EN
IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI: Il corso di Matematica generale fornisce sia gli elementi teorici che
quelli pratici essenziali che consentono agli studenti di affrontare le varie problematiche inerenti l’Analisi Matematica elementare, dallo studio di funzione ai problemi di ottimizzazione liberi e vincolati, e l’ Algebra Lineare.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Le principali conoscenze (Descrittore di
Dublino 1) riguardano come prima cosa la familiarita' con i concetti di limite, funzione, derivata..
Lo studente dovra' altresi' avere una adeguata conoscenza dei concetti di vettore, rango,
dipendenza ed indipendenza lineare e del teorema di Rouche' Capelli. Infine lo studente dovra'
apprendere i concetti fondamentali per lo studio di funzioni in piu' variabili con particolare
attenzione al calcolo differenziale in piu' variabili; derivate parziali, direzionali, differenziabilita', Hessiano.
Questo consentira' lo studio e l'impostazione di problemi di ottimizzazione in piu'variabili anche ricorrendo alle tecniche con vincoli (Lagrangiana).
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Le principali abilità acquisite (Descrittore di Dublino 2) si concretizzano nel fatto che gli studenti saranno in grado di
mettere in pratica le conoscenze teoriche al fine di risolvere problemi pratici, come lo studio di funzione, il calcolo differenziale e la risoluzione di sistemi lineari. In particolare, lo studio dei problemi di ottimo potra’ essere applicato al fine di risolvere problemi legati all’economia. Altresi dicasi per le applicazioni ai sistemi lineari, fondamentali per la comprensione di importanti modelli economici.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: Lo studio del corso di matematica generale consente allo studente
di acquisire un metodo di studio, fondamentale ingrediente per poter raggiungere una autonomia nello studio e nell’apprendimento di conoscenze, qualita’ essenziale per ogni professionista.
ABILITÀ COMUNICATIVE: L’acquisizione di un metodo di studio e di lavoro aiutano anche
alla condivisione di idee e progetti, qualita’ fondamentali per un professionista.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES The main knowledge (Dublin Descriptor 1) first of all regards the
familiarity with the concepts of limit, function, derivative. The student will also have an adequate knowledge of the concepts of vector, rank, linear dependence and independence and of the Rouche -Capelli theorem. Finally, the student will have to learn with the study of functions in several variables with particular attention to differential calculus in several variables; partial derivative, differentiability, Hessian directional derivatives. This will allows to the student the analysis and set up of optimisation problems in several variables also using constraint techniques (Lagrangian multipliers).
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING. The main
skills acquired (Dublin Descriptor 2) are embodied in the fact that students, in order to solve
practical problems, will be able to put theoretical knowledge into practice., such as the study of function, differential calculus and the resolution of linear systems. In particular, the study of optimal problems can be applied to solve problems related to the economy. Moreover, regarding linear system applications, they are fundamental to the understanding of important economic models.
MAKING JUDGEMENTS The study of mathematics allows the student to acquire a study method, a fundamental ingredient to be able to achieve autonomy in the study and learning
of knowledge, an essential quality for every professional.
COMMUNICATION SKILLS: The study of the arguments treated in the course also helps to share ideas and projects, fundamental qualities for a professional.
LEARNING SKILLS: The acquisition of a method of study and work also helps the student to acquire tools to learn new skills in order to solve more involved problems.
Prerequisiti
Equazioni e disequazioni polinomiali intere e fratte. Sistemi di equazioni e di disequazioni polinomiali intere e fratte.
Programma
- 3 settimane:
- Elementi di teoria degli insiemi
- Topologia della retta reale
- Piano cartesiano
- Elementi di teoria delle funzioni
- Funzioni reali di una variabile reale
- Dominio, codominio, grafico di una funzione
- Funzioni monotone, funzione composta, funzione inversa
- Funzioni lineari, esponenziali, logaritmi, polinomi
- Elementi di trigonometria
3 settimane:
- Successioni e loro limiti
- Teoremi sui limiti, limiti notevoli, confronto tra limiti, regole di calcolo
- Cenni alle serie
- Limiti e continuità di funzioni reali
- Derivate: definizione, interpretazione fisica e significato geometrico
- Derivate notevoli, regole di calcolo, derivate di ordine superiore
- Studio di funzione: applicazione delle derivate per lo studio della crescenza e della decrescenza, massimi
e minimi, concavità, convessità e punti di flesso
- Differenziale e espansioni di Taylor
3 settimane:
- Integrali definiti ed indefiniti di funzioni reali di variabile reale: costruzione e definizione
- Proprieta degli integrali
- Teorema fondamentale del calcolo integrale
- Applicazione al calcolo di integrali immediati
- Cenni alle principali tecniche di integrazione
3 settimane:
- Elementi di algebra lineare: vettori, matrici, spazi vettoriali, dipendenza e indipendenza lineare,
operazioni con matrici, determinante, autovalori e autovettori
- Sistemi lineari: rappresentazione matriciale, teoremi di Rouche-Capelli e Cramer
- Funzioni reali di due variabili reali: curve di livello, gradiente e Hessiana
- Ottimizzazione libera e vincolata per funzioni a due variabili
Program
3 weeks
- Elements of set theory
- Cartesian plane
- Elements of function theory
- Real-valued functions of real variable
- Domain, codomain, graph of a function
- Monotone functions, composite function, inverse function
- Linear, exponential, logarithmic, polynomial functions
- Elements of trigonometry
3 weeks
- Sequences and their limits
- Theorems on limits, notable limits, computation of limits, rules of comparison
- Series
- Limits and continuity of real functions
- Derivatives: definition, interpretation and geometric meaning
- Notable derivatives, computation rules, higher order derivatives
- Study of functions: applications of derivatives to study monotonicity, maximum and minimum,
concavity, convexity and inflection points
- Differential and Taylor expansions
3 weeks
- Definite and indefinite integrals of real valued functions of real variable: construction and
definition
- Properties of integrals
- Fundamental theorem of calculus
- Application to computation of integrals
- Outline of the main integration techniques
3 weeks
- Elements of linear algebra: vectors, matrices, vector spaces, linear dependence, operations
with matrices, determinant, eigenvalues and eigenvectors
- Linear systems: matrix representation, Rouche-Capelli and Cramer theorems
- Real valued functions of two real variables: level curves, gradient, Hessian
- Free and constrained optimisation for functions of two variables
Testi Adottati
Matematica generale - Marcellini, Sbordone (Liguori 2007)
Books
Matematica generale - Marcellini, Sbordone (Liguori 2007)
Bibliografia
Prontuario di Matematica Generale - Barzanti, Benvenuti, Pezzi (Esculapio 2018)
Bibliography
Mathematics For Economists - Simon, Blume (WW Norton 1994)
Modalità di svolgimento
Lezioni frontali con lavagna e proiettore
Teaching methods
Standard lectures with blackboard/projector.
Regolamento Esame
Esami scritti con esercizi e possibile orale se il voto dello scritto è superiore a 24. Se il voto è inferiore a 24, il voto finale è quello conseguito nell’esame scritto, se è superiore a 23 e si vuole avere più di 24, si può sostenere un esame orale.
Il risultato sarà:
o Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.
o 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.
o 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
o 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
o 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
o 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti. Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio. Argomentazioni espresse in modo originale.
Exam Rules
Written exams and additional oral exam if the grade in the written test is greater or equal to 24. If the grade is less then 24 the final grade is the one obtained in the written exam, if it is greater then 23 and one wants to get more then 24, it is possible to undertake an oral exam.
o Unsuitable: major deficiencies and/or inaccuracies in knowledge and understanding of topics; limited ability to analyze and synthesize; frequent generalizations.
The result will be:
o 18-20: Barely sufficient knowledge and understanding of topics with possible imperfections; sufficient ability to analyze synthesis and independent judgment.
o 21-23: Routine knowledge and understanding of topics; Correct analysis and synthesis skills with coherent logical argumentation.
o 24-26: Fair knowledge and understanding of topics; Good analytical and synthesis skills with rigorously expressed arguments.
o 27-29: Comprehensive knowledge and understanding of topics; Remarkable skills of analysis, synthesis. Good independent judgment.
o 30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of topics. Remarkable analytical and synthesis skills and independent judgment. Arguments expressed in an original way.
EN
IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI: Il corso di Matematica generale fornisce sia gli elementi teorici che
quelli pratici essenziali che consentono agli studenti di affrontare le varie problematiche inerenti
l’Analisi Matematica elementare, dallo studio di funzione ai problemi di ottimizzazione liberi e
vincolati, e l’ Algebra Lineare.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Le principali conoscenze (Descrittore di
Dublino 1) riguardano come prima cosa la familiarita' con i concetti di limite, funzione, derivata..
Lo studente dovra' altresi' avere una adeguata conoscenza dei concetti di vettore, rango,
dipendenza ed indipendenza lineare e del teorema di Rouche' Capelli. Infine lo studente dovra'
apprendere i concetti fondamentali per lo studio di funzioni in piu' variabili con particolare
attenzione al calcolo differenziale in piu' variabili; derivate parziali, direzionali, differenziabilita',
Hessiano. Questo consentira' lo studio e l'impostazione di problemi di ottimizzazione in piu'
variabili anche ricorrendo alle tecniche con vincoli (Lagrangiana).
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Le principali abilità
acquisite (Descrittore di Dublino 2) si concretizzano nel fatto che gli studenti saranno in grado di
mettere in pratica le conoscenze teoriche al fine di risolvere problemi pratici, come lo studio di
funzione, il calcolo differenziale e la risoluzione di sistemi lineari. In particolare, lo studio dei
problemi di ottimo potra’ essere applicato al fine di risolvere problemi legati all’economia. Altresi
dicasi per le applicazioni ai sistemi lineari, fondamentali per la comprensione di importanti
modelli economici.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: Lo studio del corso di matematica generale consente allo studente
di acquisire un metodo di studio, fondamentale ingrediente per poter raggiungere una autonomia
nello studio e nell’apprendimento di conoscenze, qualita’ essenziale per ogni professionista.
ABILITÀ COMUNICATIVE: L’acquisizione di un metodo di studio e di lavoro aiutano anche
alla condivisione di idee e progetti, qualita’ fondamentali per un professionista.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES The main knowledge (Dublin Descriptor 1) first of all regards the
familiarity with the concepts of limit, function, derivative. The student will also have an adequate
knowledge of the concepts of vector, rank, linear dependence and independence and of the
Rouche -Capelli theorem. Finally, the student will have to learn with the study of functions in
several variables with particular attention to differential calculus in several variables; partial
derivative, differentiability, Hessian directional derivatives. This will allows to the student the
analysis and set up of optimisation problems in several variables also using constraint techniques
(Lagrangian multipliers). APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING. The main
skills acquired (Dublin Descriptor 2) are embodied in the fact that students, in order to solve
practical problems, will be able to put theoretical knowledge into practice., such as the study of
function, differential calculus and the resolution of linear systems. In particular, the study of
optimal problems can be applied to solve problems related to the economy. Moreover, regarding
linear system applications, they are fundamental to the understanding of important economic
models. MAKING JUDGEMENTS The study of mathematics allows the student to acquire a
study method, a fundamental ingredient to be able to achieve autonomy in the study and learning
of knowledge, an essential quality for every professional. COMMUNICATION SKILLS: The
study of the arguments treated in the course also helps to share ideas and projects, fundamental
qualities for a professional. LEARNING SKILLS: The acquisition of a method of study and work
also helps the student to acquire tools to learn new skills in order to solve more involved
problems.
Prerequisiti
matematica scuole superiori
Prerequisites
High school mathematics
Programma
• Elementi di teoria degli insiemi
• Topologia della retta reale
• Piano cartesiano
• Elementi di teoria delle funzioni
• Funzioni reali di una variabile reale
• Dominio, codominio, grafico di una funzione
• Funzioni monotone, funzione composta, funzione inversa
• Funzioni lineari, esponenziali, logaritmi, polinomi
• Elementi di trigonometria
• Successioni e loro limiti
• Teoremi sui limiti, limiti notevoli, confronto tra limiti, regole di calcolo
• Cenni alle serie
• Limiti e continuita' di funzioni reali
• Derivate: definizione, interpretazione fisica e significato geometrico
• Derivate notevoli, regole di calcolo, derivate di ordine superiore
• Studio di funzione: applicazione delle derivate allo studio della crescenza e della decrescenza, massimi e minimi, concavità , convessità e punti di flesso
• Differenziale e espansioni di Taylor
• Integrali definiti ed indefiniti di funzioni reali di variabile reale: costruzione e definizione
• Proprieta degli integrali
• Teorema fondamentale del calcolo integrale
• Applicazione al calcolo di integrali immediati
• Cenni alle principali tecniche di integrazione
• Elementi di algebra lineare: vettori, matrici, spazi vettoriali, dipendenza e indipendenza lineare
• Operazioni con matrici, determinante, autovalori e autovettori
• Sistemi lineari: rappresentazione matriciale, teoremi di Rouche-Capelli e Cramer
• Funzioni reali di due variabili reali: curve di livello, gradiente e Hessiana
• Ottimizzazione libera e vincolata per funzioni a due variabili
Program
• Limits and continuity of real functions
• Derivatives: definition, interpretation and geometric meaning
• Notable derivatives, computation rules, higher order derivatives
• Study of functions: applications of derivatives to study monotonicity, maximum and minimum, concavity, convexity and inflection points
• Differential and Taylor expansions
• Definite and indefinite integrals of real valued functions of real variable: construction and definition
• Properties of integrals
• Fundamental theorem of calculus
• Application to computation of integrals
• Outline of the main integration techniques
• Elements of linear algebra: vectors, matrices, vector spaces, linear dependence, operations with matrices, determinant, eigenvalues and eigenvectors
• Linear systems: matrix representation, Rouche-Capelli and Cramer theorems
• Real valued functions of two real variables: level curves, gradient, Hessian
• Free and constrained optimisation for functions of two variables
Testi Adottati
Matematica generale - Marcellini, Sbordone (Liguori 2007)
Books
Matematica generale - Marcellini, Sbordone (Liguori 2007)
Bibliografia
Prontuario di Matematica Generale - Barzanti, Benvenuti, Pezzi (Esculapio 201
Bibliography
Mathematics For Economists - Simon, Blume (WW Norton 1994)
Modalità di svolgimento
Modalità di lezione convenzionale (lezione frontale con lavagna o proiettore).
Teaching methods
Standard lectures with blackboard/projector.
Regolamento Esame
La prova di esame è la stessa per frequentanti e non frequentanti. Consiste in uno scritto di esercizi e un possibile orale in cui si discute l’esame scritto e si affrontano aspetti piu teorici.
Exam Rules
The exam is the same for attending and non-attending students. It consists in a written exam with exercises and possibly an oral exam with a discussion of the written exam and then more theoretical questions.
Aggiornato A.A. 2021-2022
Programma del corso
Parte A
Elementi di teoria degli insiemi: nozione di insieme e di elemento; insieme vuoto, insieme ambiente; sottoinsiemi dell'insieme ambiente, operazioni sui sottoinsiemi dell'insieme ambiente (unione, intersezione, differenza, complemento); famiglie di sottoinsiemi dell'insieme ambiente; prodotto cartesiano di insiemi.
Insiemi numerici: i numeri naturali, i numeri interi, i numeri razionali, i numeri reali; operazioni algebriche elementari sugli insiemi numerici; potenze ad esponente intero positivo e negativo, radici aritmetiche ed algebriche, potenze ad esponente razionale, potenze ad esponente reale.
Elementi di teoria delle funzioni: nozione di funzione; dominio e condominio di una funzione; insieme immagine e controimmagine di un insieme mediante una funzione, insieme dei valori; funzioni iniettive, suriettive ed invertibili; funzione inversa; composizione di funzioni; grafici di funzioni.
Insiemi di numeri reali. Punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e isolati, sottoinsiemi di un insieme ordinato superiormente ed inferiormente limitati, maggioranti e minoranti; minimo e massimo; estremo superiore ed inferiore.
Parte B
Funzioni reali di variabile reale: rappresentazione del grafico di una funzione reale di variabile reale, grafici di funzioni elementari; equazioni e disequazioni associate al grafico di una funzione; grafico della funzione costante, equazioni e disequazioni associate; grafici dei polinomi di I e II grado, equazioni e disequazioni associate; grafico della funzione valore assoluto, equazioni e disequazioni associate; grafici dei polinomi di grado superiore al primo, equazioni e disequazioni associate.
Parte C
Funzioni lineari: la retta, Funzione esponenziale, funzione logaritmo e loro proprietà ; il numero di Neper; equazioni e disequazioni associate alle funzioni esponenziali e logaritmiche.
Applicazioni economiche: regime finanziario ad interesse semplice e composto; ruolo del numero di Neper nel regime finanziario ad interesse composto.
Parte D
Limiti di funzioni reali di variabile reale: definizioni; significato geometrico di limite; principali limiti notevoli, teoremi di manipolazione, limite di una combinazione lineare di funzioni, di un prodotto, di un rapporto, di una composizione.
Funzioni reali continue di variabile reale: funzione continua in un punto ed in un intervallo; significato geometrico di funzione continua; principali teoremi di manipolazione, teorema di esistenza dei massimi e minimi per funzioni continue su intervalli chiusi e limitati; teorema di esistenza dei valori intermedi per funzioni continue su intervalli.
Derivate di funzioni reali di variabile reale: definizioni; significato geometrico di derivata; principali derivate notevoli; teoremi di manipolazione, derivata di una combinazione lineare di funzioni, di un prodotto, di un rapporto, di una composizione, di una funzione inversa.
Crescenza e decrescenza di funzioni reali di variabile reale: massimi e limiti locali; applicazione delle derivate per lo studio della crescenza e della decrescenza.
Convessità e concavità di funzioni reali di variabile reale: punto di flesso; applicazione delle derivate per lo studio della convessità e concavità .
Teoremi di De L'Hopital; Teoremi di Rolle e di Lagrange.
Polinomi di Taylor per funzioni reali di variabile reale.
Studio qualitativo del grafico di una funzione reale di variabile reale.
Integrali di funzioni reali di variabile reale: integrali definiti ed indefiniti; teorema fondamentale del calcolo integrale, principali tecniche di integrazione indefinita, riconducibili ad integrali immediati, per parti, per sostituzione.
Parte E
Elementi di algebra lineare: vettori; matrici; combinazioni lineari; sistemi di vettori indipendenti e dipendenti.
Sistemi lineari: rappresentazione matriciale; sistemi lineari parametrici; Teoremi di Cramer e di Rouche-Capelli.
Parte F
Funzioni reali di più¹ variabili reali: grafici di funzioni reali di più variabili reali; insiemi di livello; derivate parziali
Massimi e minimi di funzioni reali di più variabili reali: massimi e minimi liberi e vincolati.
Aggiornato A.A. 2020-2021
Programma del corso
Parte A
Elementi di teoria degli insiemi: nozione di insieme e di elemento; insieme vuoto, insieme ambiente; sottoinsiemi dell'insieme ambiente, operazioni sui sottoinsiemi dell'insieme ambiente (unione, intersezione, differenza, complemento); famiglie di sottoinsiemi dell'insieme ambiente; prodotto cartesiano di insiemi.
Insiemi numerici: i numeri naturali, i numeri interi, i numeri razionali, i numeri reali; operazioni algebriche elementari sugli insiemi numerici; potenze ad esponente intero positivo e negativo, radici aritmetiche ed algebriche, potenze ad esponente razionale, potenze ad esponente reale.
Elementi di teoria delle funzioni: nozione di funzione; dominio e condominio di una funzione; insieme immagine e controimmagine di un insieme mediante una funzione, insieme dei valori; funzioni iniettive, suriettive ed invertibili; funzione inversa; composizione di funzioni; grafici di funzioni.
Insiemi di numeri reali. Punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e isolati, sottoinsiemi di un insieme ordinato superiormente ed inferiormente limitati, maggioranti e minoranti; minimo e massimo; estremo superiore ed inferiore.
Parte B
Funzioni reali di variabile reale: rappresentazione del grafico di una funzione reale di variabile reale, grafici di funzioni elementari; equazioni e disequazioni associate al grafico di una funzione; grafico della funzione costante, equazioni e disequazioni associate; grafici dei polinomi di I e II grado, equazioni e disequazioni associate; grafico della funzione valore assoluto, equazioni e disequazioni associate; grafici dei polinomi di grado superiore al primo, equazioni e disequazioni associate.
Parte C
Funzioni lineari: la retta, Funzione esponenziale, funzione logaritmo e loro proprietà ; il numero di Neper; equazioni e disequazioni associate alle funzioni esponenziali e logaritmiche.
Applicazioni economiche: regime finanziario ad interesse semplice e composto; ruolo del numero di Neper nel regime finanziario ad interesse composto.
Parte D
Limiti di funzioni reali di variabile reale: definizioni; significato geometrico di limite; principali limiti notevoli, teoremi di manipolazione, limite di una combinazione lineare di funzioni, di un prodotto, di un rapporto, di una composizione.
Funzioni reali continue di variabile reale: funzione continua in un punto ed in un intervallo; significato geometrico di funzione continua; principali teoremi di manipolazione, teorema di esistenza dei massimi e minimi per funzioni continue su intervalli chiusi e limitati; teorema di esistenza dei valori intermedi per funzioni continue su intervalli.
Derivate di funzioni reali di variabile reale: definizioni; significato geometrico di derivata; principali derivate notevoli; teoremi di manipolazione, derivata di una combinazione lineare di funzioni, di un prodotto, di un rapporto, di una composizione, di una funzione inversa.
Crescenza e decrescenza di funzioni reali di variabile reale: massimi e limiti locali; applicazione delle derivate per lo studio della crescenza e della decrescenza.
Convessità e concavità di funzioni reali di variabile reale: punto di flesso; applicazione delle derivate per lo studio della convessità e concavità .
Teoremi di De L'Hopital; Teoremi di Rolle e di Lagrange.
Polinomi di Taylor per funzioni reali di variabile reale.
Studio qualitativo del grafico di una funzione reale di variabile reale.
Integrali di funzioni reali di variabile reale: integrali definiti ed indefiniti; teorema fondamentale del calcolo integrale, principali tecniche di integrazione indefinita, riconducibili ad integrali immediati, per parti, per sostituzione.
Parte E
Elementi di algebra lineare: vettori; matrici; combinazioni lineari; sistemi di vettori indipendenti e dipendenti.
Sistemi lineari: rappresentazione matriciale; sistemi lineari parametrici; Teoremi di Cramer e di Rouche-Capelli.
Parte F
Funzioni reali di più¹ variabili reali: grafici di funzioni reali di più variabili reali; insiemi di livello; derivate parziali
Massimi e minimi di funzioni reali di più variabili reali: massimi e minimi liberi e vincolati.
Aggiornato A.A. 2019-2020
Programma del corso
Parte A
Elementi di teoria degli insiemi: nozione di insieme e di elemento; insieme vuoto, insieme ambiente; sottoinsiemi dell'insieme ambiente, operazioni sui sottoinsiemi dell'insieme ambiente (unione, intersezione, differenza, complemento); famiglie di sottoinsiemi dell'insieme ambiente; prodotto cartesiano di insiemi.
Insiemi numerici: i numeri naturali, i numeri interi, i numeri razionali, i numeri reali; operazioni algebriche elementari sugli insiemi numerici; potenze ad esponente intero positivo e negativo, radici aritmetiche ed algebriche, potenze ad esponente razionale, potenze ad esponente reale.
Elementi di teoria delle funzioni: nozione di funzione; dominio e condominio di una funzione; insieme immagine e controimmagine di un insieme mediante una funzione, insieme dei valori; funzioni iniettive, suriettive ed invertibili; funzione inversa; composizione di funzioni; grafici di funzioni.
Insiemi di numeri reali. Punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e isolati, sottoinsiemi di un insieme ordinato superiormente ed inferiormente limitati, maggioranti e minoranti; minimo e massimo; estremo superiore ed inferiore.
Parte B
Funzioni reali di variabile reale: rappresentazione del grafico di una funzione reale di variabile reale, grafici di funzioni elementari; equazioni e disequazioni associate al grafico di una funzione; grafico della funzione costante, equazioni e disequazioni associate; grafici dei polinomi di I e II grado, equazioni e disequazioni associate; grafico della funzione valore assoluto, equazioni e disequazioni associate; grafici dei polinomi di grado superiore al primo, equazioni e disequazioni associate.
Parte C
Funzioni lineari: la retta, Funzione esponenziale, funzione logaritmo e loro proprietà ; il numero di Neper; equazioni e disequazioni associate alle funzioni esponenziali e logaritmiche.
Applicazioni economiche: regime finanziario ad interesse semplice e composto; ruolo del numero di Neper nel regime finanziario ad interesse composto.
Parte D
Limiti di funzioni reali di variabile reale: definizioni; significato geometrico di limite; principali limiti notevoli, teoremi di manipolazione, limite di una combinazione lineare di funzioni, di un prodotto, di un rapporto, di una composizione.
Funzioni reali continue di variabile reale: funzione continua in un punto ed in un intervallo; significato geometrico di funzione continua; principali teoremi di manipolazione, teorema di esistenza dei massimi e minimi per funzioni continue su intervalli chiusi e limitati; teorema di esistenza dei valori intermedi per funzioni continue su intervalli.
Derivate di funzioni reali di variabile reale: definizioni; significato geometrico di derivata; principali derivate notevoli; teoremi di manipolazione, derivata di una combinazione lineare di funzioni, di un prodotto, di un rapporto, di una composizione, di una funzione inversa.
Crescenza e decrescenza di funzioni reali di variabile reale: massimi e limiti locali; applicazione delle derivate per lo studio della crescenza e della decrescenza.
Convessità e concavità di funzioni reali di variabile reale: punto di flesso; applicazione delle derivate per lo studio della convessità e concavità .
Teoremi di De L'Hopital; Teoremi di Rolle e di Lagrange.
Polinomi di Taylor per funzioni reali di variabile reale.
Studio qualitativo del grafico di una funzione reale di variabile reale.
Integrali di funzioni reali di variabile reale: integrali definiti ed indefiniti; teorema fondamentale del calcolo integrale, principali tecniche di integrazione indefinita, riconducibili ad integrali immediati, per parti, per sostituzione.
Parte E
Elementi di algebra lineare: vettori; matrici; combinazioni lineari; sistemi di vettori indipendenti e dipendenti.
Sistemi lineari: rappresentazione matriciale; sistemi lineari parametrici; Teoremi di Cramer e di Rouche-Capelli.
Parte F
Funzioni reali di più¹ variabili reali: grafici di funzioni reali di più variabili reali; insiemi di livello; derivate parziali
Massimi e minimi di funzioni reali di più variabili reali: massimi e minimi liberi e vincolati.
Aggiornato A.A. 2018-2019
Programma del corso
Parte A
Elementi di teoria degli insiemi: nozione di insieme e di elemento; insieme vuoto, insieme ambiente; sottoinsiemi dell'insieme ambiente, operazioni sui sottoinsiemi dell'insieme ambiente (unione, intersezione, differenza, complemento); famiglie di sottoinsiemi dell'insieme ambiente; prodotto cartesiano di insiemi.
Insiemi numerici: i numeri naturali, i numeri interi, i numeri razionali, i numeri reali; operazioni algebriche elementari sugli insiemi numerici; potenze ad esponente intero positivo e negativo, radici aritmetiche ed algebriche, potenze ad esponente razionale, potenze ad esponente reale.
Elementi di teoria delle funzioni: nozione di funzione; dominio e condominio di una funzione; insieme immagine e controimmagine di un insieme mediante una funzione, insieme dei valori; funzioni iniettive, suriettive ed invertibili; funzione inversa; composizione di funzioni; grafici di funzioni.
Insiemi di numeri reali. Punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e isolati, sottoinsiemi di un insieme ordinato superiormente ed inferiormente limitati, maggioranti e minoranti; minimo e massimo; estremo superiore ed inferiore.
Parte B
Funzioni reali di variabile reale: rappresentazione del grafico di una funzione reale di variabile reale, grafici di funzioni elementari; equazioni e disequazioni associate al grafico di una funzione; grafico della funzione costante, equazioni e disequazioni associate; grafici dei polinomi di I e II grado, equazioni e disequazioni associate; grafico della funzione valore assoluto, equazioni e disequazioni associate; grafici dei polinomi di grado superiore al primo, equazioni e disequazioni associate.
Parte C
Funzioni lineari: la retta, Funzione esponenziale, funzione logaritmo e loro proprietà ; il numero di Neper; equazioni e disequazioni associate alle funzioni esponenziali e logaritmiche.
Applicazioni economiche: regime finanziario ad interesse semplice e composto; ruolo del numero di Neper nel regime finanziario ad interesse composto.
Parte D
Limiti di funzioni reali di variabile reale: definizioni; significato geometrico di limite; principali limiti notevoli, teoremi di manipolazione, limite di una combinazione lineare di funzioni, di un prodotto, di un rapporto, di una composizione.
Funzioni reali continue di variabile reale: funzione continua in un punto ed in un intervallo; significato geometrico di funzione continua; principali teoremi di manipolazione, teorema di esistenza dei massimi e minimi per funzioni continue su intervalli chiusi e limitati; teorema di esistenza dei valori intermedi per funzioni continue su intervalli.
Derivate di funzioni reali di variabile reale: definizioni; significato geometrico di derivata; principali derivate notevoli; teoremi di manipolazione, derivata di una combinazione lineare di funzioni, di un prodotto, di un rapporto, di una composizione, di una funzione inversa.
Crescenza e decrescenza di funzioni reali di variabile reale: massimi e limiti locali; applicazione delle derivate per lo studio della crescenza e della decrescenza.
Convessità e concavità di funzioni reali di variabile reale: punto di flesso; applicazione delle derivate per lo studio della convessità e concavità .
Teoremi di De L'Hopital; Teoremi di Rolle e di Lagrange.
Polinomi di Taylor per funzioni reali di variabile reale.
Studio qualitativo del grafico di una funzione reale di variabile reale.
Integrali di funzioni reali di variabile reale: integrali definiti ed indefiniti; teorema fondamentale del calcolo integrale, principali tecniche di integrazione indefinita, riconducibili ad integrali immediati, per parti, per sostituzione.
Parte E
Elementi di algebra lineare: vettori; matrici; combinazioni lineari; sistemi di vettori indipendenti e dipendenti.
Sistemi lineari: rappresentazione matriciale; sistemi lineari parametrici; Teoremi di Cramer e di Rouche-Capelli.
Parte F
Funzioni reali di più¹ variabili reali: grafici di funzioni reali di più variabili reali; insiemi di livello; derivate parziali
Massimi e minimi di funzioni reali di più variabili reali: massimi e minimi liberi e vincolati.
Aggiornato A.A. 2015-2016
Programma del corso
Parte A
Elementi di teoria degli insiemi: nozione di insieme e di elemento; insieme vuoto, insieme ambiente; sottoinsiemi dell'insieme ambiente, operazioni sui sottoinsiemi dell'insieme ambiente (unione, intersezione, differenza, complemento); famiglie di sottoinsiemi dell'insieme ambiente; prodotto cartesiano di insiemi.
Insiemi numerici: i numeri naturali, i numeri interi, i numeri razionali, i numeri reali; operazioni algebriche elementari sugli insiemi numerici; potenze ad esponente intero positivo e negativo, radici aritmetiche ed algebriche, potenze ad esponente razionale, potenze ad esponente reale.
Elementi di teoria delle funzioni: nozione di funzione; dominio e condominio di una funzione; insieme immagine e controimmagine di un insieme mediante una funzione, insieme dei valori; funzioni iniettive, suriettive ed invertibili; funzione inversa; composizione di funzioni; grafici di funzioni.
Insiemi di numeri reali. Punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e isolati, sottoinsiemi di un insieme ordinato superiormente ed inferiormente limitati, maggioranti e minoranti; minimo e massimo; estremo superiore ed inferiore.
Parte B
Funzioni reali di variabile reale: rappresentazione del grafico di una funzione reale di variabile reale, grafici di funzioni elementari; equazioni e disequazioni associate al grafico di una funzione; grafico della funzione costante, equazioni e disequazioni associate; grafici dei polinomi di I e II grado, equazioni e disequazioni associate; grafico della funzione valore assoluto, equazioni e disequazioni associate; grafici dei polinomi di grado superiore al primo, equazioni e disequazioni associate.
Parte C
Funzioni lineari: la retta, Funzione esponenziale, funzione logaritmo e loro proprietà ; il numero di Neper; equazioni e disequazioni associate alle funzioni esponenziali e logaritmiche.
Applicazioni economiche: regime finanziario ad interesse semplice e composto; ruolo del numero di Neper nel regime finanziario ad interesse composto.
Parte D
Limiti di funzioni reali di variabile reale: definizioni; significato geometrico di limite; principali limiti notevoli, teoremi di manipolazione, limite di una combinazione lineare di funzioni, di un prodotto, di un rapporto, di una composizione.
Funzioni reali continue di variabile reale: funzione continua in un punto ed in un intervallo; significato geometrico di funzione continua; principali teoremi di manipolazione, teorema di esistenza dei massimi e minimi per funzioni continue su intervalli chiusi e limitati; teorema di esistenza dei valori intermedi per funzioni continue su intervalli.
Derivate di funzioni reali di variabile reale: definizioni; significato geometrico di derivata; principali derivate notevoli; teoremi di manipolazione, derivata di una combinazione lineare di funzioni, di un prodotto, di un rapporto, di una composizione, di una funzione inversa.
Crescenza e decrescenza di funzioni reali di variabile reale: massimi e limiti locali; applicazione delle derivate per lo studio della crescenza e della decrescenza.
Convessità e concavità di funzioni reali di variabile reale: punto di flesso; applicazione delle derivate per lo studio della convessità e concavità .
Teoremi di De L'Hopital; Teoremi di Rolle e di Lagrange.
Polinomi di Taylor per funzioni reali di variabile reale.
Studio qualitativo del grafico di una funzione reale di variabile reale.
Integrali di funzioni reali di variabile reale: integrali definiti ed indefiniti; teorema fondamentale del calcolo integrale, principali tecniche di integrazione indefinita, riconducibili ad integrali immediati, per parti, per sostituzione.
Parte E
Elementi di algebra lineare: vettori; matrici; combinazioni lineari; sistemi di vettori indipendenti e dipendenti.
Sistemi lineari: rappresentazione matriciale; sistemi lineari parametrici; Teoremi di Cramer e di Rouche-Capelli.
Parte F
Funzioni reali di più¹ variabili reali: grafici di funzioni reali di più variabili reali; insiemi di livello; derivate parziali
Massimi e minimi di funzioni reali di più variabili reali: massimi e minimi liberi e vincolati.
Aggiornato A.A. 2014-2015
Programma del corso
Parte A
Elementi di teoria degli insiemi: nozione di insieme e di elemento; insieme vuoto, insieme ambiente; sottoinsiemi dell'insieme ambiente, operazioni sui sottoinsiemi dell'insieme ambiente (unione, intersezione, differenza, complemento); famiglie di sottoinsiemi dell'insieme ambiente; prodotto cartesiano di insiemi.
Insiemi numerici: i numeri naturali, i numeri interi, i numeri razionali, i numeri reali; operazioni algebriche elementari sugli insiemi numerici; potenze ad esponente intero positivo e negativo, radici aritmetiche ed algebriche, potenze ad esponente razionale, potenze ad esponente reale.
Elementi di teoria delle funzioni: nozione di funzione; dominio e condominio di una funzione; insieme immagine e controimmagine di un insieme mediante una funzione, insieme dei valori; funzioni iniettive, suriettive ed invertibili; funzione inversa; composizione di funzioni; grafici di funzioni.
Insiemi di numeri reali. Punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e isolati, sottoinsiemi di un insieme ordinato superiormente ed inferiormente limitati, maggioranti e minoranti; minimo e massimo; estremo superiore ed inferiore.
Parte B
Funzioni reali di variabile reale: rappresentazione del grafico di una funzione reale di variabile reale, grafici di funzioni elementari; equazioni e disequazioni associate al grafico di una funzione; grafico della funzione costante, equazioni e disequazioni associate; grafici dei polinomi di I e II grado, equazioni e disequazioni associate; grafico della funzione valore assoluto, equazioni e disequazioni associate; grafici dei polinomi di grado superiore al primo, equazioni e disequazioni associate.
Parte C
Funzioni lineari: la retta, Funzione esponenziale, funzione logaritmo e loro proprietà ; il numero di Neper; equazioni e disequazioni associate alle funzioni esponenziali e logaritmiche.
Applicazioni economiche: regime finanziario ad interesse semplice e composto; ruolo del numero di Neper nel regime finanziario ad interesse composto.
Parte D
Limiti di funzioni reali di variabile reale: definizioni; significato geometrico di limite; principali limiti notevoli, teoremi di manipolazione, limite di una combinazione lineare di funzioni, di un prodotto, di un rapporto, di una composizione.
Funzioni reali continue di variabile reale: funzione continua in un punto ed in un intervallo; significato geometrico di funzione continua; principali teoremi di manipolazione, teorema di esistenza dei massimi e minimi per funzioni continue su intervalli chiusi e limitati; teorema di esistenza dei valori intermedi per funzioni continue su intervalli.
Derivate di funzioni reali di variabile reale: definizioni; significato geometrico di derivata; principali derivate notevoli; teoremi di manipolazione, derivata di una combinazione lineare di funzioni, di un prodotto, di un rapporto, di una composizione, di una funzione inversa.
Crescenza e decrescenza di funzioni reali di variabile reale: massimi e limiti locali; applicazione delle derivate per lo studio della crescenza e della decrescenza.
Convessità e concavità di funzioni reali di variabile reale: punto di flesso; applicazione delle derivate per lo studio della convessità e concavità .
Teoremi di De L'Hopital; Teoremi di Rolle e di Lagrange.
Polinomi di Taylor per funzioni reali di variabile reale.
Studio qualitativo del grafico di una funzione reale di variabile reale.
Integrali di funzioni reali di variabile reale: integrali definiti ed indefiniti; teorema fondamentale del calcolo integrale, principali tecniche di integrazione indefinita, riconducibili ad integrali immediati, per parti, per sostituzione.
Parte E
Elementi di algebra lineare: vettori; matrici; combinazioni lineari; sistemi di vettori indipendenti e dipendenti.
Sistemi lineari: rappresentazione matriciale; sistemi lineari parametrici; Teoremi di Cramer e di Rouche-Capelli.
Parte F
Funzioni reali di più¹ variabili reali: grafici di funzioni reali di più variabili reali; insiemi di livello; derivate parziali
Massimi e minimi di funzioni reali di più variabili reali: massimi e minimi liberi e vincolati.
Prof.ssa Lucia Leonelli
