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Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI:
Conoscenza e comprensione dei principi di base utili per una profonda comprensione dei principali concetti di analisi matematica, relativi, allo studio di successioni, serie numeriche e funzioni in una variabile. L'obiettivo è quello di applicare le nozioni di base dell'analisi matematica alla modellizzazione economica con un approccio rigoroso.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
Il corso sviluppa argomenti base di analisi matematica. Fornisce conoscenze di base sulla modellistica in campo economico e per la matematica finanziaria.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
La struttura del corso consiste in una parte teorica (definizioni e teoremi con relative dimostrazioni), e nella discussione di esempi utili per la teoria economica, integrati da esercitazioni pratiche di importanza fondamentale, in cui vengono sviluppati metodi concreti per la soluzione di problemi base di analisi matematica e algebra lineare. La comprensione delle dimostrazioni permette allo studente di affrontare diversi tipi di problemi di moderata difficoltà, nel campo della modellizzazione economica e nella comprensione, basata su metodi quantitativi, dei fenomeni sociali.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Il corso prevede la dimostrazione di teoremi e di proprietà analitiche. Questa peculiarità permette agli studenti di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni, di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti errati o lacunosi. La discussione di vari esempi in ambito economico permetterà agli studenti di individuare le caratteristiche fondamentali di una ragionevole modellizzazione matematica dei fenomeni economici e sociali.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Per superare l'esame scritto lo studente deve sviluppare il necessario rigore scientifico richiesto per descrivere la soluzione analitica di un problema. Il corso fornisce dunque alcuni strumenti necessari per comunicare con rigore risultati scientifici nell'ambito delle scienze sociali.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO:
Il corso fornisce strumenti basilari per lo sviluppo di studi ulteriori, sia in Matematica sia in Economia. Lo studio teorico fornisce la capacità di affrontare autonomamente nuovi problemi di media difficoltà.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
Knowledge and understanding of the basic principles useful for a deep comprehension of the main concepts of mathematical analysis, particularly related to sequences, series and functions of one variable. The objective is to apply basic notions on mathematical analysis to economic modelling with a rigorous approach.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The course develops basic topics of mathematical analysis. It provides basic knowledge of economic modeling and financial mathematics.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The structure of the course consists of a theoretical part (definitions and theorems with proofs), the discussion of useful examples for economic theory, supplemented by fundamental practical exercises in which concrete methods are developed for the solution of basic problems in mathematical analysis and linear algebra. The understanding of proofs allows students to have the right approach for facing different types of problems of moderate difficulty, in the field of economic modeling and in the understanding, based on quantitative methods, of social phenomena.
MAKING JUDGEMENTS:
The course includes proofs of theorems and analytic properties. This aspect allows students to construct and develop logical arguments with a clear identification of assumptions and conclusions, to recognize correct proofs, and to identify incorrect or incomplete reasoning. Various examples of applications to economic models are also studied, which enable students to propose and analyze mathematical models useful for social sciences.
COMMUNICATION SKILLS:
To succeed the written exam the student must develop the necessary scientific rigor required to describe the analytical solution of a problem. The course therefore provides some tools needed to communicate, rigorously, scientific results in the social sciences.
LEARNING SKILLS:
The course provides basic tools for the development of further studies, both in Mathematics and in Economics. The theoretical study provides the ability to deal independently with new problems of medium difficulty.
Prerequisiti
Saper risolvere Equazioni di primo e secondo grado a coefficienti reali, disequazioni intere di primo e secondo grado, equazioni e disequazioni fratte e soluzioni, equazioni e disequazioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.
Conoscere le Proprietà basilari delle funzioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche.
Prerequisites
Being able to solve first and second order equations, inequalities, fractional inequalities, exponential, logarithmic and trigonometric inequalities.
Basic knowledge of properties of exponential, logarithmic and trigonometric functions.
Programma
Proprietà di base delle funzioni.
Insiemistica. Insiemi: unione, intersezione, differenza, complemento. Costruzione intuitiva degli insiemi dei numeri: naturali, interi, razionali, reali.
Funzioni di valore reale.
Funzioni lineari, quadratiche e polinomiali. Funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Dominio, immagine di una funzione. Funzioni crescenti, decrescenti, monotone. Funzioni iniettive e suriettive. Funzione inversa.
Successioni.
Definizione del limite di una successione, unicità del limite di una successione (con dimostrazione), successioni monotone. Esistenza del limite di una successione monotona e limitata. Teorema del confronto (con dimostrazione). Limiti notevoli.
Serie.
Definizione formale ed esempi. Serie geometriche: definizione, condizioni di convergenza (con dimostrazione).
Limite delle funzioni reali di una variabile reale.
Definizione formale. Unicità del limite. Teorema di confronto.
Continuità di funzioni di una variabile reale.
Definizione e principali teoremi.
Caratterizzazione dei punti di discontinuità di una funzione: salti e discontinuità rimovibili e essenziali.
Derivata di una funzione reale di una variabile reale. Condizioni necessarie per derivabilità (con dimostrazione). Derivata della funzione inversa.
Massimi e minimi di una funzione: condizioni necessarie e sufficienti.
Retta tangente e approssimazione di Taylor al primo ordine.
Funzioni convesse e concave. Condizioni del secondo ordine per massimi e minimi.
Program
Basic properties of functions.
Set theory. Set Operations: union, intersection, difference, complement. Intuitive construction of number sets.
Real valued functions.
Linear, quadratic and polynomial functions. Exponential, Logarithmic and Trigonometric functions. Domain, Range of a function. Increasing, decreasing and monotonic functions.
Injective, surjective functions. The inverse function.
Sequences.
Definition of limit of a sequence, uniqueness of the limit of a sequence (with proof), monotonic sequences. Existence of the limit of a monotonic and bounded sequence. Comparison Theorem (with proof). Notable limits.
Series.
Definition and examples. Conditions for convergence of geometric series (with proof).
Limit of real functions of one real variable.
Definition. Uniqueness of the limit. Comparison Theorem.
Continuity: definition and main theorems. Characterization of the discontinuity points of a function: jumps and removable and essential discontinuities.
Derivative of a real functions of one real variable.
Necessary condition for differentiability (with proof).
Maxima and minima of a function: necessary and sufficient conditions.
Tangent line and 1st order Taylor approximation.
Convex and concave functions. Second-order conditions for maxima and minima.
Testi Adottati
Lorenzo Peccati, Sandro Salsa, Annamaria Squellati. Mathematics for economic business.
Books
Lorenzo Peccati, Sandro Salsa, Annamaria Squellati. Mathematics for economic business.
Bibliografia
Knut Sydsæter, Peter Hammond, Arne StrØm, Essential Mathematics for Economic Analysis
Carl P. Simon, Lawrence Blume, Mathematics for Economists
Bibliography
Knut Sydsæter, Peter Hammond, Arne StrØm, Essential Mathematics for Economic Analysis
Carl P. Simon, Lawrence Blume, Mathematics for Economists
Modalità di svolgimento
Lezioni frontali ed esercitazioni
Teaching methods
Theoretical lectures and exercise classes
Regolamento Esame
Mathematics è un corso unico organizzato in due moduli e dunque dopo l'esame finale verrà registrato un solo voto.
La prova scritta è formata da una serie di esercizi e domande teoriche sul programma analizzato durante in corso.
L'esame si ritiene superato se lo studente ottiene una votazione di almeno 18/30.
Ogni voto verrà registrato, inclusa la bocciatura.
E' possibile rifiutare un voto maggiore o uguale a 18/30 una sola volta e ripetere l'esame. In tal caso, al secondo tentativo il voto viene registrato.
Exam Rules
Written test with exercises and theoretical questions
Modalità di frequenza
Frequenza facoltativa ma fortemente consigliata
Attendance Rules
Attendance is not compulsory but highly recommended
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Prerequisiti
Saper risolvere Equazioni di primo e secondo grado a coefficienti reali, disequazioni intere di primo e secondo grado, equazioni e disequazioni fratte e soluzioni, equazioni e disequazioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.
Conoscere le Proprietà basilari delle funzioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche.
Prerequisites
Being able to solve first and second order equations, inequalities, fractional inequalities, exponential, logarithmic and trigonometric inequalities.
Basic knowledge of properties of exponential, logarithmic and trigonometric functions.
Programma
Proprietà di base delle funzioni.
Insiemistica. Insiemi: unione, intersezione, differenza, complemento. Costruzione intuitiva degli insiemi dei numeri: naturali, interi, razionali, reali.
Funzioni di valore reale.
Funzioni lineari, quadratiche e polinomiali. Funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Dominio, immagine di una funzione. Funzioni crescenti, decrescenti, monotone. Funzioni iniettive e suriettive. Funzione inversa. Successioni.
Definizione del limite di una successione, unicità del limite di una successione (con dimostrazione), successioni monotone. Esistenza del limite di una successione monotona e limitata. Teorema del confronto (con dimostrazione). Limiti notevoli. Serie.
Definizione formale ed esempi. Serie geometriche: definizione, condizioni di convergenza (con dimostrazione).
Limite delle funzioni reali di una variabile reale.
Definizione formale. Unicità del limite. Teorema di confronto.
Continuità di funzioni di una variabile reale.
Definizione e principali teoremi.
Caratterizzazione dei punti di discontinuità di una funzione: salti e discontinuità rimovibili e essenziali.
Derivata di una funzione reale di una variabile reale. Condizioni necessarie per derivabilità (con dimostrazione). Derivata della funzione inversa.
Massimi e minimi di una funzione: condizioni necessarie e sufficienti.
Retta tangente e approssimazione di Taylor al primo ordine.
Funzioni convesse e concave. Condizioni del secondo ordine per massimi e minimi.
Program
Basic properties of functions.
Set theory. Set Operations: union, intersection, difference, complement. Intuitive construction of number sets.
Real valued functions.
Linear, quadratic and polynomial functions. Exponential, Logarithmic and Trigonometric functions. Domain, Range of a function. Increasing, decreasing and monotonic functions.
Injective, surjective functions. The inverse function. Sequences.
Definition of limit of a sequence, uniqueness of the limit of a sequence (with proof), monotonic sequences. Existence of the limit of a monotonic and bounded sequence.
Comparison Theorem (with proof). Notable limits. Series.
Definition and examples. Conditions for convergence of geometric series (with proof).
Limit of real functions of one real variable.
Definition. Uniqueness of the limit. Comparison Theorem.
Continuity: definition and main theorems. Characterization of the discontinuity points of a function: jumps and removable and essential discontinuities.
Derivative of a real functions of one real variable.
Necessary condition for differentiability (with proof).
Maxima and minima of a function: necessary and sufficient conditions.
Tangent line and 1st order Taylor approximation.
Convex and concave functions. Second-order conditions for maxima and minima.
Testi Adottati
Lorenzo Peccati, Sandro Salsa, Annamaria Squellati. Mathematics for economic business.
Books
Knut Sydsæter, Peter Hammond, Arne StrØm, Essential Mathematics for Economic Analysis
Carl P. Simon, Lawrence Blume, Mathematics for Economists
Modalità di svolgimento
Lezioni frontali ed esercitazioni
Teaching methods
Theoretical lectures and exercise classes
Regolamento Esame
Test scritto con esercizi e domande teoriche.
Exam Rules
Written test with exercises and theoretical questions
Modalità di frequenza
Frequenza facoltativa ma fortemente consigliata
Attendance Rules
Attendance is not compulsory but highly recommended
Prof.ssa Lucia Leonelli
