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Prerequisiti
Tutto il materiale studiato nel modulo Mathematics 1.
Prerequisites
All the material covered in Mathematics 1
Programma
Teoria dell'integrazione
Definizione di Primitiva e integrale di una funzione. Integrali di funzioni elementari. Integrazione per sostituzione, per parti e del rapporto di polinomi.
Costruzione dell'integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale di Riemann, Integrale definito, Teorema Fondamentale del Calcolo (con dimostrazione). Applicazioni del TFC
Calcolo di Aree. Integrale Improprio. Teorema del Valore Medio.
Algebra Lineare
Matrici e Vettori: definizione, operazioni con matrici e vettori, interpretazione geometrica di veettori, combinazioni lineari di vettori. Ogni vettore in R^n è una combinazione lineare di vettori standard (con dimostrazione).
Prodotto Matrice-vettore, prodotto tra matrici. Proprietà del prodotto tra matrici. Il prodotto tra matrici non è commutativo (esempi). Inversa di una matrice.
Unicità dell'inversa di una matrice (con dim.) Inversa di una matrice 2x2. Determinante di una matrice (con i cofattori). Proprietà dei determinanti.
Teorma: una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante non è zero. Proprietà dell'inversa (con dimostrazione). Matrice dei cofattori. CAlcolo dell'inversa di una matrice. Matrici speciali: diagonali e triangolari.
Definizione di equazione lineare e sistema di equazioni lineari. Espressione matriciale di un sistema di equazioni lineari. Soluzione di un sistema di equazioni lineari: consistenza, inconsistenza e numero di soluzioni. Teorema: un sistema omogeneo è sempre consistente (con dim.). Operazioni elementari per righe, forma a scalini.
Dipendenza e indipendenza lineare di verrori. Rango di una matrice. Metodi per il calcolo del rango: algoritmo di eliminazione di Gauss e teorema di Kronecker.
Proposizione: Dato un insieme di vettori v_1, ..., v_n in R^k e un vettore b in R^k che è combinazione lineare di v_1, ..., v_n, la matrice V e la matrice tilde V hanno lo stesso rango (con dim). Teorema di Rouché-Capelli (enunciato e interpretazione). Sistemi parametrici.
Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema lineare; equazione parametrica e cartesiana di una retta per due punti; e per un punto nella direzione v; equazione parametrica del piano per un punto e parallelo a due vettori; equazione point-normal di un piano in R^3. Autovalori e Autovettori di una matrice: definizione e calcolo.
Ottimizzazione di funzioni di due variabili
Funzioni di due variabili: dominio, curve di livello, derivate parziali, gradiente, matrice Hessiana. Punti stazionari, concavità e convessità. Piano tangente e ottimizzazione di funzioni di due variabili.
Program
Integral Calculus
Definition of antiderivative and integral of a function.
Integrals of elementary functions.
Integration by substitution, Integration by parts, integrals of ratio of polynomials.
Construction of the Riemann Integral. Properties of Riemann Integral, Definite integral, Fundamental Theorem of Calculus (FTC) with proof. Applications of the FTC.
Computation of areas. Improper Integrals. Mean Value Theorem.
Linear Algebra
Matrices and Vectors: definitions, operations with matrices and vectors (sum, subtraction, multiplication by a real number, transpose, inner product). Geometric interpretation of vectors. Linear combination of vectors. Any vector in R^n is a linear combination of standard vectors (with proof).
Matrix-vector product, product between matrices, Properties of the matrix product. Matrix product is not commutative: examples. Definition of the inverse of a matrix.
Theorem: the inverse of a matrix is unique (with proof). Inverse of a 2x2 matrix. Determinant of a matrix (cofactor expansion by row and by column). Properties of determinants. Theorem: A matrix is invertible iff its determinant is not equal to zero. Properties of the inverse of a matrix (with proof). The cofactor matrix. Computation of the inverse of a matrix. Special matrices: Diagonal and Triangular matrices.
Definition of a linear equation and a system of linear equations. Matrix-vector expression for a system of linear equations. Definition of the solution of a system of linear equations. Consistent and Inconsisten systems. Theorem: A homogeneous system is always consistent (with proof). Elementary Row operations and the Gauss Elimination Algorithm. Row Echelon Form, consistency and inconsistency of a system.
Linear dependence and linear independence of vectors.
Rank of a matrix. Methods for computing the rank of a matrix: Gauss Elimination algorithm and Kronecker Theorem.
Proposition: Given a set of vectors v_1, ..., v_n in R^k and a vector b in R^k which is a linear combination of vectors v_1, ..., v_n, then the matrix V and the matrix tilde V have the same rank. (with proof). Rouché-Capelli Theorem (Statement and interpretation). Parametric systems.
Geometric interpretation of the solutions of a linear system; cartesian and parametric equation of a line through two points, and through a point in a direction v; parametric equation of a plane through a point and parallelt to two vectors, point-normal equation of a plane in R^3. Eigenvalues and Eigenvectors definition, computation.
Optimization
Functions of two variables: domain, level curves, partial derivatives, gradient. Stationary points. Hessian matrix, concavity, convexity. Tangent plane, Optimization of functions of two variables.
Testi Adottati
Lorenzo Peccati, Sandro Salsa, Annamaria Squellati. Mathematics for economic business.
Books
Lorenzo Peccati, Sandro Salsa, Annamaria Squellati. Mathematics for economic business.
Bibliografia
Knut Sydsæter, Peter Hammond, Arne StrØm, Essential Mathematics for Economic Analysis
Carl P. Simon, Lawrence Blume, Mathematics for Economists
Bibliography
Knut Sydsæter, Peter Hammond, Arne StrØm, Essential Mathematics for Economic Analysis
Carl P. Simon, Lawrence Blume, Mathematics for Economists
Modalità di svolgimento
Lezioni frontali ed esercitazioni
Teaching methods
Theoretical lectures and exercise classes
Regolamento Esame
Mathematics è un corso unico organizzato in due moduli e dunque dopo l'esame finale verrà registrato un solo voto.
La prova scritta è formata da una serie di esercizi e domande teoriche sul programma analizzato durante in corso.
L'esame si ritiene superato se lo studente ottiene una votazione di almeno 18/30.
Ogni voto verrà registrato, inclusa la bocciatura.
E' possibile rifiutare un voto maggiore o uguale a 18/30 una sola volta e ripetere l'esame. In tal caso, al secondo tentativo il voto viene registrato.
Exam Rules
Mathematics is a single corse split in two modules. After the final exam only one grade will be registered.
The exam consists of a set of exercises and theoretical questions on the material covered during the course.
The exam is passed if the mark is grater than or equal to 18/30.
Every result of the exam will be registered, including "fail". Students are allowed to reject a mark greater or equal to 18 only once and re-take the exam. In the case, at the second time the grade will be registered.
Prof.ssa Lucia Leonelli
