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Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI: Il corso ha come obiettivo la comprensione approfondita dei principali problemi inferenziali, con particolare riguardo alla teoria della stima e della verifica di ipotesi, per piccoli e grandi campioni , con un approccio sia concettuale sia applicato.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Lo studente apprenderà le principali tecniche di inferenza e avere gli strumenti per valutare la bontà dei vari procedimenti.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Alla fine del corso, lo studente avrà acquisito la capacità di saper formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di verifica di ipotesi)
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: Gli studenti sapranno utilizzare le conoscenze acquisite e
interpretare criticamente dati di natura quantitativa, relativi a fenomeni economici e finanziari.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Gli studenti devono acquisire il linguaggio tecnico della statistica e saper comunicare in modo chiaro e senza ambiguità i concetti appresi.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: Gli studenti alla fine del corso dovranno saper formalizzare e risolvere problemi pratici, dimostrando di poter implementare autonomamente il metodo acquisito.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
The course is designed to provide an in-depth knowledge of the main aspects of statistical inference (point estimation and hypothesis testing), both from a conceptual and a technical point of view. Tecniques for small and large samples will be provided.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING: The student is expected to learn the main inferential tecniques and to acquire the tools to evaluate the goodness of the different methods.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
At the end of the course the student will be able to formalize pratical probelms and solve specific analytical problems such as finding and comparing estimators, comparing different inferential methods and implementing hypotheis testing tecniques.
MAKING JUDGEMENTS:
At the end of the course, the students will be able to apply the knowledge learned and to critically interpret quantitative data related to economic and financial phenomena.
COMMUNICATION SKILLS:
Students will acquire the technical language typical of statistics and be able to comunicate in a clear and unambiguous way the concepts learned during the course.
LEARNING SKILLS:
At the end of the course the students will be able to formalize and to solve pratical problems, showing to be able to implement independently the methods learned.
Prerequisiti
È necessario aver seguito un buon programma sia di matematica sia di statistica a livello di laurea triennale. Gli studenti devono avere familiarità con i concetti di matematica (tra cui la connessione tra funzione esponenziale e logaritmica), calcolo di base (derivate e integrali) concetti elementari di probabilità e statistica (esempio:
statistica descrittiva, variabili aleatorie univariate e multivariate, indipendenza tra variabili aleatorie, distribuzione gaussiana e concetti basi di inferenza)
Prerequisites
The student should have covered the material of a good undergraduate program both in mathematics and in statistics. Students should be comfortable with algebra (including the connection between logarithms and exponents), basic calculus (derivatives and integration), basic concepts of probability and statistics (e.g. descriptive statistics, probability and sample spaces, independence, random variables: univariate and multivariate, Gaussian distribution, basic concept of estimation).
Programma
Il Programma si articola in 3 aree tematiche:
Variabili aleatorie campionarie e Statistiche
Stima puntuale e intervallare
Verifica di ipotesi: criteri e costruzione di test ottimali
In particolare verranno affrontati i seguenti argomenti:
Breve richiamo probabilità
- Variabili aleatorie multiple. Richiamo teoria asintotica
- Campionamento e distribuzioni campionarie
Sufficienza e Principio di verosimiglianza
Inferenza e stima puntuale
-Proprietà degli stimatori per piccoli e grandi campioni
- Errore Quadratico Medio. Stimatori UMVUE
- Metodi di Stima: metodo dei momenti
- Metodo della massima verosimiglianza
- Stimatori di massima verosimiglianza
-Confronto tra stimatori
- Stimatori Bayesiani
Intervalli di confidenza
Verifica di ipotesi Test ottimi.
- Lemma di Neyman-Pearson
- Test del rapporto di verosimiglianza
- Test asintotici:Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
Approccio del p-value alla verifica di ipotesi
- Inferenza Nonparametrica
Program
Topics include: random sampling; principles of data reduction; point estimation; hypothesis
testing; confidence intervals.
In Particular the following topics will be covered::
Brief review of probability:
-Random samples and asymptotic methods
-Sampling and sums of random variables
-Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction: Sufficiency
The Likelihood Principle: the Likelihood Function
Point Estimation
-Methods of Finding Estimators: Methods of Moments,
-Maximum Likelihood Estimators.
-Finite Sample Properties: Unbiasedness and Efficiency.
-Asymptotic Properties: Asymptotic Unbiasedness, Consistency
and Efficiency.
Comparison betweene stimators
Bayesian estimators
-Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
Confidence Intervals
Hypothesis Testing
-Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
-Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
-Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
-The p-value.
Nonparametric Inference
Testi Adottati
Testo richiesto: Casella, George, and Roger L. Berger. Statistical inference. Cengage Learning, 2021.
Books
Required: Casella, George, and Roger L. Berger. Statistical inference. Cengage Learning, 2021.
Bibliografia
Testi consigliati::
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
Bibliography
Suggested texts:
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
Modalità di svolgimento
La frequenza non è obbligatoria ma fortemente consigliata. La partecipazione attiva in classe è fortemente consigliata.
Teaching methods
Not compulsory, but strongly recommended. Active class participation is very much appreciated.
Regolamento Esame
L'esame finale sarà una prova scritta e una prova orale. La prova scritta è composta di esercizi e domande aperte e chiuse di teoria su tutto il programma. Durante il corso gli studenti dovranno risolvere uno o due compiti scritti a casa e ci sarà uno o due test a sorpresa a scelta multipla in aula.
Durante l'esame, si verificherà che lo studente abbia acquisito la capacità di saper formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di verifica di ipotesi). Lo studente sarà valutato per le sue abilità nell'utilizzare le conoscenze acquisite e interpretare criticamente i risultati.
Exam Rules
Final Exam will have a written and an oral part. The written test will consist on exercises and open-ended and multiple choice questions on theory, covering all the program.
During the course students will be ask to solve one or two homework assignments and to
take one o two surprise multiple choice test during the class.
During the exam students are expected to be able to formalize pratical probelms and solve specific analytical problems such as finding and comparing estimators, comparing different inferential methods and implementing hypotheis testing tecniques. The students will be evaluated for the ablitity to apply the knowledge learned and to critically interpret the findings.
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Updated A.Y. 2021-2022
Il corso introduce i principi e gli strumenti fondamentali per l'inferenza statistica. Gli argomenti principali sono: campionamento e statistiche campionarie, sufficienza, stima puntuale con particolare attenzione alla verosimiglianza e stima intervallare, verifica di ipotesi e cenni di statistica non parametrica.
In Particolare:
Richiami di Probabilità,
Statistiche campionarie e teoria asintotica: teorema limite centrale
La sufficienza: famiglia esponenaziale e statistiche sufficienti, teorema di fattorizzazione, principio di vermosimiglianza
La stima puntuale: metodi per trovare gli stumatori: metodo dei momenti, massima verosimiglianza, metodo dei minimi quadrati
Propirietà degli stimatori: consistenza, efficienza, stimatori a minima varianza, informazione di Fisher, Teorema di Cramer Rao
Verifica di ipotesi: Teorema di Neyman Pearson, Funzione di potenza, p-value
Test asintotici: Likelihood Ratio Tests, Score Test e Wald Test,
Cenni di Statistica Bayesiana
Cenni di stima non parametrica: Kolmogorov-Smirnov Test
Updated A.Y. 2021-2022
The course is an introduction to the fundamental principles and tools of statistical inference, i.e. how to draw conclusions from
data subject to random variation. Topics include: random sampling; principles of data reduction; point and interval estimation (likelihood theory); hypothesis testing; con fidence intervals and notes on nonparametric inference.
In Particular:
Brief review of probability
Random samples and asymptotic methods
- Sampling and sums of random variables
- Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction
The Likelihood Principle: the Likelihood Function.
Point Estimation
- Methods of Finding Estimators: Methods of Moments, Maximum Likelihood Estimators
- Evaluation of estimators: Unbiasedness, Consistency, Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
- Confidence Intervals
Hypothesis Testing
- Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
- Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
- Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
- The p-value.
Notes on Bayesian Inference
Non Parametric Inference
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Updated A.Y. 2020-2021
Il corso introduce i principi e gli strumenti fondamentali per l'inferenza statistica. Gli argomenti principali sono: campionamento e statistiche campionarie, sufficienza, stima puntuale con particolare attenzione alla verosimiglianza e stima intervallare, verifica di ipotesi e cenni di statistica non parametrica.
In Particolare:
Richiami di Probabilità,
Statistiche campionarie e teoria asintotica: teorema limite centrale
La sufficienza: famiglia esponenaziale e statistiche sufficienti, teorema di fattorizzazione, principio di vermosimiglianza
La stima puntuale: metodi per trovare gli stumatori: metodo dei momenti, massima verosimiglianza, metodo dei minimi quadrati
Propirietà degli stimatori: consistenza, efficienza, stimatori a minima varianza, informazione di Fisher, Teorema di Cramer Rao
Verifica di ipotesi: Teorema di Neyman Pearson, Funzione di potenza, p-value
Test asintotici: Likelihood Ratio Tests, Score Test e Wald Test,
Cenni di Statistica Bayesiana
Cenni di stima non parametrica: Kolmogorov-Smirnov Test
Updated A.Y. 2020-2021
The course is an introduction to the fundamental principles and tools of statistical inference, i.e. how to draw conclusions from
data subject to random variation. Topics include: random sampling; principles of data reduction; point and interval estimation (likelihood theory); hypothesis testing; con fidence intervals and notes on nonparametric inference.
In Particular:
Brief review of probability
Random samples and asymptotic methods
- Sampling and sums of random variables
- Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction
The Likelihood Principle: the Likelihood Function.
Point Estimation
- Methods of Finding Estimators: Methods of Moments, Maximum Likelihood Estimators
- Evaluation of estimators: Unbiasedness, Consistency, Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
- Confidence Intervals
Hypothesis Testing
- Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
- Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
- Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
- The p-value.
Notes on Bayesian Inference
Non Parametric Inference
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Updated A.Y. 2019-2020
Il corso introduce i principi e gli strumenti fondamentali per l'inferenza statistica. Gli argomenti principali sono: campionamento e statistiche campionarie, sufficienza, stima puntuale con particolare attenzione alla verosimiglianza e stima intervallare, verifica di ipotesi e cenni di statistica non parametrica.
In Particolare:
Richiami di Probabilità,
Statistiche campionarie e teoria asintotica: teorema limite centrale
La sufficienza: famiglia esponenaziale e statistiche sufficienti, teorema di fattorizzazione, principio di vermosimiglianza
La stima puntuale: metodi per trovare gli stumatori: metodo dei momenti, massima verosimiglianza, metodo dei minimi quadrati
Propirietà degli stimatori: consistenza, efficienza, stimatori a minima varianza, informazione di Fisher, Teorema di Cramer Rao
Verifica di ipotesi: Teorema di Neyman Pearson, Funzione di potenza, p-value
Test asintotici: Likelihood Ratio Tests, Score Test e Wald Test,
Cenni di Statistica Bayesiana
Cenni di stima non parametrica: Kolmogorov-Smirnov Test
Updated A.Y. 2019-2020
The course is an introduction to the fundamental principles and tools of statistical inference, i.e. how to draw conclusions from
data subject to random variation. Topics include: random sampling; principles of data reduction; point and interval estimation (likelihood theory); hypothesis testing; con fidence intervals and notes on nonparametric inference.
In Particular:
Brief review of probability
Random samples and asymptotic methods
- Sampling and sums of random variables
- Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction
The Likelihood Principle: the Likelihood Function.
Point Estimation
- Methods of Finding Estimators: Methods of Moments, Maximum Likelihood Estimators
- Evaluation of estimators: Unbiasedness, Consistency, Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
- Confidence Intervals
Hypothesis Testing
- Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
- Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
- Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
- The p-value.
Notes on Bayesian Inference
Non Parametric Inference
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Updated A.Y. 2018-2019
Il corso introduce i principi e gli strumenti fondamentali per l'inferenza statistica. Gli argomenti principali sono: campionamento e statistiche campionarie, sufficienza, stima puntuale con particolare attenzione alla verosimiglianza e stima intervallare, verifica di ipotesi e cenni di statistica non parametrica.
In Particolare:
Richiami di Probabilità,
Statistiche campionarie e teoria asintotica: teorema limite centrale
La sufficienza: famiglia esponenaziale e statistiche sufficienti, teorema di fattorizzazione, principio di vermosimiglianza
La stima puntuale: metodi per trovare gli stumatori: metodo dei momenti, massima verosimiglianza, metodo dei minimi quadrati
Propirietà degli stimatori: consistenza, efficienza, stimatori a minima varianza, informazione di Fisher, Teorema di Cramer Rao
Verifica di ipotesi: Teorema di Neyman Pearson, Funzione di potenza, p-value
Test asintotici: Likelihood Ratio Tests, Score Test e Wald Test,
Cenni di Statistica Bayesiana
Cenni di stima non parametrica: Kolmogorov-Smirnov Test
Updated A.Y. 2018-2019
The course is an introduction to the fundamental principles and tools of statistical inference, i.e. how to draw conclusions from
data subject to random variation. Topics include: random sampling; principles of data reduction; point and interval estimation (likelihood theory); hypothesis testing; con dence intervals and notes on nonparametric inference.
In Particular:
Brief review of probability
Random samples and asymptotic methods
-
Sampling and sums of random variables
-
Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction
The Likelihood Principle: the Likelihood Function.
Point Estimation
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Methods of Finding Estimators: Methods of Moments, Maximum Likelihood Estimators
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Evaluation of estimators: Unbiasedness, Consistency, Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
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Confidence Intervals
Hypothesis Testing
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Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
-
Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
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Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
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The p-value.
Notes on Bayesian Inference
Non Parametric Inference
EN
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Updated A.Y. 2017-2018
Il corso introduce i principi e gli strumenti fondamentali per l'inferenza statistica. Gli argomenti principali sono: campionamento e statistiche campionarie, sufficienza, stima puntuale con particolare attenzione alla verosimiglianza e stima intervallare, verifica di ipotesi e cenni di statistica non parametrica.
In Particolare:
Richiami di Probabilità,
Statistiche campionarie e teoria asintotica: teorema limite centrale
La sufficienza: famiglia esponenaziale e statistiche sufficienti, statistiche sufficienti minimale, teorema di fattorizzazione, principio di vermosimiglianza
La stima puntuale: metodi per trovare gli stumatori: metodo dei momenti, massima verosimiglianza
Propirietà degli stimatori: consistenza, efficienza, stimatori a minima varianza, informazione di Fisher, Teorema di Cramer Rao
Verifica di ipotesi: Teorema di Neyman Pearson, Likelihood Ratio Tests, Score Test e Wald Test, Funzione di potenza, p-value
Cenni di Statistica Bayesiana
Cenni di stima non parametrica: Kolmogorov-Smirnov Test
Updated A.Y. 2017-2018
The course is an introduction to the fundamental principles and tools of statistical inference, i.e. how to draw conclusions from
data subject to random variation. Topics include: random sampling; principles of data reduction; point and interval estimation (likelihood theory); hypothesis testing; con dence intervals and nonparametric inference.
In Particular:
Brief review of probability
Random samples and asymptotic methods
-
Sampling and sums of random variables
-
Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction
The Likelihood Principle: the Likelihood Function.
Point Estimation
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Methods of Finding Estimators: Methods of Moments, Maximum Likelihood Estimators
-
Evaluation of estimators: Unbiasedness, Consistency, Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
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Confidence Intervals
Hypothesis Testing
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Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
-
Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
-
Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
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The p-value.
Notes on Bayesian Inference
Non Parametric Inference
EN
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Updated A.Y. 2016-2017
Il corso introduce i principi e gli strumenti fondamentali per l'inferenza statistica. Gli argomenti principali sono: campionamento e statistiche campionarie, sufficienza, stima puntuale con particolare attenzione alla verosimiglianza e stima intervallare, verifica di ipotesi e cenni di statistica non parametrica.
In Particolare:
Richiami di Probabilità,
Statistiche campionarie e teoria asintotica: teorema limite centrale
La sufficienza: famiglia esponenaziale e statistiche sufficienti, statistiche sufficienti minimale, teorema di fattorizzazione, principio di vermosimiglianza
La stima puntuale: metodi per trovare gli stumatori: metodo dei momenti, massima verosimiglianza
Propirietà degli stimatori: consistenza, efficienza, stimatori a minima varianza, informazione di Fisher, Teorema di Cramer Rao
Verifica di ipotesi: Teorema di Neyman Pearson, Likelihood Ratio Tests, Score Test e Wald Test, Funzione di potenza, p-value
Cenni di Statistica Bayesiana
Cenni di stima non parametrica: Kolmogorov-Smirnov Test
Updated A.Y. 2016-2017
The course is an introduction to the fundamental principles and tools of statistical inference, i.e. how to draw conclusions from
data subject to random variation. Topics include: random sampling; principles of data reduction; point and interval estimation (likelihood theory); hypothesis testing; con dence intervals and nonparametric inference.
In Particular:
Brief review of probability
Random samples and asymptotic methods
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Sampling and sums of random variables
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Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction
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The Sufficiency Principle
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Exponential family and Suciency.
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Minimal Sucient Statistics.
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Factorization theorem
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The Likelihood Principle: the Likelihood Function.
Point Estimation
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Methods of Finding Estimators: Methods of Moments, Maximum Likelihood Estimators
-
Evaluation of estimators: Unbiasedness, Consistency, Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
-
Confidence Intervals
Hypothesis Testing
-
Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
-
Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
-
Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
-
The p-value.
Notes on Bayesian Inference
Non Parametric Inference
