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Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI:
Conoscenza e comprensione dei principi di base utili per una profonda comprensione dei principali concetti di analisi matematica, relativi, allo studio di successioni, serie numeriche e funzioni in una variabile. L'obiettivo è quello di applicare le nozioni di base dell'analisi matematica alla modellizzazione economica con un approccio rigoroso.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE:
Il corso sviluppa argomenti base di analisi matematica. Fornisce conoscenze di base sulla modellistica in campo economico e per la matematica finanziaria.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE:
La struttura del corso consiste in una parte teorica (definizioni e teoremi con relative dimostrazioni), e nella discussione di esempi utili per la teoria economica, integrati da esercitazioni pratiche di importanza fondamentale, in cui vengono sviluppati metodi concreti per la soluzione di problemi base di analisi matematica e algebra lineare. La comprensione delle dimostrazioni permette allo studente di affrontare diversi tipi di problemi di moderata difficoltà, nel campo della modellizzazione economica e nella comprensione, basata su metodi quantitativi, dei fenomeni sociali.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Il corso prevede la dimostrazione di teoremi e di proprietà analitiche. Questa peculiarità permette agli studenti di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni, di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti errati o lacunosi. La discussione di vari esempi in ambito economico permetterà agli studenti di individuare le caratteristiche fondamentali di una ragionevole modellizzazione matematica dei fenomeni economici e sociali.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Per superare l'esame scritto lo studente deve sviluppare il necessario rigore scientifico richiesto per descrivere la soluzione analitica di un problema. Il corso fornisce dunque alcuni strumenti necessari per comunicare con rigore risultati scientifici nell'ambito delle scienze sociali.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO:
Il corso fornisce strumenti basilari per lo sviluppo di studi ulteriori, sia in Matematica sia in Economia. Lo studio teorico fornisce la capacità di affrontare autonomamente nuovi problemi di media difficoltà.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
Knowledge and understanding of the basic principles useful for a deep comprehension of the main concepts of mathematical analysis, particularly related to sequences, series and functions of one variable. The objective is to apply basic notions on mathematical analysis to economic modelling with a rigorous approach.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The course develops basic topics of mathematical analysis. It provides basic knowledge of economic modeling and financial mathematics.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING:
The structure of the course consists of a theoretical part (definitions and theorems with proofs), the discussion of useful examples for economic theory, supplemented by fundamental practical exercises in which concrete methods are developed for the solution of basic problems in mathematical analysis and linear algebra. The understanding of proofs allows students to have the right approach for facing different types of problems of moderate difficulty, in the field of economic modeling and in the understanding, based on quantitative methods, of social phenomena.
MAKING JUDGEMENTS:
The course includes proofs of theorems and analytic properties. This aspect allows students to construct and develop logical arguments with a clear identification of assumptions and conclusions, to recognize correct proofs, and to identify incorrect or incomplete reasoning. Various examples of applications to economic models are also studied, which enable students to propose and analyze mathematical models useful for social sciences.
COMMUNICATION SKILLS:
To succeed the written exam the student must develop the necessary scientific rigor required to describe the analytical solution of a problem. The course therefore provides some tools needed to communicate, rigorously, scientific results in the social sciences.
LEARNING SKILLS:
The course provides basic tools for the development of further studies, both in Mathematics and in Economics. The theoretical study provides the ability to deal independently with new problems of medium difficulty.
Prerequisiti
Tutto il materiale studiato nel modulo Mathematics 1.
Prerequisites
All the material covered in Mathematics 1
Programma
Teoria dell'integrazione
Definizione di Primitiva e integrale di una funzione. Integrali di funzioni elementari. Integrazione per sostituzione, per parti e del rapporto di polinomi.
Costruzione dell'integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale di Riemann, Integrale definito, Teorema Fondamentale del Calcolo (con dimostrazione). Applicazioni del TFC
Calcolo di Aree. Integrale Improprio. Teorema del Valore Medio.
Algebra Lineare
Matrici e Vettori: definizione, operazioni con matrici e vettori, interpretazione geometrica di veettori, combinazioni lineari di vettori. Ogni vettore in R^n è una combinazione lineare di vettori standard (con dimostrazione).
Prodotto Matrice-vettore, prodotto tra matrici. Proprietà del prodotto tra matrici. Il prodotto tra matrici non è commutativo (esempi). Inversa di una matrice.
Unicità dell'inversa di una matrice (con dim.) Inversa di una matrice 2x2. Determinante di una matrice (con i cofattori). Proprietà dei determinanti.
Teorma: una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante non è zero. Proprietà dell'inversa (con dimostrazione). Matrice dei cofattori. CAlcolo dell'inversa di una matrice. Matrici speciali: diagonali e triangolari.
Definizione di equazione lineare e sistema di equazioni lineari. Espressione matriciale di un sistema di equazioni lineari. Soluzione di un sistema di equazioni lineari: consistenza, inconsistenza e numero di soluzioni. Teorema: un sistema omogeneo è sempre consistente (con dim.). Operazioni elementari per righe, forma a scalini.
Dipendenza e indipendenza lineare di verrori. Rango di una matrice. Metodi per il calcolo del rango: algoritmo di eliminazione di Gauss e teorema di Kronecker.
Proposizione: Dato un insieme di vettori v_1, ..., v_n in R^k e un vettore b in R^k che è combinazione lineare di v_1, ..., v_n, la matrice V e la matrice tilde V hanno lo stesso rango (con dim). Teorema di Rouché-Capelli (enunciato e interpretazione). Sistemi parametrici.
Interpretazione geometrica delle soluzioni di un sistema lineare; equazione parametrica e cartesiana di una retta per due punti; e per un punto nella direzione v; equazione parametrica del piano per un punto e parallelo a due vettori; equazione point-normal di un piano in R^3. Autovalori e Autovettori di una matrice: definizione e calcolo.
Ottimizzazione di funzioni di due variabili
Funzioni di due variabili: dominio, curve di livello, derivate parziali, gradiente, matrice Hessiana. Punti stazionari, concavità e convessità. Piano tangente e ottimizzazione di funzioni di due variabili.
Program
Integral Calculus
Definition of antiderivative and integral of a function.
Integrals of elementary functions.
Integration by substitution, Integration by parts, integrals of ratio of polynomials.
Construction of the Riemann Integral. Properties of Riemann Integral, Definite integral, Fundamental Theorem of Calculus (FTC) with proof. Applications of the FTC.
Computation of areas. Improper Integrals. Mean Value Theorem.
Linear Algebra
Matrices and Vectors: definitions, operations with matrices and vectors (sum, subtraction, multiplication by a real number, transpose, inner product). Geometric interpretation of vectors. Linear combination of vectors. Any vector in R^n is a linear combination of standard vectors (with proof).
Matrix-vector product, product between matrices, Properties of the matrix product. Matrix product is not commutative: examples. Definition of the inverse of a matrix.
Theorem: the inverse of a matrix is unique (with proof). Inverse of a 2x2 matrix. Determinant of a matrix (cofactor expansion by row and by column). Properties of determinants. Theorem: A matrix is invertible iff its determinant is not equal to zero. Properties of the inverse of a matrix (with proof). The cofactor matrix. Computation of the inverse of a matrix. Special matrices: Diagonal and Triangular matrices.
Definition of a linear equation and a system of linear equations. Matrix-vector expression for a system of linear equations. Definition of the solution of a system of linear equations. Consistent and Inconsisten systems. Theorem: A homogeneous system is always consistent (with proof). Elementary Row operations and the Gauss Elimination Algorithm. Row Echelon Form, consistency and inconsistency of a system.
Linear dependence and linear independence of vectors.
Rank of a matrix. Methods for computing the rank of a matrix: Gauss Elimination algorithm and Kronecker Theorem.
Proposition: Given a set of vectors v_1, ..., v_n in R^k and a vector b in R^k which is a linear combination of vectors v_1, ..., v_n, then the matrix V and the matrix tilde V have the same rank. (with proof). Rouché-Capelli Theorem (Statement and interpretation). Parametric systems.
Geometric interpretation of the solutions of a linear system; cartesian and parametric equation of a line through two points, and through a point in a direction v; parametric equation of a plane through a point and parallelt to two vectors, point-normal equation of a plane in R^3. Eigenvalues and Eigenvectors definition, computation.
Optimization
Functions of two variables: domain, level curves, partial derivatives, gradient. Stationary points. Hessian matrix, concavity, convexity. Tangent plane, Optimization of functions of two variables.
Testi Adottati
Lorenzo Peccati, Sandro Salsa, Annamaria Squellati. Mathematics for economic business.
Books
Lorenzo Peccati, Sandro Salsa, Annamaria Squellati. Mathematics for economic business.
Bibliografia
Knut Sydsæter, Peter Hammond, Arne StrØm, Essential Mathematics for Economic Analysis
Carl P. Simon, Lawrence Blume, Mathematics for Economists
Bibliography
Knut Sydsæter, Peter Hammond, Arne StrØm, Essential Mathematics for Economic Analysis
Carl P. Simon, Lawrence Blume, Mathematics for Economists
Modalità di svolgimento
Lezioni frontali ed esercitazioni
Teaching methods
Theoretical lectures and exercise classes
Regolamento Esame
Mathematics è un corso unico organizzato in due moduli e dunque dopo l'esame finale verrà registrato un solo voto.
La prova scritta è formata da una serie di esercizi e domande teoriche sul programma analizzato durante in corso.
L'esame si ritiene superato se lo studente ottiene una votazione di almeno 18/30.
Ogni voto verrà registrato, inclusa la bocciatura.
E' possibile rifiutare un voto maggiore o uguale a 18/30 una sola volta e ripetere l'esame. In tal caso, al secondo tentativo il voto viene registrato.
Exam Rules
Mathematics is a single corse split in two modules. After the final exam only one grade will be registered.
The exam consists of a set of exercises and theoretical questions on the material covered during the course.
The exam is passed if the mark is grater than or equal to 18/30.
Every result of the exam will be registered, including "fail". Students are allowed to reject a mark greater or equal to 18 only once and re-take the exam. In the case, at the second time the grade will be registered.
Modalità di frequenza
Frequenza facoltativa ma fortemente consigliata
Attendance Rules
Attendance is not compulsory but highly recommended
Prof.ssa Lucia Leonelli
