Testi Adottati
L. Peccati, S. Salsa, A. Squellati, Matematica per l'economia e l'azienda, Egea (IV ediz)
A. Guerraggio, Matematica, Pearson (III ediz)
F. Cacciafesta, Matematica Generale, Giappichelli, 2007.
Books
L. Peccati, S. Salsa, A. Squellati, Matematica per l'economia e l'azienda, Egea (IV ediz)
A. Guerraggio, Matematica, Pearson (III ediz)
F. Cacciafesta, Matematica Generale, Giappichelli, 2007.
Bibliografia
C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica 1, Masson 1992
M. Bertsch, A. Dall’Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1 - Primocorso di analisi matematica. 1 edizione, McGraw-Hill Education 2021
M. Amal, A.M. Bersani, Analisi matematica. Esercizi e richiami di teoria (Vol. 1), edizioni LaDotta, II° Edizione 2013
P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Matematica, Liguori Editore, 2004.
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Volume 1, parti I e II, 2007, Liguori Editore.
Bibliography
C.D. Pagani, S. Salsa. Analisi Matematica 1, Masson 1992
M. Bertsch, A. Dall’Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1 - Primocorso di analisi matematica. 1 edizione, McGraw-Hill Education 2021
M. Amal, A.M. Bersani, Analisi matematica. Esercizi e richiami di teoria (Vol. 1), edizioni LaDotta, II° Edizione 2013
P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Matematica, Liguori Editore, 2004.
P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Volume 1, parti I e II, 2007, Liguori Editore.
Modalità di svolgimento
Lezioni frontali di 2 ore ciascuna, per un totale di 4 lezioni settimanali per le prime 4 settimane. Successivamente 3 lezioni settimanali per 3 settimane e una settimana da 2 lezioni per un totale di 54 ore.
Esercitazione settimanale di 2 ore.
Per controllare l'acquisizione delle nozioni "teoriche" e delle tecniche "pratiche" da parte degli studenti, oltre alle esercitazioni settimanali, sono previste simulazioni della prova scritta e attivita' di ricevimento personale (in presenza o a distanza) con cadenza settimanale, sia da parte del docente che dei suoi collaboratori.
Teaching methods
2 hour frontal lessons, for a total of 4 lessons per week for the first 4 weeks. Then 3 lesson per week for 3 weeks and 2 lesson for a week, total 54 hours.
Weekly practice of 2 hours.
In order to check the students' acquisition of the theoretical notions as well as of the practical techniques, in addition to the weekly practices, mock tests and tutoring (in person or remotely) are provided weekly, by both the teacher and his collaborators.
Regolamento Esame
L’esame finale prevede una prova scritta in cui vengono proposti esercizi sugli argomenti più significativi del programma (limiti, studio di funzione, integrali, sistemi lineari, funzioni in due variabili). Con una votazione sufficiente (di 18/30) lo studente può scegliere se verbalizzare il voto dello scritto o accedere alla prova orale. Con una votazione maggiore di 16/30 lo studente può comunque accedere all’orale. Nella prova orale lo studente deve dimostrare di conoscere i concetti teorici alla base degli argomenti proposti nella prova scritta; se ciò accade vengono inoltre chieste nozioni supplementari nel caso lo studente voglia migliorare il voto dello scritto; in caso contrario si chiede allo studente di dimostrare di conoscere almeno gli argomenti di base di tutto il corso. Per passare l’esame occorre ottenere una votazione finale maggiore o uguale a 18/30 (sufficienza).
La prova d’esame valuta più in generale la preparazione complessiva dello studente, la capacità di integrazione delle conoscenze delle diverse parti del programma, la consequenzialità del ragionamento, la capacità analitica e l’autonomia di giudizio. Inoltre vengono valutate la proprietà di linguaggio e la chiarezza espositiva.
Il voto finale sarà rapportato per il 70% al grado di conoscenza e per il 30% alla capacità espressiva e di giudizio autonomo dimostrate dallo studente.
La prova di esame sarà valutata in trentesimi (con possibilità di Lode) secondo i seguenti criteri:
• Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.
• 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.
• 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
• 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
• 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
• 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti. Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio. Argomentazioni espresse in modo originale.
Exam Rules
The final evaluation will consist of a written test, involving exercises on the most significant topics of the program (limits, study of functions, integrals, linear systems, functions in two variables). If the student passes it (minimum grade: 18/30), he can choose to accept the mark of the written exam or access the oral exam. With a grade higher than 16/30, the student can still access the oral exam. In the oral test the student must demonstrate knowledge of the theoretical concepts underlying the arguments proposed in the written test. If the student is successful in doing so, they will be asked supplementary questions to improve their grade; if not, the student is asked to demonstrate that they know at least the basics of the entire course. To pass the exam the student has to be graded with final mark greater or equal to 18/30 (minimum grade).
The exam more generally evaluates the overall preparation of the student, the ability to integrate the knowledge between different parts of the program, the consequentiality of the reasoning, the analytical ability and the autonomy of judgement. In addition, the language properties and clarity of presentation are evaluated.
The final grade will be related for 70% to the degree of knowledge and 30% to the expressive ability and autonomous judgement demonstrated by the student.
The exam will be graded from one to thirty (possibly with Honours), according to the following criteria:
• Not suitable: important deficiencies and / or inaccuracies in the knowledge and understanding of the topics; limited capacity for analysis and synthesis, frequent generalizations.
• 18-20: knowledge and understanding of the topics just sufficient with possible imperfections; sufficient capacity for synthesis analysis and autonomy of judgement.
• 21-23: Routine knowledge and understanding of the topics; Ability to correct analysis and synthesis with coherent logical argumentation.
• 24-26: Fair knowledge and understanding of the topics; good analysis and synthesis skills with rigorously expressed arguments.
• 27-29: Complete knowledge and understanding of the topics; remarkable skills of analysis, synthesis. Good autonomy of judgement.
• 30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of the topics. Remarkable capacity for analysis and synthesis and autonomy of judgement. Arguments expressed in an original way.
SERGIO SCARLATTI
Programma
Parte A)
Elementi di teoria degli insiemi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, complementare, insieme delle parti e partizioni, prodotto cartesiano. Insiemi numerici: i numeri interi, razionali, reali e loro proprietà generali. Topologia della retta reale: insiemi aperti, chiusi, punti interni, esterni, di accumulazione, di frontiera, isolati, maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore di un sottoinsieme di R.
Parte B)
Funzioni reali di variabile reale. Funzioni crescenti, decrescenti, monotone, funzione composta, funzione inversa. Successioni di numeri reali: limite di una successione, proprietà ed esempi vari. Il numero "e". Serie numeriche, serie geometrica, serie armonica, criterio del rapporto. Le funzioni esponenziale e logaritmo: principali proprietà. Limiti di funzioni al finito e all'infinito: definizioni, esempi e proprietà.
Cenni sulle funzioni trigonometriche e loro inverse. Funzioni continue. Massimi e minimi locali e globali. Il teorema di Weierstrass, il teorema della permanenza del segno. teor. degli zeri. Funzioni derivabili: definizione, esempi. Regole di derivazione. Derivate di ordine superiore. Concavità e convessità. Polinomio di Taylor. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Forme indeterminate e teorema di de L'Hospital. Studio grafico di funzioni.
Parte C)
L'integrale definito: definizione e principali proprietà. Integrale indefinito. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. L'integrazione per parti e per sostituzione, integrali impropri.
Parte D)
Funzioni a 2 variabili: definizione, dominio, derivate parziali, derivate direzionali, differenziabilità, matrice Hessiana, punti stazionari, massimi e minimi in R^2. Ottimizzazione libera e vincolata. Cenni al caso di n>2 variabili.
Parte E)
Algebra lineare. Vettori ,operazioni tra vettori. Spazi vettoriali e sottospazi vettoriali. Generatori e sottospazi generati. Insiemi di vettori linearmente indipendenti e linearmente dipendenti. Base di uno spazio vettoriale. La base canonica di V=RxR...xR. Dimensione di uno spazio vettoriale. Matrici, operazioni tra matrici. Matrici e sistemi lineari. Trasposta di una matrice. Matrici quadrate. Matrici diagonali e triangolari. Determinante di una matrice quadrata. Inversa di una matrice. Metodi per il calcolo del determinante. Calcolo della matrice inversa. Interpretazione geometrica dei sistemi lineari. I sistemi omogenei. Il rango di una matrice. Il teorema di Rouchè-Capelli. Il teorema di Cramer.
Program
Part A)
Elements of set theory. Operations between sets: union, intersection, complement, power sets and partitions, Cartesian product. Sets of numbers: integers, rationals, reals, and their general properties. Standard topology on the real line: open and closed sets, interior, exterior, accumulation, boundary, isolated points, upper bound, lower bound, supremum, infimum of a subset of R.
Part B)
Real-valued functions of a real variable. Increasing, decreasing, monotone functions, composite function, inverse function. Sequences : limit of a sequence, properties, and several examples. The number "e". Numerical series, geometric series, harmonic series, ratio test. The exponential and logarithmic functions: main properties. Outline of trigonometric functions and their inverses. Limits of functions to a finite point and to the infinity: definitions, examples and properties. Continuous functions. Maximum and minimum local and global. The Weierstrass theorem, the sign permanence theorem. Derivable functions: definition, examples. Derivation rules. Higher order derivatives. Concavity and convexity. Notes on Taylor polynomials. Rolle and Lagrange theorems. Indeterminate forms and L'Hospital’s rule. Graphic study of functions.
Part C)
The definite integral: definition and properties. Indefinite integral of a function. The fundamental theorem of integral calculus. The integration by parts and by substitution. Improper integral.
Part D)
Functions of two variables: definition, domain, partial derivatives, directional derivatives, differentiability, Hessian matrix, stationary points, maxima and minima in R^2. Constrained optimization. Sketch of the n>2 variables case.
Part E)
Linear algebra. Vectors, operations between vectors. Vector spaces and vector subspaces. Generators and generated subspaces. Linearly independent and linearly dependent vector sets. Base of a vector space. The canonical basis of V=RxR...xR. Dimension of a vector space. Matrices, operations between matrices. Matrices and linear systems. Transpose of a matrix. Square matrices. Diagonal and triangular matrices. Determinant of a square matrix. Inverse of a matrix. Methods for calculating the determinant. Calculation of the inverse matrix. Geometric interpretation of linear systems. Homogeneous systems. The rank of a matrix. The Rouchè-Capelli theorem. Cramer's theorem.
Testi Adottati
L. Peccati, S. Salsa, A. Squellati, Matematica per l'economia e l'azienda, Egea (IV ediz)
A. Guerraggio, Matematica, Pearson (III ediz)
F. Cacciafesta, Matematica Generale, Giappichelli, 2007.
Books
L. Peccati, S. Salsa, A. Squellati, Matematica per l'economia e l'azienda, Egea (IV ediz)
A. Guerraggio, Matematica, Pearson (III ediz)
F. Cacciafesta, Matematica Generale, Giappichelli, 2007.
Modalità di svolgimento
Lezioni frontali di 2 ore ciascuna, per un totale di 4 lezioni settimanali per le prime 4 settimane. Successivamente 3 lezioni settimanali per 3 settimane e una settimana da 2 lezioni per un totale di 54 ore.
Esercitazione settimanale di 2 ore.
Per controllare l'acquisizione delle nozioni "teoriche" e delle tecniche "pratiche" da parte degli studenti, oltre alle esercitazioni settimanali, sono previste simulazioni della prova scritta e attivita' di ricevimento personale (in presenza o a distanza) con cadenza settimanale, sia da parte del docente che dei suoi collaboratori.
Teaching methods
2 hour frontal lessons, for a total of 4 lessons per week for the first 4 weeks. Then 3 lesson per week for 3 weeks and 2 lesson for a week, total 54 hours.
Weekly practice of 2 hours.
In order to check the students' acquisition of the theoretical notions as well as of the practical techniques, in addition to the weekly practices, mock tests and tutoring (in person or remotely) are provided weekly, by both the teacher and his collaborators.
Regolamento Esame
L’esame finale prevede una prova scritta in cui vengono proposti esercizi sugli argomenti più significativi del programma (limiti, studio di funzione, integrali, sistemi lineari, funzioni in due variabili). Con una votazione sufficiente (di 18/30) lo studente può scegliere se verbalizzare il voto dello scritto o accedere alla prova orale. Con una votazione maggiore di 16/30 lo studente può comunque accedere all’orale. Nella prova orale lo studente deve dimostrare di conoscere i concetti teorici alla base degli argomenti proposti nella prova scritta; se ciò accade vengono inoltre chieste nozioni supplementari nel caso lo studente voglia migliorare il voto dello scritto; in caso contrario si chiede allo studente di dimostrare di conoscere almeno gli argomenti di base di tutto il corso. Per passare l’esame occorre ottenere una votazione finale maggiore o uguale a 18/30 (sufficienza).
La prova d’esame valuta più in generale la preparazione complessiva dello studente, la capacità di integrazione delle conoscenze delle diverse parti del programma, la consequenzialità del ragionamento, la capacità analitica e l’autonomia di giudizio. Inoltre vengono valutate la proprietà di linguaggio e la chiarezza espositiva.
Il voto finale sarà rapportato per il 70% al grado di conoscenza e per il 30% alla capacità espressiva e di giudizio autonomo dimostrate dallo studente.
La prova di esame sarà valutata in trentesimi (con possibilità di Lode) secondo i seguenti criteri:
• Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.
• 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.
• 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
• 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
• 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
• 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti. Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio. Argomentazioni espresse in modo originale.
Exam Rules
The final evaluation will consist of a written test, involving exercises on the most significant topics of the program (limits, study of functions, integrals, linear systems, functions in two variables). If the student passes it (minimum grade: 18/30), he can choose to accept the mark of the written exam or access the oral exam. With a grade higher than 16/30, the student can still access the oral exam. In the oral test the student must demonstrate knowledge of the theoretical concepts underlying the arguments proposed in the written test. If the student is successful in doing so, they will be asked supplementary questions to improve their grade; if not, the student is asked to demonstrate that they know at least the basics of the entire course. To pass the exam the student has to be graded with final mark greater or equal to 18/30 (minimum grade).
The exam more generally evaluates the overall preparation of the student, the ability to integrate the knowledge between different parts of the program, the consequentiality of the reasoning, the analytical ability and the autonomy of judgement. In addition, the language properties and clarity of presentation are evaluated.
The final grade will be related for 70% to the degree of knowledge and 30% to the expressive ability and autonomous judgement demonstrated by the student.
The exam will be graded from one to thirty (possibly with Honours), according to the following criteria:
• Not suitable: important deficiencies and / or inaccuracies in the knowledge and understanding of the topics; limited capacity for analysis and synthesis, frequent generalizations.
• 18-20: knowledge and understanding of the topics just sufficient with possible imperfections; sufficient capacity for synthesis analysis and autonomy of judgement.
• 21-23: Routine knowledge and understanding of the topics; Ability to correct analysis and synthesis with coherent logical argumentation.
• 24-26: Fair knowledge and understanding of the topics; good analysis and synthesis skills with rigorously expressed arguments.
• 27-29: Complete knowledge and understanding of the topics; remarkable skills of analysis, synthesis. Good autonomy of judgement.
• 30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of the topics. Remarkable capacity for analysis and synthesis and autonomy of judgement. Arguments expressed in an original way.
Prof.ssa Lucia Leonelli
