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Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI:
Il corso fornisce una conoscenza dei primi elementi di programmazione, con enfasi sulle applicazioni finanziarie. Durante il corso verrà anche analizzato, sia dal punto di vista teorico che applicativo, il modello di regressione lineare.
Gli studenti applicheranno le loro conoscenze per scrivere alcuni codici per risolvere problemi classici nel campo della finanza quantitativa.
1) CONOSCENZA E CAPACITA’ DI COMPRENSIONE
Si richiede di comprendere le basi di progrmmazione e della teoria delle regressioni lineari. Si richiede la comprensione di codici Matlab elementari con applicazioni statistiche e la capacità di formulazione di modelli di regressione lineari da applicare allo studio di problemi legati alla finanza (come, ad esmpio, il capital asset pricing model).
2) CAPACITA’ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE
Al termine del corso gli studenti devono essere in grado di formulare l'analisi di un semplice problema finanziario in termini di regressioni lineari, derivare le prorpoietà teoriche del modello formulato (in particolare degli stimatori utilizzati per stimare il modello) e di produrre efficienti codici in grado di svolgere tali analisi su dataset reali.
3) AUTONOMIA DI GIUDIZIO
Si richiede, al termine del corso, di avere gli strumenti per valutare in quali contesti economici sia sensato applicare i modelli di regressione lineare e, più specificatamente, la capacità di giudicare quale formulazione sia la migliore a seconda del contesto in cui ci si trova (series storiche di prezzi di asset o GDP etc...).
4) ABILITA' COMUNICATIVE
E' richiesto che, al termine del corso, gli studenti siano in grado di esprimersi con un linguaggio rigoroso, preciso e sintetico sia per ciò che concerne la teoria degli stimatori OLS e le loro proprietà asintotiche.
5) CAPACITA' DI APPRENDERE
Il corso fornisce gli strumenti per lavorare in autonomia su modelli econometrici di base e su come tradurre tali problemi in codici utili alla stima degli stessi su serie storiche temporali di varia natura. Gli studenti, alla fine del coso, avranno una buona autonomia di apprendimento in relazione ad articoli scientfici di stampo econometrico-finanziario.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
The course provides knowledge of the fundamentals of programming, with an emphasis on financial applications. During the course, the linear regression model will also be analyzed from both a theoretical and an applied perspective.
Students will apply their knowledge to write code aimed at solving classical problems in the field of quantitative finance.
1) KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
Students are required to understand the basics of programming and the theory of linear regression. They are also required to understand elementary MATLAB code with statistical applications and to be able to formulate linear regression models to be applied to the study of finance-related problems, such as, for example, the Capital Asset Pricing Model.
2) APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
By the end of the course, students must be able to formulate the analysis of a simple financial problem in terms of linear regression, derive the theoretical properties of the model formulated — in particular, of the estimators used to estimate the model — and produce efficient code capable of carrying out such analyses on real datasets.
3) MAKING JUDGEMENTS
By the end of the course, students are expected to have the tools needed to assess the economic contexts in which it is appropriate to apply linear regression models and, more specifically, the ability to judge which formulation is best suited to the context under consideration, such as time series of asset prices, GDP, and similar data.
4) COMMUNICATION SKILLS
By the end of the course, students are expected to be able to express themselves using rigorous, precise, and concise language, particularly with regard to the theory of OLS estimators and their asymptotic properties.
5) LEARNING SKILLS
The course provides the tools needed to work independently on basic econometric models and to translate such problems into code useful for estimating these models on time series of various kinds. By the end of the course, students will have developed a good level of independent learning ability in relation to scientific articles in the field of financial econometrics.
KATIA COLANERI
Prerequisiti
Probabilità: variabili aleatorie, leggi congiunte e leggi condizionate.
Matematica finanziaria di base.
Carattersistiche di titoli derivati.
Processi stocastici: Moto Browniano e sue caratteristiche, formula di Ito.
Modelli matematici per la finanza: Modello Binomiale, Modello di Black & Scholes, Probabilità neutrale al rischio, arbitraggio e completezza dei mercati, strategie di hedging.
Conoscenza del linguaggio Matlab.
Prerequisites
Probability: random variables, joint laws and conditional laws.
Basics of Financial Mathematics.
Characteristics of financial derivatives.
Stochastic Processes: Brownian motions and its characteristics, Ito Formula.
Mathematical models for finance: Binomial model, Black and Scholes Model, risk neutral probability, arbitrage and market completeness, hedging strategies.
Knowledge of the Matlab language.
Programma
Parte 1: Metodi Numerici per la Finanza
Settimana 1: Metodi tree/lattice
- Alberi binomiali
- Alberi trinomiali
Settimana 2: Metodi Monte Carlo
- Generazione di variabili casuali
- Variabili gaussiane correlate
- Simulazione di traiettorie e valutazione di opzioni
- Simulazione e errore di stima
- Metodi di riduzione della varianza
- Valutazione di opzioni: applicazione all'opzione barriera "down and out" europea nel modello di Black-Scholes e Valutazione di obbligazioni con il modello CIR.
Settimana 3: Metodi alle differenze finite per le equazioni alle derivate parziali (PDE)
- Schema esplicito, Schema implicito, Schema di Crank-Nicolson
- Analisi di stabilità e convergenza
- Risoluzione numerica di sistemi di equazioni lineari
Program
Part 1: Numerical Methods for Finance
Week 1: Lattice (tree) methods
- Binomial trees
-Trinomial trees
Week 2: Monte Carlo methods
- Generating random variables
- Correlated Gaussian random variables
- Random paths simulation and option pricing
- Simulation and estimation error
- Variance reduction methods
- Option pricing: application to European down and out barrier option under Black-Scholes, and Bond pricing with the CIR model
Week 3: Finite difference methods for PDEs
- Explicit scheme, Implicit scheme, Crank-Nicolson scheme
- Stability and convergence analysis
- Numerical solution of systems of linear equations.
Testi Adottati
Glasserman, Paul. Monte Carlo methods in financial engineering, Springer-Verlag, 2003.
Goodfellow, Ian; Bengio, Yoshua; Courville, Aaron (2016). Deep Learning. Cambridge, Massachusetts: MIT Press.
Books
Glasserman, Paul. Monte Carlo methods in financial engineering, Springer-Verlag, 2003.
Goodfellow, Ian; Bengio, Yoshua; Courville, Aaron (2016). Deep Learning. Cambridge, Massachusetts: MIT Press.
Bibliografia
K.E. Atkinson. An introduction to numerical analysis, Second Edition. Wiley, 1989.
P. Billingsley. Convergence of probability measures (2nd ed.). John Wiley & Sons, 1999.
R. Cont and E. Voltchkova. A finite difference scheme for option pricing in jump diffusion and
exponential L´evy models. SIAM Journal On Numerical Analysis, 43(4): 1596-1626, 2005.
Barron, A.R., Approximation and estimation bounds for artificial neural networks. Mach. Learn., 1994, 14(1), 115–133.
Horvath, B., Muguruza A. and Tomas M. (2021) Deep learning volatility: a deep neural network perspective on pricing and calibration in (rough) volatility models, Quantitative Finance, 21:1, 11-27.
Hornik, K., Stinchcombe, M. and White, H., Universal approximation of an unknown mapping and its derivatives using multilayer feedforward networks. Neural Netw., 1990, 3(5), 551.560
Bibliography
K.E. Atkinson. An introduction to numerical analysis, Second Edition. Wiley, 1989.
P. Billingsley. Convergence of probability measures (2nd ed.). John Wiley & Sons, 1999.
R. Cont and E. Voltchkova. A finite difference scheme for option pricing in jump diffusion and
exponential L´evy models. SIAM Journal On Numerical Analysis, 43(4): 1596-1626, 2005.
Barron, A.R., Approximation and estimation bounds for artificial neural networks. Mach. Learn., 1994, 14(1), 115–133.
Horvath, B., Muguruza A. and Tomas M. (2021) Deep learning volatility: a deep neural network perspective on pricing and calibration in (rough) volatility models, Quantitative Finance, 21:1, 11-27.
Hornik, K., Stinchcombe, M. and White, H., Universal approximation of an unknown mapping and its derivatives using multilayer feedforward networks. Neural Netw., 1990, 3(5), 551.560
Modalità di svolgimento
Lezioni frontali con possiblità di progetti da svolgere a casa e discussi a lezione.
Teaching methods
Traditional lectures, with the option to carry out projects at home and discuss them in class.
Regolamento Esame
La verifica dell’apprendimento avviene mediante una prova orale.
Tale modalità consente di accertare l’effettivo conseguimento dei risultati di apprendimento attesi, con particolare riferimento:
alla comprensione dei metodi numerici e degli algoritmi di machine learning presentati (conoscenza e comprensione),
alla capacità di applicarli in contesti finanziari reali (applicazione),
all’autonomia di giudizio nell’analisi critica dei risultati,
alla chiarezza e accuratezza nella presentazione (abilità comunicative).
L'esame orale verte sugli argomenti del corso e mira a valutare la comprensione teorica, la capacità di ragionamento e l'autonomia critica.
Sarà possibile rifiutare il voto dell'esame UNA SOLA VOLTA.
Criteri per la formulazione del giudizio espresso in trentesimi:
Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.
18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi, sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.
21-23: conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
24-26: discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
27-29: conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi e buona autonomia di giudizio.
30-30L: ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti; notevoli capacità di analisi, sintesi e autonomia di giudizio; argomentazioni espresse in modo originale.
Exam Rules
Student learning outcomes are assessed through an oral exam.
This ensures the effective acquisition of the expected learning outcomes, particularly regarding:
understanding of numerical methods and machine learning techniques (knowledge and understanding);
their application to real financial problems (applying knowledge);
critical thinking and autonomy (making judgments);
clarity and accuracy in presentation (communication skills).
The oral exam covers theoretical aspects of the course and evaluates comprehension, reasoning ability, and independent judgment.
Students are allowed to reject their final ONLY ONCE.
Criteria for grade (out of 30 points):
Fail: Major gaps and/or inaccuracies in understanding; limited analysis and synthesis skills; generalizations prevail.
18-20: Barely sufficient understanding; adequate analysis, synthesis, and judgment skills.
21-23: Routine understanding; correct analytical and synthesis skills; coherent logical reasoning.
24-26: Fair knowledge; good analytical and synthesis skills; rigorous reasoning.
27-29: Comprehensive understanding; strong analytical, synthesis, and judgment skills.
30-30L: Excellent understanding; outstanding analytical, synthesis, and independent thinking skills; original arguments.
Modalità di frequenza
Presenza nell’aula della lezione.
Attendance Rules
Presence in the classroom.
JODI DIANETTI
Programma
Parte 2: Machine Learning
Settimana 4: Introduzione ai metodi di Machine Learning
- Concetti primitivi di AI e machine learning
- Feedforward neural network, definizione e prorpietà
- Esempi elementari di allenamento di una rete
Settimana 5: Teoria delle reti neurali e metodi numerici di ottimizzazione
- Teorema di approsimazione universale
- Limiti di stima e approssimazione
- Algoritimi della classe Gradient desecent
Settimana 6: Calibrazione di reti e stima di modelli
- Calibrazione degli iperparametri di una rete
- Processi stocastici parametrici in tempo continuo e discretizzazione
- Stima tramite Simulated Method of Moments
- Stima tramite Deep Neural Network
Program
Part 2: Machine Learning
Week 4: Introduction to Machine Learning Methods
- Basic concepts of AI and machine learning
- Feedforward neural networks: definition and properties
- Simple examples of neural network training
Week 5: Neural Network Theory and Numerical Optimization Methods
- Universal approximation theorem
- Estimation and approximation limits
- Gradient descent class algorithms
Week 6: Network Calibration and Model Estimation
- Hyperparameter tuning of a neural network
- Parametric stochastic processes in continuous time and discretization
- Estimation via Simulated Method of Moments
- Estimation via Deep Neural Networks
Regolamento Esame
La verifica dell’apprendimento avviene mediante una prova orale.
Tale modalità consente di accertare l’effettivo conseguimento dei risultati di apprendimento attesi, con particolare riferimento:
alla comprensione dei metodi numerici e degli algoritmi di machine learning presentati (conoscenza e comprensione),
alla capacità di applicarli in contesti finanziari reali (applicazione),
all’autonomia di giudizio nell’analisi critica dei risultati,
alla chiarezza e accuratezza nella presentazione (abilità comunicative).
L'esame orale verte sugli argomenti del corso e mira a valutare la comprensione teorica, la capacità di ragionamento e l'autonomia critica.
Sarà possibile rifiutare il voto dell'esame UNA SOLA VOLTA.
Criteri per la formulazione del giudizio espresso in trentesimi:
Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.
18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi, sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.
21-23: conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
24-26: discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
27-29: conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi e buona autonomia di giudizio.
30-30L: ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti; notevoli capacità di analisi, sintesi e autonomia di giudizio; argomentazioni espresse in modo originale.
Exam Rules
Student learning outcomes are assessed through an oral exam. This ensures the effective acquisition of the expected learning outcomes, particularly regarding:
understanding of numerical methods and machine learning techniques (knowledge and understanding);
their application to real financial problems (applying knowledge);
critical thinking and autonomy (making judgments);
clarity and accuracy in presentation (communication skills).
The oral exam covers theoretical aspects of the course and evaluates comprehension, reasoning ability, and independent judgment.
Students are allowed to reject their final ONLY ONCE.
Criteria for grade (out of 30 points):
Fail: Major gaps and/or inaccuracies in understanding; limited analysis and synthesis skills; generalizations prevail.
18-20: Barely sufficient understanding; adequate analysis, synthesis, and judgment skills.
21-23: Routine understanding; correct analytical and synthesis skills; coherent logical reasoning.
24-26: Fair knowledge; good analytical and synthesis skills; rigorous reasoning.
27-29: Comprehensive understanding; strong analytical, synthesis, and judgment skills.
30-30L: Excellent understanding; outstanding analytical, synthesis, and independent thinking skills; original arguments.
EN
IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI:
Conoscenza e capacità di comprensione: Acquisire una comprensione approfondita dei metodi numerici applicati alla finanza e dei principali algoritmi di machine learning.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Applicare metodi computazionali e tecniche di machine learning a problemi reali di pricing, gestione del rischio, calibrazione di modelli parametrici e previsione finanziaria.
Autonomia di giudizio: Sviluppare la capacità di valutare criticamente le tecniche quantitative adottate nei modelli finanziari.
Abilità comunicative: Presentare con chiarezza i risultati di analisi numeriche e modelli predittivi.
Capacità di apprendimento: Sviluppare competenze autonome per aggiornarsi sulle tecniche computazionali e di intelligenza artificiale applicate alla finanza.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
Knowledge and understanding: Gain deep understanding of numerical methods and machine learning algorithms used in finance.
Applying knowledge and understanding: Apply computational techniques to real-world problems in pricing, risk management, calibration of parametrical models and financial forecasting.
Making judgments: Develop critical assessment of quantitative methods used in financial models.
Communication skills: Effectively present results from numerical and predictive models.
Learning skills: Acquire independent learning capabilities to keep up with evolving computational and AI tools in finance.
DAVIDE ERMINIO PIRINO
Prerequisiti
Probabilità: variabili aleatorie, leggi congiunte e leggi condizionate.
Matematica finanziaria di base.
Carattersistiche di titoli derivati.
Processi stocastici: Moto Browniano e sue caratteristiche, formula di Ito.
Modelli matematici per la finanza: Modello Binomiale, Modello di Black & Scholes, Probabilità neutrale al rischio, arbitraggio e completezza dei mercati, strategie di hedging.
Conoscenza del linguaggio Matlab.
Prerequisites
Probability: random variables, joint laws and conditional laws.
Basics of Financial Mathematics.
Characteristics of financial derivatives.
Stochastic Processes: Brownian motions and its characteristics, Ito Formula.
Mathematical models for finance: Binomial model, Black and Scholes Model, risk neutral probability, arbitrage and market completeness, hedging strategies.
Knowledge of the Matlab language.
Programma
Parte 2: Machine Learning
Settimana 4: Introduzione ai metodi di Machine Learning
- Concetti primitivi di AI e machine learning
- Feedforward neural network, definizione e prorpietà
- Esempi elementari di allenamento di una rete
Settimana 5: Teoria delle reti neurali e metodi numerici di ottimizzazione
- Teorema di approsimazione universale
- Limiti di stima e approssimazione
- Algoritimi della classe Gradient desecent
Settimana 6: Calibrazione di reti e stima di modelli
- Calibrazione degli iperparametri di una rete
- Processi stocastici parametrici in tempo continuo e discretizzazione
- Stima tramite Simulated Method of Moments
- Stima tramite Deep Neural Network
Program
Part 2: Machine Learning
Week 4: Introduction to Machine Learning Methods
- Basic concepts of AI and machine learning
- Feedforward neural networks: definition and properties
- Simple examples of neural network training
Week 5: Neural Network Theory and Numerical Optimization Methods
- Universal approximation theorem
- Estimation and approximation limits
- Gradient descent class algorithms
Week 6: Network Calibration and Model Estimation
- Hyperparameter tuning of a neural network
- Parametric stochastic processes in continuous time and discretization
- Estimation via Simulated Method of Moments
- Estimation via Deep Neural Networks
Testi Adottati
Glasserman, Paul. Monte Carlo methods in financial engineering, Springer-Verlag, 2003.
Goodfellow, Ian; Bengio, Yoshua; Courville, Aaron (2016). Deep Learning. Cambridge, Massachusetts: MIT Press.
Books
Glasserman, Paul. Monte Carlo methods in financial engineering, Springer-Verlag, 2003.
Goodfellow, Ian; Bengio, Yoshua; Courville, Aaron (2016). Deep Learning. Cambridge, Massachusetts: MIT Press.
Bibliografia
K.E. Atkinson. An introduction to numerical analysis, Second Edition. Wiley, 1989.
P. Billingsley. Convergence of probability measures (2nd ed.). John Wiley & Sons, 1999.
R. Cont and E. Voltchkova. A finite difference scheme for option pricing in jump diffusion and
exponential L´evy models. SIAM Journal On Numerical Analysis, 43(4): 1596-1626, 2005.
Barron, A.R., Approximation and estimation bounds for artificial neural networks. Mach. Learn., 1994, 14(1), 115–133.
Horvath, B., Muguruza A. and Tomas M. (2021) Deep learning volatility: a deep neural network perspective on pricing and calibration in (rough) volatility models, Quantitative Finance, 21:1, 11-27.
Hornik, K., Stinchcombe, M. and White, H., Universal approximation of an unknown mapping and its derivatives using multilayer feedforward networks. Neural Netw., 1990, 3(5), 551.560
Bibliography
K.E. Atkinson. An introduction to numerical analysis, Second Edition. Wiley, 1989.
P. Billingsley. Convergence of probability measures (2nd ed.). John Wiley & Sons, 1999.
R. Cont and E. Voltchkova. A finite difference scheme for option pricing in jump diffusion and
exponential L´evy models. SIAM Journal On Numerical Analysis, 43(4): 1596-1626, 2005.
Barron, A.R., Approximation and estimation bounds for artificial neural networks. Mach. Learn., 1994, 14(1), 115–133.
Blanka Horvath, Aitor Muguruza & Mehdi Tomas (2021) Deep learning volatility: a deep neural network perspective on pricing and calibration in (rough) volatility models, Quantitative Finance, 21:1, 11-27, DOI: 10.1080/14697688.2020.1817974
Hornik, K., Stinchcombe, M. and White, H., Universal approximation of an unknown mapping and its derivatives using multilayer feedforward networks. Neural Netw., 1990, 3(5), 551.560
Modalità di svolgimento
Lezioni frontali con possiblità di progetti da svolgere a casa e discussi a lezione.
Teaching methods
Traditional lectures, with the option to carry out projects at home and discuss them in class.
Regolamento Esame
La verifica dell’apprendimento avviene mediante una prova orale e la valutazione di un progetto individuale.
Tali modalità consentono di accertare l’effettivo conseguimento dei risultati di apprendimento attesi, con particolare riferimento:
alla comprensione dei metodi numerici e degli algoritmi di machine learning presentati (conoscenza e comprensione),
alla capacità di applicarli in contesti finanziari reali (applicazione),
all’autonomia di giudizio nell’analisi critica dei risultati,
alla chiarezza e accuratezza nella presentazione (abilità comunicative).
L'esame orale verte sugli argomenti del corso e mira a valutare la comprensione teorica, la capacità di ragionamento e l'autonomia critica.
Il progetto consiste nell’analisi di un articolo assegnato durante il corso e nell'implementazione numerica dei risultati teorici riportati in esso e sarà discusso durante l’orale.
Sarà possibile rifiutare il voto dell'esame UNA SOLA VOLTA.
Criteri per la formulazione del giudizio espresso in trentesimi:
Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.
18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi, sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.
21-23: conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
24-26: discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
27-29: conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi e buona autonomia di giudizio.
30-30L: ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti; notevoli capacità di analisi, sintesi e autonomia di giudizio; argomentazioni espresse in modo originale.
Exam Rules
Student learning outcomes are assessed through an oral exam and the evaluation of an individual project. This ensures the effective acquisition of the expected learning outcomes, particularly regarding:
understanding of numerical methods and machine learning techniques (knowledge and understanding);
their application to real financial problems (applying knowledge);
critical thinking and autonomy (making judgments);
clarity and accuracy in presentation (communication skills).
The oral exam covers theoretical aspects of the course and evaluates comprehension, reasoning ability, and independent judgment.
The project involves analyzing the theoretical results of a paper assigned during the course and in the inumerical of theoretical results, and is discussed during the oral exam.
Students are allowed to reject their final ONLY ONCE.
Criteria for grade (out of 30 points):
Fail: Major gaps and/or inaccuracies in understanding; limited analysis and synthesis skills; generalizations prevail.
18-20: Barely sufficient understanding; adequate analysis, synthesis, and judgment skills.
21-23: Routine understanding; correct analytical and synthesis skills; coherent logical reasoning.
24-26: Fair knowledge; good analytical and synthesis skills; rigorous reasoning.
27-29: Comprehensive understanding; strong analytical, synthesis, and judgment skills.
30-30L: Excellent understanding; outstanding analytical, synthesis, and independent thinking skills; original arguments.
Modalità di frequenza
Presenza nell’aula della lezione.
Attendance Rules
Presence in the classroom.
KATIA COLANERI
Prerequisites
Probability: random variables, joint laws and conditional laws.
Basics of Financial Mathematics.
Characteristics of financial derivatives.
Stochastic Processes: Brownian motions and its characteristics, Ito Formula.
Mathematical models for finance: Binomial model, Black and Scholes Model, risk-neutral probability, arbitrage and market completeness, hedging strategies.
Knowledge of the Matlab language.
Programma
Parte 1: Metodi Numerici per la Finanza
Settimana 1: Metodi tree/lattice
- Alberi binomiali
- Alberi trinomiali
Settimana 2: Metodi Monte Carlo
- Generazione di variabili casuali
- Variabili gaussiane correlate
- Simulazione di traiettorie e valutazione di opzioni
- Simulazione e errore di stima
- Metodi di riduzione della varianza
- Valutazione di opzioni: applicazione all'opzione barriera "down and out" europea nel modello di Black-Scholes e Valutazione di obbligazioni con il modello CIR.
Settimana 3: Metodi alle differenze finite per le equazioni alle derivate parziali (PDE)
- Schema esplicito, Schema implicito, Schema di Crank-Nicolson
- Analisi di stabilità e convergenza
- Risoluzione numerica di sistemi di equazioni lineari
Program
Part 1: Numerical Methods for Finance
Week 1: Lattice (tree) methods
- Binomial trees
-Trinomial trees
Week 2: Monte Carlo methods
- Generating random variables
- Correlated Gaussian random variables
- Random paths simulation and option pricing
- Simulation and estimation error
- Variance reduction methods
- Option pricing: application to European down and out barrier option under Black-Scholes, and Bond pricing with the CIR model
Week 3: Finite difference methods for PDEs
- Explicit scheme, Implicit scheme, Crank-Nicolson scheme
- Stability and convergence analysis
- Numerical solution of systems of linear equations.
Books
Glasserman, Paul. Monte Carlo methods in financial engineering, Springer-Verlag, 2003.
Goodfellow, Ian; Bengio, Yoshua; Courville, Aaron (2016). Deep Learning. Cambridge, Massachusetts: MIT Press.
Bibliography
K.E. Atkinson. An introduction to numerical analysis, Second Edition. Wiley, 1989.
P. Billingsley. Convergence of probability measures (2nd ed.). John Wiley & Sons, 1999.
R. Cont and E. Voltchkova. A finite difference scheme for option pricing in jump diffusion and
exponential L´evy models. SIAM Journal On Numerical Analysis, 43(4): 1596-1626, 2005.
Barron, A.R., Approximation and estimation bounds for artificial neural networks. Mach. Learn., 1994, 14(1), 115–133.
Horvath, B., Muguruza A. and Tomas M. (2021) Deep learning volatility: a deep neural network perspective on pricing and calibration in (rough) volatility models, Quantitative Finance, 21:1, 11-27.
Hornik, K., Stinchcombe, M. and White, H., Universal approximation of an unknown mapping and its derivatives using multilayer feedforward networks. Neural Netw., 1990, 3(5), 551.560
Prof.ssa Lucia Leonelli
