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Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI:
L'obiettivo del corso è quello di acquisire le principali tecniche matematiche utilizzate nella
modellizzazione e nell'analisi dei mercati finanziari
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
Il corso sviluppa i principali metodi matematici stocastici per la modellizzazione dei mercati
finanziari e il prezzaggio di derivati semplici.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
Saper descrivere in termini matematici i modelli di base per i mercati finanziari, con
particolare riferimento al prezzi di mercato del rischio, la completezza e l'assenza di
arbitraggi.
Saper applicare le tecniche matematiche adatte nella valutazione dei derivati finanziari.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Il corso prevede la dimostrazione di teoremi e di proprietà analitiche. Questa peculiarità
permette agli studenti di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara
identificazione di assunti e conclusioni e di individuare ragionamenti errati o lacunosi. La
discussione di vari esempi in ambito attuariale permetterà agli studenti di individuare le
caratteristiche fondamentali di una ragionevole modellizzazione matematica di alcuni
fenomeni.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Lo studente deve saper descrivere con il necessario rigore scientifico, modelli matematici
per la rappresentazione del rischio di longevità e discutere le tecniche per la valutazione
dei contratti assicurativi trattati nel corso. Il corso fornisce dunque gli strumenti necessari
per comunicare con rigore risultati quantitativi nell'ambito delle scienze attuariali.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO:
Il corso fornisce strumenti basilari per lo sviluppo di studi ulteriori in ambito attuariale. Lo
studio teorico fornisce la capacità di affrontare autonomamente nuovi problemi di media
difficoltà.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
The objective of this course is to understand the main mathematical techniques for the
modelling and the analysis of financial markets.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The course discusses the main stochastic methods for modelling financial markets and
pricing simple financial derivatives.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
Students will be able to describe in mathematical terms basic models for financial markets.
In particular they will drow their attention to the concept of market price of risk market
completeness and absence of arbitrage.
Students will also be able to apply quantitative techniques for evaluating different types of
financial derivatives.
MAKING JUDGEMENTS:
The course contains proofs of theorems and analytic properties. These aspects allows
students to build and develop logic arguments with a clear identification of hypotheses and
theses, and identify wrong or incorrect reasoning. The discussion of examples and model in
actuarial science will permit the students to understand the main characteristics of a
reasonable mathematical modelling of some phenomena.
COMMUNICATION SKILLS:
Students must be able to describe with the due scientific rigour, mathematical models for
representing longevity risk and discuss the necessary techniques for the valutaion of life
insurance contracts. This course provides all the instruments for communicating rigorously
quantitative results in the actuatial framework.
LEARNING SKILLS:
The course provides basic instruments for the development of further studies in the
actuarial framework. The more theoretical part allows students to independently face new
and more complex problems.
Prerequisiti
Matematica Finanziaria (tassi di interessi composti, intensità di interesse, obbligazioni, strutture per scadenza)
Probabilità (Variabili aleatorie discrete e continue, valori attesi, probabilità condizionate)
Definizioni e caratteristiche dei principali derivati finanziari.
Prerequisites
Financial mathematics (compound intereset rates, force of interest, interest rate curve, bonds).
Probability (Discrete and continuous random variables, expectations, conditional probability)
Main definitions and features of financial derivatives.
Programma
Settimana 1 - Settimana 2: Mercati Finanziari, Arbitraggio e Modello a un Periodo
a) Derivati finanziari: forward, opzioni e swap
b) Arbitraggio e replicazione
c) Idea fondamentale di pricing
d) Il modello a un periodo
e) Valore del portafoglio e arbitraggio
f) Valutazione neutrale al rischio
g) Completezza del mercato
Obiettivo: Comprendere il principio di assenza di arbitraggio e i principali strumenti
finanziari. Analizzare modelli semplici di arbitraggio e mercati completi in tempo discreto.
Settimana 3 - Il Modello a Più Periodi
a) Martingale e processi adattati
b) Assenza di arbitraggio e misure martingala
c) Valutazione per replicazione
Obiettivo: Estendere la valutazione in tempo discreto a più periodi e comprenderne il legame con la teoria delle martingale.
Settimana 4 - Probabilità e Processi Stocastici
a) Filtrazioni, probabilità condizionata
b) Martingale
c) Proprietà e costruzione del moto browniano
d) Variazione quadratica e introduzione agli integrali di Itô
e) Formula di Itô
Obiettivo: Utilizzare il calcolo stocastico per analizzare la dinamica dei processi finanziari.
Settimana 5 - Il Modello di Black-Scholes
a) PDE e formula di Black-Scholes
b) Strategie di copertura
c) Le "Greche"
Obiettivo: Applicare il modello di Black-Scholes per valutare e coprire derivati europei.
Settimana 6 - Teoria Generale dell'Arbitrage pricing
a) Teoremi fondamentali dell'asset pricing
b) Completezza del mercato e replicazione
c) Modelli più generali per i mercati finanziari
Obiettivo: Comprendere le basi teoriche della moderna teoria dell'asset pricing.
Program
Week 1 - Week 2: Financial Markets and Arbitrage and One-Period Model
a) Financial derivatives: forwards, options, and swaps
b) Arbitrage and replication
c) Fundamental pricing idea
d) The One-Period Model
e) Portfolio value and arbitrage
f) Risk-neutral pricing
g) Market completeness
Objective: Understand the no-arbitrage principle and basic financial instruments. Analyze simple models of arbitrage and complete markets in discrete time.
Week 3 - The Multi-Period Model
a) Martingales and adapted processes
b) No-arbitrage and martingale measures
c) Pricing by replication
Objective: Extend discrete-time pricing to multiple periods and understand its connection to martingale theory.
Week 4 - Probability and Stochastic Processes
a) Filtrations conditional expectation
b) Martingales
c) Properties and construction of Brownian motion
d) Quadratic variation and Introduction to Itô integrals
e) Itô’s formula
Objective: Use stochastic calculus to analyze dynamics of financial processes.
Week 5 - The Black-Scholes Model
a) Black-Scholes PDE and formula
b) Hedging strategies
c) The Greeks
Objective: Apply the Black-Scholes model to price and hedge European derivatives.
Week 6 - General Arbitrage Pricing Theory
a) Fundamental Theorems of Asset Pricing
b) Market completeness and replication
c) More general models for financial markets
Objective: Understand the theoretical underpinnings of modern asset pricing.
Testi Adottati
1. T. Bjork. Arbitrage theory in continuous time. Oxford University Press.
2. J. Cochrane. Asset pricing. Princeton University Press
Books
1. T. Bjork. Arbitrage theory in continuous time. Oxford University Press.
2. J. Cochrane. Asset pricing. Princeton University Press
Bibliografia
1. T. Bjork. Arbitrage theory in continuous time. Oxford University Press.
2. J. Cochrane. Asset pricing. Princeton University Press
Bibliography
1. T. Bjork. Arbitrage theory in continuous time. Oxford University Press.
2. J. Cochrane. Asset pricing. Princeton University Press
Modalità di svolgimento
Lezioni frontali teoriche ed esercizi.
Teaching methods
Theoretical lectures and exercises.
Regolamento Esame
La valutazione dello studente prevede una prova scritta in cui verranno proposti esercizi e domande teoriche relativi a tutti gli argomenti trattati a lezione.
L'esame si ritiene superato se la valutazione della prova scritta è di almeno 18/30.
Se lo scritto si supera (i.e. la votazione della prova è di almeno 18/30) si può rifiutare il voto UNA SOLA VOLTA e tornare in un appello successivo. Il voto ottenuto all'appello successivo annulla il voto precedente e non può essere rifiutato.
Per superare l'esame lo studente dovrà dimostrare di saper discutere la condizione di assenza di arbitraggio e di completezza dei mercati e utilizzare tali caratteristiche per determinare il prezzo di derivati e le strategie di copertura, discutere le caratteristiche dei modelli matematici per la descrizione dei mercati finanziari e utilizzarle per risolvere problemi di valutazione e copertura dei rischi. Lo studente dovrà essere in grado di fornire sia giustificazioni economico-finanziarie che matematiche alle proprie affermazioni.
Criteri per la formulazione del giudizio espresso in trentesimi:
o Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.
o 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.
o 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
o 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse con sufficiente rigore matematico ed economico/finanziario.
o 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio e argomentazioni espresse con buon rigore matematico ed economico/finanziario.
o 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti. Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio. Argomentazioni espresse con ottima padronanza matematica ed economico/finanziaria
Exam Rules
Learning will be verified through a written exam where you will be asked to solve exercises and to answer theoretical questions on all topics covered during letures.
The exam is passed if the written test is evaluated 18/30 or more. If the exam is passed (i.e. the mark in the written test is at least 18/30), you can withdraw and repeat the exam in one of the next exam calls. This can be done ONE TIME ONLY. The mark obtained at the next exam date cancels the previous mark and cannot be rejected.
To pass the exam, the student must demonstrate the ability to discuss the condition of no-arbitrage and market completeness and use these characteristics to determine the pricing of derivatives and hedging strategies. Moreover the student must be able to describe the feature of mathematical models for the description of financial markets and use to use these feature to solve the problems of pricing and risk hedging. The student must be able to provide both economic-financial and mathematical justifications for their statements.
Criteria for Formulating the Grade Out of Thirty:
- Not Sufficient: Significant deficiencies and/or inaccuracies in the knowledge and understanding of the topics; limited analytical and synthesis skills, frequent generalizations.
- 18-20: Barely sufficient knowledge and understanding of the topics with possible imperfections; sufficient analytical, synthesis, and judgment autonomy skills.
- 21-23: Routine knowledge and understanding of the topics; correct analytical and synthesis skills with coherent logical argumentation.
- 24-26: Fair knowledge and understanding of the topics; good analytical and synthesis skills with arguments expressed with sufficient mathematical and economic/financial rigor.
- 27-29: Complete knowledge and understanding of the topics; considerable analytical and synthesis skills. Good judgment autonomy and arguments expressed with good mathematical and economic/financial rigor.
- 30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of the topics. Remarkable analytical, synthesis, and judgment autonomy skills. Arguments expressed with excellent mathematical and economic/financial mastery.
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IT
Obiettivi Formativi
Risultati di apprendimento, espressi in termini di descrittori di Dublino:
Conoscenza e comprensione:
Dimostrare una comprensione dei concetti economici sottostanti e delle teorie dei modelli di determinazione del prezzo delle attività.
Applicare quadri teorici per spiegare e analizzare i fenomeni del mercato finanziario.
Valutare criticamente i limiti dei modelli di determinazione del prezzo degli asset nello spiegare i dati finanziari osservati.
Applicare conoscenza e comprensione
Applicare conoscenza e comprensione per risolvere un problema di ottimizzazione dinamica del portafoglio.
Applicare conoscenza e comprensione per calcolare i prezzi delle opzioni call e put europee e americane
Applicare conoscenza e comprensione per estrarre informazioni dai prezzi delle opzioni.
Applicare conoscenza e comprensione per calcolare rendimenti anomali utilizzando il modello di mercato e i fattori FF.
Formulare giudizi:
Valuta in modo critico le prestazioni dei modelli di determinazione dei prezzi degli asset e analizza quanto si adattano ai dati empirici.
Analizza l'impatto delle frizioni del mercato e di altri fattori del mondo reale sui prezzi delle attività.
Comunicazione:
Comunicare concetti finanziari in modo efficace a vari tipi di pubblico sia verbalmente che per iscritto.
Collaborare con i colleghi per comunicare efficacemente il lavoro congiunto.
Capacità di apprendimento:
Sviluppare la capacità di autovalutazione.
Dimostrare la capacità di apprendere in modo indipendente e cercare attivamente informazioni e risorse per approfondire la comprensione dei concetti e delle teorie sui prezzi delle attività.
Sviluppa efficaci capacità di problem solving attraverso incarichi e simulazioni regolari.
Learning Objectives
Knowledge and understanding:
Demonstrate an understanding of the underlying economic concepts and theories of asset pricing models.
Apply theoretical frameworks to explain and analyze financial market phenomena.
Critically evaluate the limitations of asset pricing models in explaining the observed financial data.
Applying knowledge and understanding
Applying knowledge and understanding to solve a dynamic portfolio optimization problem.
Applying knowledge and understanding to compute the prices of European and American calls and puts options
Applying knowledge and understanding to extract information from option prices.
Applying knowledge and understanding to compute abnormal returns using the market model and the FF factors.
Making judgments:
Critically evaluate the performance of asset pricing models and analyze how well they fit with empirical data.
Analyze the impact of market frictions and other real-world factors on asset prices.
Communication:
Communicate financial concepts effectively to various audiences both verbally and in writing.
Collaborate with peers to effectively communicate joint work.
Learning skills:
Develop the ability to self-assess.
Demonstrate the ability to learn independently and actively seek out information and resources to deepen understanding of asset pricing concepts and theories.
Develop effective problem-solving skills through regular assignments and simulations.
Prerequisiti
Matematica Finanziaria (tassi di interessi composti, intensità di interesse, rendite)
Probabilità (Variabili aleatorie discrete e continue, valori attesi, probabilità condizionate)
Prerequisites
Financial mathematics (compound intereset rates, force of interest and annuities).
Probability (Discrete and continuous random variables, expectations, conditional probability)
Programma
Introduction to Derivatives and arbitrage pricing: 6 hours
Derivatives, Options, Arbitrage opportunities and Put-Call parity formula, Risk-neutral price
and arbitrage pricing, Risk-neutral price, Risk-neutral probability.
Discrete market models: 10 hours
Discrete markets and arbitrage strategies, Self-financing portfolios, Normalized market,
Equivalent martingale measure, Change of numeraire, European derivatives, Pricing in an
arbitrage-free market , Completeness, Fundamental theorems of asset pricing.
Binomial model: 6 hours
pricing and hedging.
Stochatsic analysis: 6 hours
Brownian motion and the stochastic integral. Ito Formula (basics)
Arbitrage pricing in continuous time: 8 hours
The Black and Scholes equation, The Black and Scholes formula, completeness and
absence of arbitrage in the Black and Scholes market.
Program
Introduction to Derivatives and arbitrage pricing: 6 ours
Derivatives, Options, Arbitrage opportunities and Put-Call parity formula, Risk-neutral price
and arbitrage pricing, Risk-neutral price, Risk-neutral probability.
Discrete market models: 10 hours
Discrete markets and arbitrage strategies, Self-financing portfolios, Normalized market,
Equivalent martingale measure, Change of numeraire, European derivatives, Pricing in an
arbitrage-free market , Completeness, Fundamental theorems of asset pricing.
Binomial model: 6 hours
pricing and hedging.
Stochastic analysis: 6 hours
Brownian motion and the stochastic integral. Ito Formula (basics)
Arbitrage pricing in continuous time: 8 hours
The Black and Scholes equation, The Black and Scholes formula, completeness and
absence of arbitrage in the Black and Scholes market.
Testi Adottati
1. T. Bjork. Arbitrage theory in continuous time. Oxford University Press.
2. J. Cochrane. Asset pricing. Princeton University Press
Books
1. T. Bjork. Arbitrage theory in continuous time. Oxford University Press.
2. J. Cochrane. Asset pricing. Princeton University Press
Bibliografia
1. T. Bjork. Arbitrage theory in continuous time. Oxford University Press.
2. J. Cochrane. Asset pricing. Princeton University Press
Bibliography
1. T. Bjork. Arbitrage theory in continuous time. Oxford University Press.
2. J. Cochrane. Asset pricing. Princeton University Press
Modalità di svolgimento
Lezioni frontali teoriche ed esercizi
Teaching methods
Theoretical lectures and exercises
Regolamento Esame
La valutazione dello studente prevede una prova scritta in cui verranno proposti esercizi e
domande teoriche relativi a tutti gli argomenti trattati a lezione.
L'esame si ritiene superato se la valutazione della prova scritta è di almeno 18/30.
Se lo scritto si supera (i.e. la votazione della prova è di almeno 18/30) si può rifiutare il voto
UNA SOLA VOLTA e tornare in un appello successivo. Il voto ottenuto all'appello
successivo annulla il voto precedente e non può essere rifiutato.
Per superare l'esame lo studente dovrà dimostrare di saper discutere la condizione di
assenza di arbitraggio e di completezza dei mercati e utilizzare tali caratteristiche per
determinare il prezzo di derivati e le strategie di copertura. Lo studente dovrà essere in
grado di fornire sia giustificazioni economico-finanziarie che matematiche alle proprie
affermazioni.
Criteri per la formulazione del giudizio espresso in trentesimi:
o Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e comprensione
degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.
o 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili
imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.
o 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di analisi e
sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
o 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e
sintesi con argomentazioni espresse con sufficiente rigore matematico ed
economico/finanziario.
o 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di
analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio e argomentazioni espresse con buon rigore
matematico ed economico/finanziario.
o 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti. Notevoli capacità
di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio. Argomentazioni espresse con ottima
padronanza matematica ed economico/finanziaria
Exam Rules
Learning will be verified through a written exam where you will be asked to solve exercises
and to answer theoretical questions on all topics covered during letures.
The exam is passed if the written test is evaluated 18/30 or more. If the exam is passed
(i.e. the mark in the written test is at least 18/30), you can withdraw and repeat the exam in
one of the next exam calls. This can be done ONE TIME ONLY. The mark obtained at the
next exam date cancels the previous mark and cannot be rejected.
To pass the exam, the student must demonstrate the ability to discuss the condition of
no-arbitrage and market completeness and use these characteristics to determine the
pricing of derivatives and hedging strategies. The student must be able to provide both
economic-financial and mathematical justifications for their statements.
Criteria for Formulating the Grade Out of Thirty:
- Not Sufficient: Significant deficiencies and/or inaccuracies in the knowledge and
understanding of the topics; limited analytical and synthesis skills, frequent generalizations.
- 18-20: Barely sufficient knowledge and understanding of the topics with possible
imperfections; sufficient analytical, synthesis, and judgment autonomy skills.
- 21-23: Routine knowledge and understanding of the topics; correct analytical and
synthesis skills with coherent logical argumentation.
- 24-26: Fair knowledge and understanding of the topics; good analytical and synthesis
skills with arguments expressed with sufficient mathematical and economic/financial rigor.
- 27-29: Complete knowledge and understanding of the topics; considerable analytical and
synthesis skills. Good judgment autonomy and arguments expressed with good
mathematical and economic/financial rigor.
- 30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of the topics. Remarkable
analytical, synthesis, and judgment autonomy skills. Arguments expressed with excellent
mathematical and economic/financial mastery.
Prof.ssa Lucia Leonelli
