STATISTICS
Syllabus
EN
IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI: Il corso si propone di fornire una comprensione approfondita dei principali problemi inferenziali, con particolare riferimento alla teoria della stima e alla verifica delle ipotesi, sia per piccoli sia per grandi campioni, adottando un approccio integrato di tipo teorico e applicato.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Gli studenti e le studentesse acquisiranno le principali tecniche di inferenza statistica e gli strumenti necessari per valutarne criticamente l'efficacia e l’'ambito di applicazione.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Al termine del corso, gli studenti e le studentesse saranno in grado di applicare le conoscenze acquisite alla formalizzazione di problemi pratici e alla risoluzione di quesiti analitici. In particolare, saranno in grado di determinare e confrontare stimatori, valutare metodi inferenziali alternativi e implementare procedure di verifica delle ipotesi.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: Gli studenti e le studentesse svilupperanno la capacità di utilizzare in modo autonomo gli strumenti statistici appresi e di interpretare criticamente dati quantitativi, con riferimento a fenomeni economici e finanziari.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Gli studenti e le studentesse saranno in grado di utilizzare il linguaggio tecnico della statistica e di comunicare in modo chiaro, rigoroso e privo di ambiguità i risultati e i concetti appresi.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: Al termine del corso, gli studenti e le studentesse avranno sviluppato competenze che consentiranno loro di approfondire in modo autonomo tematiche avanzate di inferenza statistica.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Gli studenti e le studentesse acquisiranno le principali tecniche di inferenza statistica e gli strumenti necessari per valutarne criticamente l'efficacia e l’'ambito di applicazione.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Al termine del corso, gli studenti e le studentesse saranno in grado di applicare le conoscenze acquisite alla formalizzazione di problemi pratici e alla risoluzione di quesiti analitici. In particolare, saranno in grado di determinare e confrontare stimatori, valutare metodi inferenziali alternativi e implementare procedure di verifica delle ipotesi.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: Gli studenti e le studentesse svilupperanno la capacità di utilizzare in modo autonomo gli strumenti statistici appresi e di interpretare criticamente dati quantitativi, con riferimento a fenomeni economici e finanziari.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Gli studenti e le studentesse saranno in grado di utilizzare il linguaggio tecnico della statistica e di comunicare in modo chiaro, rigoroso e privo di ambiguità i risultati e i concetti appresi.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: Al termine del corso, gli studenti e le studentesse avranno sviluppato competenze che consentiranno loro di approfondire in modo autonomo tematiche avanzate di inferenza statistica.
Learning Objectives
LEARNING OBJECTIVES
The course aims to provide an in-depth understanding of the main inferential problems, with particular reference to estimation theory and hypothesis testing, for both small and large samples, adopting an integrated theoretical and applied approach.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
Students will acquire the main statistical inference techniques and the necessary tools to critically assess their effectiveness and scope of application.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
By the end of the course, students will be able to apply the acquired knowledge to the formulation of practical problems and the solution of analytical questions. In particular, they will be able to determine and compare estimators, evaluate alternative inferential methods, and implement hypothesis testing procedures.
MAKING JUDGEMENTS
Students will develop the ability to independently use the statistical tools acquired and to critically interpret quantitative data, with reference to economic and financial phenomena.
COMMUNICATION SKILLS
Students will be able to use the technical language of statistics and to communicate results and concepts clearly, rigorously, and without ambiguity.
LEARNING SKILLS
By the end of the course, students will have developed the skills necessary to independently deepen their knowledge of advanced topics in statistical inference.
The course aims to provide an in-depth understanding of the main inferential problems, with particular reference to estimation theory and hypothesis testing, for both small and large samples, adopting an integrated theoretical and applied approach.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
Students will acquire the main statistical inference techniques and the necessary tools to critically assess their effectiveness and scope of application.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
By the end of the course, students will be able to apply the acquired knowledge to the formulation of practical problems and the solution of analytical questions. In particular, they will be able to determine and compare estimators, evaluate alternative inferential methods, and implement hypothesis testing procedures.
MAKING JUDGEMENTS
Students will develop the ability to independently use the statistical tools acquired and to critically interpret quantitative data, with reference to economic and financial phenomena.
COMMUNICATION SKILLS
Students will be able to use the technical language of statistics and to communicate results and concepts clearly, rigorously, and without ambiguity.
LEARNING SKILLS
By the end of the course, students will have developed the skills necessary to independently deepen their knowledge of advanced topics in statistical inference.
Prerequisiti
Gli studenti e le studentesse devono avere familiarità con i concetti di matematica (tra cui la connessione tra funzione esponenziale e logaritmica), calcolo di base (derivate, integrali e studio di funzioni), concetti elementari di probabilità e statistica (esempio: statistica descrittiva, variabili aleatorie univariate e multivariate, indipendenza tra variabili aleatorie, distribuzione gaussiana e concetti basi di inferenza)
Testi consigliati:
Simon, C. P., & Blume, L. (1994). Mathematics for economists. New York: Norton.
Mood, A. M., Graybill, F. A., & Boes, D. C. (2007). Introduction to the Theory of Statistics,
3rd Edn. McGraw-Hill
Testi consigliati:
Simon, C. P., & Blume, L. (1994). Mathematics for economists. New York: Norton.
Mood, A. M., Graybill, F. A., & Boes, D. C. (2007). Introduction to the Theory of Statistics,
3rd Edn. McGraw-Hill
Prerequisites
Students should be familiar with mathematical concepts (including the connection between exponential and logarithmic functions), basic calculus (derivatives, integrals, and function analysis), and elementary concepts of probability and statistics (e.g., descriptive statistics, univariate and multivariate random variables, independence of random variables, Gaussian distribution, and basic concepts of inference).
Suggested Refences:
Simon, C. P., & Blume, L. (1994). Mathematics for economists. New York: Norton.
Mood, A. M., Graybill, F. A., & Boes, D. C. (2007). Introduction to the Theory of Statistics, 3rd Edn. McGraw-Hill
Suggested Refences:
Simon, C. P., & Blume, L. (1994). Mathematics for economists. New York: Norton.
Mood, A. M., Graybill, F. A., & Boes, D. C. (2007). Introduction to the Theory of Statistics, 3rd Edn. McGraw-Hill
Programma
Il Programma si articola in 3 aree tematiche:
Variabili aleatorie campionarie e Statistiche (10 ore)
Stima puntuale e intervallare (16 ore)
Verifica di ipotesi: criteri e costruzione di test ottimali (10 ore)
In particolare verranno affrontati i seguenti argomenti:
- (Breve richiamo probabilità) Variabili aleatorie multiple. Richiamo teoria asintotica (2 ore)
- Campionamento e distribuzioni campionarie (6 ore)
- Sufficienza e Principio di verosimiglianza (2 ore)
Inferenza e stima puntuale
-Proprietà degli stimatori per piccoli e grandi campioni (2 ore)
- Errore Quadratico Medio. Stimatori UMVUE (2 ore)
- Metodi di Stima: metodo dei momenti (2 ore)
- Metodo della massima verosimiglianza (2 ore)
- Stimatori di massima verosimiglianza (2 ore)
-Confronto tra stimatori (2 ore)
- Stimatori Bayesiani (2 ore)
-Intervalli di confidenza (2 ore)
Verifica di ipotesi Test ottimi.
- Lemma di Neyman-Pearson (2 ore)
- Test del rapporto di verosimiglianza(2 ore)
- Test asintotici:Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test(2 ore)
Approccio del p-value alla verifica di ipotesi(2 ore)
- Inferenza Nonparametrica (2 ore)
Variabili aleatorie campionarie e Statistiche (10 ore)
Stima puntuale e intervallare (16 ore)
Verifica di ipotesi: criteri e costruzione di test ottimali (10 ore)
In particolare verranno affrontati i seguenti argomenti:
- (Breve richiamo probabilità) Variabili aleatorie multiple. Richiamo teoria asintotica (2 ore)
- Campionamento e distribuzioni campionarie (6 ore)
- Sufficienza e Principio di verosimiglianza (2 ore)
Inferenza e stima puntuale
-Proprietà degli stimatori per piccoli e grandi campioni (2 ore)
- Errore Quadratico Medio. Stimatori UMVUE (2 ore)
- Metodi di Stima: metodo dei momenti (2 ore)
- Metodo della massima verosimiglianza (2 ore)
- Stimatori di massima verosimiglianza (2 ore)
-Confronto tra stimatori (2 ore)
- Stimatori Bayesiani (2 ore)
-Intervalli di confidenza (2 ore)
Verifica di ipotesi Test ottimi.
- Lemma di Neyman-Pearson (2 ore)
- Test del rapporto di verosimiglianza(2 ore)
- Test asintotici:Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test(2 ore)
Approccio del p-value alla verifica di ipotesi(2 ore)
- Inferenza Nonparametrica (2 ore)
Program
The program is structured into three thematic areas:
1. Sample Random Variables and Statistics (10 hours)
2. Point and Interval Estimation (16 hours)
3. Hypothesis Testing: Criteria and Construction of Optimal Tests (10 hours)
Specifically, the following topics will be covered:
• (Brief Recall of Probability) Multivariate random variables and a review of asymptotic theory (2 hours)
• Sampling and Sampling Distributions (6 hours)
• Sufficiency and Likelihood Principle (2 hours)
Inference and Point Estimation
- Properties of estimators for small and large samples (2 hours)
- Mean Squared Error. UMVUE estimators (2 hours)
- Estimation methods: method of moments (2 hours)
- Maximum likelihood method (2 hours)
- Maximum likelihood estimators (2 hours)
- Comparison of estimators (2 hours)
- Bayesian estimators (2 hours)
- Confidence intervals (2 hours)
Hypothesis Testing: Optimal Tests
• Neyman-Pearson Lemma (2 hours)
• Likelihood Ratio Test (2 hours)
• Asymptotic Tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test (2 hours)
• p-value Approach to Hypothesis Testing (2 hours)
• Nonparametric Inference (2 hours)
1. Sample Random Variables and Statistics (10 hours)
2. Point and Interval Estimation (16 hours)
3. Hypothesis Testing: Criteria and Construction of Optimal Tests (10 hours)
Specifically, the following topics will be covered:
• (Brief Recall of Probability) Multivariate random variables and a review of asymptotic theory (2 hours)
• Sampling and Sampling Distributions (6 hours)
• Sufficiency and Likelihood Principle (2 hours)
Inference and Point Estimation
- Properties of estimators for small and large samples (2 hours)
- Mean Squared Error. UMVUE estimators (2 hours)
- Estimation methods: method of moments (2 hours)
- Maximum likelihood method (2 hours)
- Maximum likelihood estimators (2 hours)
- Comparison of estimators (2 hours)
- Bayesian estimators (2 hours)
- Confidence intervals (2 hours)
Hypothesis Testing: Optimal Tests
• Neyman-Pearson Lemma (2 hours)
• Likelihood Ratio Test (2 hours)
• Asymptotic Tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test (2 hours)
• p-value Approach to Hypothesis Testing (2 hours)
• Nonparametric Inference (2 hours)
Testi Adottati
Testo richiesto: Casella, George, and Roger L. Berger. Statistical inference. Cengage Learning, 2021.
Books
Required: Casella, George, and Roger L. Berger. Statistical inference. Cengage Learning, 2021.
Bibliografia
Testi consigliati:
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
Bibliography
Suggested texts:
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
Modalità di svolgimento
Lezioni e esercitazioni in classe
Teaching methods
Lessons and practices in class
Regolamento Esame
L'esame finale sarà una prova scritta e una discussione della prova scritta. La prova scritta è composta di esercizi e domande aperte e chiuse di teoria su tutto il programma.
Il voto finale è espresso in trentesimi. Le domande di teoria hanno un punteggio fino a 12 punti.
L'esercizio di inferenza, che comprende tutta la teoria della verosimiglianza e la verifica
delle ipotesi, ha un punteggio fino a 12 punti. I restanti 6 punti sono assegnati a esercizi di inferenza che richiedono abilità intuitive, ovvero la capacità di comprendere e risolvere
problemi basandosi su un'analisi rapida e sulla comprensione immediata dei concetti.
Durante il corso, gli studenti e le studentesse potranno svolgere uno o due compiti a casa e uno o due test a sorpresa a risposta multipla in aula; tali attività potranno contribuire fino a 2 punti aggiuntivi al voto finale, a condizione che l'esame sia sostenuto nella sessione invernale.
Durante l’esame si verificherà che gli studenti e le studentesse abbiano acquisito la capacità di formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad esempio: determinare e confrontare stimatori, valutare metodi inferenziali alternativi e implementare procedure di verifica delle ipotesi).
Gli studenti e le studentesse saranno inoltre valutati per la loro capacità di utilizzare le conoscenze acquisite e di interpretare criticamente i risultati.
Lo studente o la studentessa risulterà-
non idoneo/a: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e
comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi,
frequenti generalizzazioni.
o 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con
possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio
sufficienti.
o 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di
analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
o 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità
di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
o 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli
capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
o 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti.
Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio.
Argomentazioni espresse in modo originale.
Il voto finale è espresso in trentesimi. Le domande di teoria hanno un punteggio fino a 12 punti.
L'esercizio di inferenza, che comprende tutta la teoria della verosimiglianza e la verifica
delle ipotesi, ha un punteggio fino a 12 punti. I restanti 6 punti sono assegnati a esercizi di inferenza che richiedono abilità intuitive, ovvero la capacità di comprendere e risolvere
problemi basandosi su un'analisi rapida e sulla comprensione immediata dei concetti.
Durante il corso, gli studenti e le studentesse potranno svolgere uno o due compiti a casa e uno o due test a sorpresa a risposta multipla in aula; tali attività potranno contribuire fino a 2 punti aggiuntivi al voto finale, a condizione che l'esame sia sostenuto nella sessione invernale.
Durante l’esame si verificherà che gli studenti e le studentesse abbiano acquisito la capacità di formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad esempio: determinare e confrontare stimatori, valutare metodi inferenziali alternativi e implementare procedure di verifica delle ipotesi).
Gli studenti e le studentesse saranno inoltre valutati per la loro capacità di utilizzare le conoscenze acquisite e di interpretare criticamente i risultati.
Lo studente o la studentessa risulterà-
non idoneo/a: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e
comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi,
frequenti generalizzazioni.
o 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con
possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio
sufficienti.
o 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di
analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
o 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità
di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
o 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli
capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
o 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti.
Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio.
Argomentazioni espresse in modo originale.
Exam Rules
The final exam consists of a written test and a discussion of the written test. The written test includes exercises as well as open-ended and multiple-choice theoretical questions covering the entire syllabus.
The final grade is expressed on a 30-point scale. The theoretical questions account for up to 12 points. The main inference exercise, which covers likelihood theory and hypothesis testing, accounts for up to 12 points. The remaining 6 points are assigned to inference exercises that require intuitive reasoning skills, namely the ability to understand and solve problems based on rapid analysis and immediate comprehension of the underlying concepts.
During the course, students may complete one or two take-home assignments and one or two unannounced multiple-choice quizzes in class; these activities may contribute up to 2 additional points to the final grade, provided that the exam is taken in the winter session.
During the exam, it will be assessed whether students have acquired the ability to formalize practical problems and to solve specific analytical questions (e.g., determining and comparing estimators, evaluating alternative inferential methods, and implementing hypothesis testing procedures).
Students will also be evaluated on their ability to use the knowledge acquired and to critically interpret the results.
Final grading criteria:
o Fail: major deficiencies and/or inaccuracies in knowledge and
understanding of topics; limited ability to analyze and synthesize; frequent
generalizations.
o 18-20: Minimum passing level of knowledge and understanding of topics with
possible imperfections; Sufficient ability to analyze and synthesize, with limited independent judgment.
o 21-23: Routine knowledge and understanding of topics; Correct analysis and
synthesis skills with coherent logical argumentation.
o 24-26: Fair knowledge and understanding of topics; Good analytical and
synthesis skills with rigorously expressed arguments.
o 27-29: Comprehensive knowledge and understanding of topics; Strong analytical and synthesis skills. Good independent judgment.
o 30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of topics.
Remarkable analytical and synthesis skills and independent judgment.
Arguments expressed in an original way.
The final grade is expressed on a 30-point scale. The theoretical questions account for up to 12 points. The main inference exercise, which covers likelihood theory and hypothesis testing, accounts for up to 12 points. The remaining 6 points are assigned to inference exercises that require intuitive reasoning skills, namely the ability to understand and solve problems based on rapid analysis and immediate comprehension of the underlying concepts.
During the course, students may complete one or two take-home assignments and one or two unannounced multiple-choice quizzes in class; these activities may contribute up to 2 additional points to the final grade, provided that the exam is taken in the winter session.
During the exam, it will be assessed whether students have acquired the ability to formalize practical problems and to solve specific analytical questions (e.g., determining and comparing estimators, evaluating alternative inferential methods, and implementing hypothesis testing procedures).
Students will also be evaluated on their ability to use the knowledge acquired and to critically interpret the results.
Final grading criteria:
o Fail: major deficiencies and/or inaccuracies in knowledge and
understanding of topics; limited ability to analyze and synthesize; frequent
generalizations.
o 18-20: Minimum passing level of knowledge and understanding of topics with
possible imperfections; Sufficient ability to analyze and synthesize, with limited independent judgment.
o 21-23: Routine knowledge and understanding of topics; Correct analysis and
synthesis skills with coherent logical argumentation.
o 24-26: Fair knowledge and understanding of topics; Good analytical and
synthesis skills with rigorously expressed arguments.
o 27-29: Comprehensive knowledge and understanding of topics; Strong analytical and synthesis skills. Good independent judgment.
o 30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of topics.
Remarkable analytical and synthesis skills and independent judgment.
Arguments expressed in an original way.
Modalità di frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma fortemente consigliata. La partecipazione attiva in classe è fortemente consigliata.
Attendance Rules
Not compulsory, but strongly recommended. Active class participation is strongly encouraged.
EN
IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI: Il corso ha come obiettivo la comprensione approfondita dei principali problemi inferenziali, con particolare riguardo alla teoria della stima e della verifica di ipotesi, per piccoli e grandi campioni , con un approccio sia concettuale sia applicato.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Lo studente apprenderà le principali tecniche di inferenza e avere gli strumenti per valutare la bontà dei vari procedimenti.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Alla fine del corso, lo studente avrà acquisito la capacità di saper formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di verifica di ipotesi)
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: Gli studenti sapranno utilizzare le conoscenze acquisite e
interpretare criticamente dati di natura quantitativa, relativi a fenomeni economici e finanziari.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Gli studenti devono acquisire il linguaggio tecnico della statistica e saper comunicare in modo chiaro e senza ambiguità i concetti appresi.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: Gli studenti alla fine del corso dovranno saper formalizzare e risolvere problemi pratici, dimostrando di poter implementare autonomamente il metodo acquisito.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Lo studente apprenderà le principali tecniche di inferenza e avere gli strumenti per valutare la bontà dei vari procedimenti.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Alla fine del corso, lo studente avrà acquisito la capacità di saper formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di verifica di ipotesi)
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: Gli studenti sapranno utilizzare le conoscenze acquisite e
interpretare criticamente dati di natura quantitativa, relativi a fenomeni economici e finanziari.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Gli studenti devono acquisire il linguaggio tecnico della statistica e saper comunicare in modo chiaro e senza ambiguità i concetti appresi.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: Gli studenti alla fine del corso dovranno saper formalizzare e risolvere problemi pratici, dimostrando di poter implementare autonomamente il metodo acquisito.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
The course is designed to provide an in-depth knowledge of the main aspects of statistical inference (point estimation and hypothesis testing), both from a conceptual and a technical point of view. Techniques for small and large samples will be provided.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING: The student is expected to learn the main inferential techniques and to acquire the tools to evaluate the goodness of the different methods.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
At the end of the course the student will be able to formalize practical problems and solve specific analytical problems such as finding and comparing estimators, comparing different inferential methods and implementing hypothesis testing techniques.
MAKING JUDGEMENTS:
At the end of the course, the students will be able to apply the knowledge learned and to critically interpret quantitative data related to economic and financial phenomena.
COMMUNICATION SKILLS:
Students will acquire the technical language typical of statistics and be able to comunicate in a clear and unambiguous way the concepts learned during the course.
LEARNING SKILLS:
At the end of the course the students will be able to formalize and to solve pratical problems, showing to be able to implement independently the methods learned.
The course is designed to provide an in-depth knowledge of the main aspects of statistical inference (point estimation and hypothesis testing), both from a conceptual and a technical point of view. Techniques for small and large samples will be provided.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING: The student is expected to learn the main inferential techniques and to acquire the tools to evaluate the goodness of the different methods.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
At the end of the course the student will be able to formalize practical problems and solve specific analytical problems such as finding and comparing estimators, comparing different inferential methods and implementing hypothesis testing techniques.
MAKING JUDGEMENTS:
At the end of the course, the students will be able to apply the knowledge learned and to critically interpret quantitative data related to economic and financial phenomena.
COMMUNICATION SKILLS:
Students will acquire the technical language typical of statistics and be able to comunicate in a clear and unambiguous way the concepts learned during the course.
LEARNING SKILLS:
At the end of the course the students will be able to formalize and to solve pratical problems, showing to be able to implement independently the methods learned.
Prerequisiti
Gli studenti devono avere familiarità con i concetti di matematica (tra cui la connessione tra
funzione esponenziale e logaritmica), calcolo di base (derivate, integrali e studio di
funzioni), concetti elementari di probabilità e statistica (esempio: statistica descrittiva, variabili aleatorie univariate e multivariate, indipendenza tra variabili aleatorie, distribuzione gaussiana e concetti basi di inferenza)
Testi consigliati:
Simon, C. P., & Blume, L. (1994). Mathematics for economists. New York: Norton.
Mood, A. M., Graybill, F. A., & Boes, D. C. (2007). Introduction to the Theory of Statistics,
3rd Edn. McGraw-Hill
funzione esponenziale e logaritmica), calcolo di base (derivate, integrali e studio di
funzioni), concetti elementari di probabilità e statistica (esempio: statistica descrittiva, variabili aleatorie univariate e multivariate, indipendenza tra variabili aleatorie, distribuzione gaussiana e concetti basi di inferenza)
Testi consigliati:
Simon, C. P., & Blume, L. (1994). Mathematics for economists. New York: Norton.
Mood, A. M., Graybill, F. A., & Boes, D. C. (2007). Introduction to the Theory of Statistics,
3rd Edn. McGraw-Hill
Prerequisites
Students should be familiar with mathematical concepts (including the connection between exponential and logarithmic functions), basic calculus (derivatives, integrals, and function analysis), and elementary concepts of probability and statistics (e.g., descriptive statistics, univariate and multivariate random variables, independence of random variables, Gaussian distribution, and basic concepts of inference).
Suggested Refences;
Simon, C. P., & Blume, L. (1994). Mathematics for economists. New York: Norton.
Mood, A. M., Graybill, F. A., & Boes, D. C. (2007). Introduction to the Theory of Statistics, 3rd Edn. McGraw-Hill
Suggested Refences;
Simon, C. P., & Blume, L. (1994). Mathematics for economists. New York: Norton.
Mood, A. M., Graybill, F. A., & Boes, D. C. (2007). Introduction to the Theory of Statistics, 3rd Edn. McGraw-Hill
Programma
Il Programma si articola in 3 aree tematiche:
Variabili aleatorie campionarie e Statistiche (10 ore)
Stima puntuale e intervallare (16 ore)
Verifica di ipotesi: criteri e costruzione di test ottimali (10 ore)
In particolare verranno affrontati i seguenti argomenti:
Breve richiamo probabilità
- Variabili aleatorie multiple. Richiamo teoria asintotica (2 ore)
- Campionamento e distribuzioni campionarie (6 ore)
- Sufficienza e Principio di verosimiglianza (2 ore)
Inferenza e stima puntuale
-Proprietà degli stimatori per piccoli e grandi campioni (2 ore)
- Errore Quadratico Medio. Stimatori UMVUE (2 ore)
- Metodi di Stima: metodo dei momenti (2 ore)
- Metodo della massima verosimiglianza (2 ore)
- Stimatori di massima verosimiglianza (2 ore)
-Confronto tra stimatori (2 ore)
- Stimatori Bayesiani (2 ore)
-Intervalli di confidenza (2 ore)
Verifica di ipotesi Test ottimi.
- Lemma di Neyman-Pearson (2 ore)
- Test del rapporto di verosimiglianza(2 ore)
- Test asintotici:Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test(2 ore)
Approccio del p-value alla verifica di ipotesi(2 ore)
- Inferenza Nonparametrica (2 ore)
Variabili aleatorie campionarie e Statistiche (10 ore)
Stima puntuale e intervallare (16 ore)
Verifica di ipotesi: criteri e costruzione di test ottimali (10 ore)
In particolare verranno affrontati i seguenti argomenti:
Breve richiamo probabilità
- Variabili aleatorie multiple. Richiamo teoria asintotica (2 ore)
- Campionamento e distribuzioni campionarie (6 ore)
- Sufficienza e Principio di verosimiglianza (2 ore)
Inferenza e stima puntuale
-Proprietà degli stimatori per piccoli e grandi campioni (2 ore)
- Errore Quadratico Medio. Stimatori UMVUE (2 ore)
- Metodi di Stima: metodo dei momenti (2 ore)
- Metodo della massima verosimiglianza (2 ore)
- Stimatori di massima verosimiglianza (2 ore)
-Confronto tra stimatori (2 ore)
- Stimatori Bayesiani (2 ore)
-Intervalli di confidenza (2 ore)
Verifica di ipotesi Test ottimi.
- Lemma di Neyman-Pearson (2 ore)
- Test del rapporto di verosimiglianza(2 ore)
- Test asintotici:Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test(2 ore)
Approccio del p-value alla verifica di ipotesi(2 ore)
- Inferenza Nonparametrica (2 ore)
Program
The program is structured into three thematic areas:
1. Sample Random Variables and Statistics (10 hours)
2. Point and Interval Estimation (16 hours)
3. Hypothesis Testing: Criteria and Construction of Optimal Tests (10 hours)
Specifically, the following topics will be covered:
Brief Recall of Probability
• Multiple Random Variables. Recall of Asymptotic Theory (2 hours)
• Sampling and Sampling Distributions (6 hours)
• Sufficiency and Likelihood Principle (2 hours)
Inference and Point Estimation
• Comparison of Estimators (2 hours)
• Bayesian Estimators (2 hours)
• Confidence Intervals (2 hours)
Hypothesis Testing: Optimal Tests
• Neyman-Pearson Lemma (2 hours)
• Likelihood Ratio Test (2 hours)
• Asymptotic Tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test (2 hours)
• p-value Approach to Hypothesis Testing (2 hours)
• Nonparametric Inference (2 hours)
1. Sample Random Variables and Statistics (10 hours)
2. Point and Interval Estimation (16 hours)
3. Hypothesis Testing: Criteria and Construction of Optimal Tests (10 hours)
Specifically, the following topics will be covered:
Brief Recall of Probability
• Multiple Random Variables. Recall of Asymptotic Theory (2 hours)
• Sampling and Sampling Distributions (6 hours)
• Sufficiency and Likelihood Principle (2 hours)
Inference and Point Estimation
• Comparison of Estimators (2 hours)
• Bayesian Estimators (2 hours)
• Confidence Intervals (2 hours)
Hypothesis Testing: Optimal Tests
• Neyman-Pearson Lemma (2 hours)
• Likelihood Ratio Test (2 hours)
• Asymptotic Tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test (2 hours)
• p-value Approach to Hypothesis Testing (2 hours)
• Nonparametric Inference (2 hours)
Testi Adottati
Testo richiesto: Casella, George, and Roger L. Berger. Statistical inference. Cengage Learning, 2021.
Books
Required: Casella, George, and Roger L. Berger. Statistical inference. Cengage Learning, 2021.
Bibliografia
Suggested texts:
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
Bibliography
Testi consigliati::
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
Modalità di svolgimento
Lezioni e esercitazioni in classe.
Teaching methods
Lessons and practices in class.
Regolamento Esame
L'esame finale sarà una prova scritta e una discussione della prova scritta. La prova scritta è composta di esercizi e domande aperte e chiuse di teoria su tutto il programma.
Il voto finale è in trentesimi. Le domande di teoria hanno un punteggio fino a 12 punti.
L’esercizio di inferenza, che comprende tutta la teoria della verosimiglianza e la verifica
delle ipotesi, ha un punteggio fino a 12 punti. I restanti 6 punti sono assegnati a esercizi di inferenza che richiedono abilità intuitive, ovvero la capacità di comprendere e risolvere
problemi basandosi su un'analisi rapida e sulla comprensione immediata dei concetti.
Durante il corso gli studenti dovranno risolvere uno o due compiti scritti a casa e ci sarà
uno o due test a sorpresa a scelta multipla in aula (che potranno incrementare il voto finale di 2 punti se l’esame è sostenuto nella sessione invernale).
Durante l'esame, si verificherà che lo studente abbia acquisito la capacità di saper
formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e
confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di
verifica di ipotesi). Lo studente sarà valutato per le sue abilità nell'utilizzare le conoscenze acquisite e interpretare criticamente i risultati.
Lo studente risulterà-
non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e
comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi,
frequenti generalizzazioni.
o 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con
possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio
sufficienti.
o 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di
analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
o 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità
di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
o 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli
capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
o 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti.
Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio.
Argomentazioni espresse in modo originale.
Il voto finale è in trentesimi. Le domande di teoria hanno un punteggio fino a 12 punti.
L’esercizio di inferenza, che comprende tutta la teoria della verosimiglianza e la verifica
delle ipotesi, ha un punteggio fino a 12 punti. I restanti 6 punti sono assegnati a esercizi di inferenza che richiedono abilità intuitive, ovvero la capacità di comprendere e risolvere
problemi basandosi su un'analisi rapida e sulla comprensione immediata dei concetti.
Durante il corso gli studenti dovranno risolvere uno o due compiti scritti a casa e ci sarà
uno o due test a sorpresa a scelta multipla in aula (che potranno incrementare il voto finale di 2 punti se l’esame è sostenuto nella sessione invernale).
Durante l'esame, si verificherà che lo studente abbia acquisito la capacità di saper
formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e
confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di
verifica di ipotesi). Lo studente sarà valutato per le sue abilità nell'utilizzare le conoscenze acquisite e interpretare criticamente i risultati.
Lo studente risulterà-
non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e
comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi,
frequenti generalizzazioni.
o 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con
possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio
sufficienti.
o 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di
analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
o 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità
di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
o 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli
capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
o 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti.
Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio.
Argomentazioni espresse in modo originale.
Exam Rules
The final exam will consist of a written test and a discussion based on the written test. The written test will include exercises and both open-ended and closed-ended theoretical
questions covering the entire syllabus.
The final grade is on a scale of thirty points. The theoretical questions can earn up to 12
points. The inference exercise, which covers all aspects of likelihood theory and hypothesis testing, can earn up to 12 points. The remaining 6 points are allocated to inference exercises that require intuitive skills, demonstrating the ability to quickly analyze and understand concepts to solve problems.
Throughout the course, students will complete one or two homework assignments, and
there will be one or two surprise multiple-choice quizzes in class (which can increase the
final grade by 2 points if the exam is taken in the winter session).
During the exam, the evaluation will assess whether the student has acquired the ability to formalize practical problems and solve specific analytical questions (e.g., determining and comparing estimators, evaluating different inference methods, implementing hypothesis testing methods). Students will be evaluated on their ability to apply acquired knowledge and critically interpret results.
Grading scale:
o Unsuitable: major deficiencies and/or inaccuracies in knowledge and
understanding of topics; limited ability to analyze and synthesize; frequent
generalizations.
o 18-20: Barely sufficient knowledge and understanding of topics with
possible imperfections; Sufficient ability to analyze synthesis and
independent judgment.
o 21-23: Routine knowledge and understanding of topics; Correct analysis and
synthesis skills with coherent logical argumentation.
o 24-26: Fair knowledge and understanding of topics; Good analytical and
synthesis skills with rigorously expressed arguments.
o 27-29: Comprehensive knowledge and understanding of topics; Remarkable
skills of analysis, synthesis. Good independent judgment.
o 30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of topics.
Remarkable analytical and synthesis skills and independent judgment.
Arguments expressed in an original way.
questions covering the entire syllabus.
The final grade is on a scale of thirty points. The theoretical questions can earn up to 12
points. The inference exercise, which covers all aspects of likelihood theory and hypothesis testing, can earn up to 12 points. The remaining 6 points are allocated to inference exercises that require intuitive skills, demonstrating the ability to quickly analyze and understand concepts to solve problems.
Throughout the course, students will complete one or two homework assignments, and
there will be one or two surprise multiple-choice quizzes in class (which can increase the
final grade by 2 points if the exam is taken in the winter session).
During the exam, the evaluation will assess whether the student has acquired the ability to formalize practical problems and solve specific analytical questions (e.g., determining and comparing estimators, evaluating different inference methods, implementing hypothesis testing methods). Students will be evaluated on their ability to apply acquired knowledge and critically interpret results.
Grading scale:
o Unsuitable: major deficiencies and/or inaccuracies in knowledge and
understanding of topics; limited ability to analyze and synthesize; frequent
generalizations.
o 18-20: Barely sufficient knowledge and understanding of topics with
possible imperfections; Sufficient ability to analyze synthesis and
independent judgment.
o 21-23: Routine knowledge and understanding of topics; Correct analysis and
synthesis skills with coherent logical argumentation.
o 24-26: Fair knowledge and understanding of topics; Good analytical and
synthesis skills with rigorously expressed arguments.
o 27-29: Comprehensive knowledge and understanding of topics; Remarkable
skills of analysis, synthesis. Good independent judgment.
o 30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of topics.
Remarkable analytical and synthesis skills and independent judgment.
Arguments expressed in an original way.
Modalità di frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma fortemente consigliata. La partecipazione attiva in classe è fortemente consigliata.
Attendance Rules
Not compulsory, but strongly recommended. Active class participation is very much appreciated.
EN
IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI: Il corso ha come obiettivo la comprensione approfondita dei principali problemi inferenziali, con particolare riguardo alla teoria della stima e della verifica di ipotesi, per piccoli e grandi campioni , con un approccio sia concettuale sia applicato.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Lo studente apprenderà le principali tecniche di inferenza e avere gli strumenti per valutare la bontà dei vari procedimenti.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Alla fine del corso, lo studente avrà acquisito la capacità di saper formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di verifica di ipotesi)
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: Gli studenti sapranno utilizzare le conoscenze acquisite e
interpretare criticamente dati di natura quantitativa, relativi a fenomeni economici e finanziari.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Gli studenti devono acquisire il linguaggio tecnico della statistica e saper comunicare in modo chiaro e senza ambiguità i concetti appresi.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: Gli studenti alla fine del corso dovranno saper formalizzare e risolvere problemi pratici, dimostrando di poter implementare autonomamente il metodo acquisito.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Lo studente apprenderà le principali tecniche di inferenza e avere gli strumenti per valutare la bontà dei vari procedimenti.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Alla fine del corso, lo studente avrà acquisito la capacità di saper formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di verifica di ipotesi)
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: Gli studenti sapranno utilizzare le conoscenze acquisite e
interpretare criticamente dati di natura quantitativa, relativi a fenomeni economici e finanziari.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Gli studenti devono acquisire il linguaggio tecnico della statistica e saper comunicare in modo chiaro e senza ambiguità i concetti appresi.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: Gli studenti alla fine del corso dovranno saper formalizzare e risolvere problemi pratici, dimostrando di poter implementare autonomamente il metodo acquisito.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
The course is designed to provide an in-depth knowledge of the main aspects of statistical inference (point estimation and hypothesis testing), both from a conceptual and a technical point of view. Techniques for small and large samples will be provided.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING: The student is expected to learn the main inferential techniques and to acquire the tools to evaluate the goodness of the different methods.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
At the end of the course the student will be able to formalize practical problems and solve specific analytical problems such as finding and comparing estimators, comparing different inferential methods and implementing hypothesis testing techniques.
MAKING JUDGEMENTS:
At the end of the course, the students will be able to apply the knowledge learned and to critically interpret quantitative data related to economic and financial phenomena.
COMMUNICATION SKILLS:
Students will acquire the technical language typical of statistics and be able to comunicate in a clear and unambiguous way the concepts learned during the course.
LEARNING SKILLS:
At the end of the course the students will be able to formalize and to solve pratical problems, showing to be able to implement independently the methods learned.
The course is designed to provide an in-depth knowledge of the main aspects of statistical inference (point estimation and hypothesis testing), both from a conceptual and a technical point of view. Techniques for small and large samples will be provided.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING: The student is expected to learn the main inferential techniques and to acquire the tools to evaluate the goodness of the different methods.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
At the end of the course the student will be able to formalize practical problems and solve specific analytical problems such as finding and comparing estimators, comparing different inferential methods and implementing hypothesis testing techniques.
MAKING JUDGEMENTS:
At the end of the course, the students will be able to apply the knowledge learned and to critically interpret quantitative data related to economic and financial phenomena.
COMMUNICATION SKILLS:
Students will acquire the technical language typical of statistics and be able to comunicate in a clear and unambiguous way the concepts learned during the course.
LEARNING SKILLS:
At the end of the course the students will be able to formalize and to solve pratical problems, showing to be able to implement independently the methods learned.
Prerequisiti
Gli studenti devono avere familiarità con i concetti di matematica (tra cui la connessione tra
funzione esponenziale e logaritmica), calcolo di base (derivate, integrali e studio di
funzioni), concetti elementari di probabilità e statistica (esempio: statistica descrittiva,
variabili aleatorie univariate e multivariate, indipendenza tra variabili aleatorie, distribuzione
gaussiana e concetti basi di inferenza)
Testi consigliati:
Simon, C. P., & Blume, L. (1994). Mathematics for economists. New York: Norton.
Mood, A. M., Graybill, F. A., & Boes, D. C. (2007). Introduction to the Theory of Statistics,
3rd Edn. McGraw-Hill
funzione esponenziale e logaritmica), calcolo di base (derivate, integrali e studio di
funzioni), concetti elementari di probabilità e statistica (esempio: statistica descrittiva,
variabili aleatorie univariate e multivariate, indipendenza tra variabili aleatorie, distribuzione
gaussiana e concetti basi di inferenza)
Testi consigliati:
Simon, C. P., & Blume, L. (1994). Mathematics for economists. New York: Norton.
Mood, A. M., Graybill, F. A., & Boes, D. C. (2007). Introduction to the Theory of Statistics,
3rd Edn. McGraw-Hill
Prerequisites
Students should be familiar with mathematical concepts (including the connection between
exponential and logarithmic functions), basic calculus (derivatives, integrals, and function
analysis), and elementary concepts of probability and statistics (e.g., descriptive statistics,
univariate and multivariate random variables, independence of random variables, Gaussian
distribution, and basic concepts of inference).
Suggested Refences;
Simon, C. P., & Blume, L. (1994). Mathematics for economists. New York: Norton.
Mood, A. M., Graybill, F. A., & Boes, D. C. (2007). Introduction to the Theory of Statistics,
3rd Edn. McGraw-Hill
exponential and logarithmic functions), basic calculus (derivatives, integrals, and function
analysis), and elementary concepts of probability and statistics (e.g., descriptive statistics,
univariate and multivariate random variables, independence of random variables, Gaussian
distribution, and basic concepts of inference).
Suggested Refences;
Simon, C. P., & Blume, L. (1994). Mathematics for economists. New York: Norton.
Mood, A. M., Graybill, F. A., & Boes, D. C. (2007). Introduction to the Theory of Statistics,
3rd Edn. McGraw-Hill
Programma
Il Programma si articola in 3 aree tematiche:
Variabili aleatorie campionarie e Statistiche (10 ore)
Stima puntuale e intervallare (16 ore)
Verifica di ipotesi: criteri e costruzione di test ottimali (10 ore)
In particolare verranno affrontati i seguenti argomenti:
Breve richiamo probabilità
- Variabili aleatorie multiple. Richiamo teoria asintotica (2 ore)
- Campionamento e distribuzioni campionarie (6 ore)
- Sufficienza e Principio di verosimiglianza (2 ore)
Inferenza e stima puntuale
-Proprietà degli stimatori per piccoli e grandi campioni (2 ore)
- Errore Quadratico Medio. Stimatori UMVUE (2 ore)
- Metodi di Stima: metodo dei momenti (2 ore)
- Metodo della massima verosimiglianza (2 ore)
- Stimatori di massima verosimiglianza (2 ore)
-Confronto tra stimatori (2 ore)
- Stimatori Bayesiani (2 ore)
-Intervalli di confidenza (2 ore)
Verifica di ipotesi Test ottimi.
- Lemma di Neyman-Pearson (2 ore)
- Test del rapporto di verosimiglianza(2 ore)
- Test asintotici:Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test(2 ore)
Approccio del p-value alla verifica di ipotesi(2 ore)
- Inferenza Nonparametrica (2 ore)
Variabili aleatorie campionarie e Statistiche (10 ore)
Stima puntuale e intervallare (16 ore)
Verifica di ipotesi: criteri e costruzione di test ottimali (10 ore)
In particolare verranno affrontati i seguenti argomenti:
Breve richiamo probabilità
- Variabili aleatorie multiple. Richiamo teoria asintotica (2 ore)
- Campionamento e distribuzioni campionarie (6 ore)
- Sufficienza e Principio di verosimiglianza (2 ore)
Inferenza e stima puntuale
-Proprietà degli stimatori per piccoli e grandi campioni (2 ore)
- Errore Quadratico Medio. Stimatori UMVUE (2 ore)
- Metodi di Stima: metodo dei momenti (2 ore)
- Metodo della massima verosimiglianza (2 ore)
- Stimatori di massima verosimiglianza (2 ore)
-Confronto tra stimatori (2 ore)
- Stimatori Bayesiani (2 ore)
-Intervalli di confidenza (2 ore)
Verifica di ipotesi Test ottimi.
- Lemma di Neyman-Pearson (2 ore)
- Test del rapporto di verosimiglianza(2 ore)
- Test asintotici:Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test(2 ore)
Approccio del p-value alla verifica di ipotesi(2 ore)
- Inferenza Nonparametrica (2 ore)
Program
The program is structured into three thematic areas:
1. Sample Random Variables and Statistics (10 hours)
2. Point and Interval Estimation (16 hours)
3. Hypothesis Testing: Criteria and Construction of Optimal Tests (10 hours)
Specifically, the following topics will be covered:
Brief Recall of Probability
•
Multiple Random Variables. Recall of Asymptotic Theory (2 hours)
•
Sampling and Sampling Distributions (6 hours)
•
Sufficiency and Likelihood Principle (2 hours)
Inference and Point Estimation
•
Comparison of Estimators (2 hours)
•
Bayesian Estimators (2 hours)
•
Confidence Intervals (2 hours)
Hypothesis Testing: Optimal Tests
•
Neyman-Pearson Lemma (2 hours)
•
Likelihood Ratio Test (2 hours)
•
Asymptotic Tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test (2 hours)
•
p-value Approach to Hypothesis Testing (2 hours)
•
Nonparametric Inference (2 hours)
1. Sample Random Variables and Statistics (10 hours)
2. Point and Interval Estimation (16 hours)
3. Hypothesis Testing: Criteria and Construction of Optimal Tests (10 hours)
Specifically, the following topics will be covered:
Brief Recall of Probability
•
Multiple Random Variables. Recall of Asymptotic Theory (2 hours)
•
Sampling and Sampling Distributions (6 hours)
•
Sufficiency and Likelihood Principle (2 hours)
Inference and Point Estimation
•
Comparison of Estimators (2 hours)
•
Bayesian Estimators (2 hours)
•
Confidence Intervals (2 hours)
Hypothesis Testing: Optimal Tests
•
Neyman-Pearson Lemma (2 hours)
•
Likelihood Ratio Test (2 hours)
•
Asymptotic Tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test (2 hours)
•
p-value Approach to Hypothesis Testing (2 hours)
•
Nonparametric Inference (2 hours)
Testi Adottati
Testo richiesto: Casella, George, and Roger L. Berger. Statistical inference. Cengage
Learning, 2021.
Learning, 2021.
Books
Required: Casella, George, and Roger L. Berger. Statistical inference. Cengage Learning,
2021.
2021.
Bibliografia
Suggested texts:
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill
(1974).
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill
(1974).
Bibliography
Testi consigliati::
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill
(1974).
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill
(1974).
Modalità di svolgimento
Lezioni e esercitazioni in classe
Teaching methods
Lessons and practices in class
Regolamento Esame
L'esame finale sarà una prova scritta e una discussione della prova scritta. La prova scritta
è composta di esercizi e domande aperte e chiuse di teoria su tutto il programma.
Il voto finale è in trentesimi. Le domande di teoria hanno un punteggio fino a 12 punti.
L’esercizio di inferenza, che comprende tutta la teoria della verosimiglianza e la verifica
delle ipotesi, ha un punteggio fino a 12 punti. I restanti 6 punti sono assegnati a esercizi di
inferenza che richiedono abilità intuitive, ovvero la capacità di comprendere e risolvere
problemi basandosi su un'analisi rapida e sulla comprensione immediata dei concetti.
Durante il corso gli studenti dovranno risolvere uno o due compiti scritti a casa e ci sarà
uno o due test a sorpresa a scelta multipla in aula (che potranno incrementare il voto finale
di 2 punti se l’esame è sostenuto nella sessione invernale).
Durante l'esame, si verificherà che lo studente abbia acquisito la capacità di saper
formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e
confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di
verifica di ipotesi). Lo studente sarà valutato per le sue abilità nell'utilizzare le conoscenze
acquisite e interpretare criticamente i risultati.
Lo studente risulterà-
non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e
comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi,
frequenti generalizzazioni.
o 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con
possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio
sufficienti.
o 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di
analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
o 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità
di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
o 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli
capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
o 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti.
Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio.
Argomentazioni espresse in modo originale.
è composta di esercizi e domande aperte e chiuse di teoria su tutto il programma.
Il voto finale è in trentesimi. Le domande di teoria hanno un punteggio fino a 12 punti.
L’esercizio di inferenza, che comprende tutta la teoria della verosimiglianza e la verifica
delle ipotesi, ha un punteggio fino a 12 punti. I restanti 6 punti sono assegnati a esercizi di
inferenza che richiedono abilità intuitive, ovvero la capacità di comprendere e risolvere
problemi basandosi su un'analisi rapida e sulla comprensione immediata dei concetti.
Durante il corso gli studenti dovranno risolvere uno o due compiti scritti a casa e ci sarà
uno o due test a sorpresa a scelta multipla in aula (che potranno incrementare il voto finale
di 2 punti se l’esame è sostenuto nella sessione invernale).
Durante l'esame, si verificherà che lo studente abbia acquisito la capacità di saper
formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e
confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di
verifica di ipotesi). Lo studente sarà valutato per le sue abilità nell'utilizzare le conoscenze
acquisite e interpretare criticamente i risultati.
Lo studente risulterà-
non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezze nella conoscenza e
comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi,
frequenti generalizzazioni.
o 18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con
possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio
sufficienti.
o 21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; Capacità di
analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.
o 24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità
di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.
o 27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli
capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.
o 30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti.
Notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio.
Argomentazioni espresse in modo originale.
Exam Rules
The final exam will consist of a written test and a discussion based on the written test. The
written test will include exercises and both open-ended and closed-ended theoretical
questions covering the entire syllabus.
The final grade is on a scale of thirty points. The theoretical questions can earn up to 12
points. The inference exercise, which covers all aspects of likelihood theory and hypothesis
testing, can earn up to 12 points. The remaining 6 points are allocated to inference
exercises that require intuitive skills, demonstrating the ability to quickly analyze and
understand concepts to solve problems.
Throughout the course, students will complete one or two homework assignments, and
there will be one or two surprise multiple-choice quizzes in class (which can increase the
final grade by 2 points if the exam is taken in the winter session).
During the exam, the evaluation will assess whether the student has acquired the ability to
formalize practical problems and solve specific analytical questions (e.g., determining and
comparing estimators, evaluating different inference methods, implementing hypothesis
testing methods). Students will be evaluated on their ability to apply acquired knowledge
and critically interpret results.
Grading scale:
o Unsuitable: major deficiencies and/or inaccuracies in knowledge and
understanding of topics; limited ability to analyze and synthesize; frequent
generalizations.
o 18-20: Barely sufficient knowledge and understanding of topics with
possible imperfections; Sufficient ability to analyze synthesis and
independent judgment.
o 21-23: Routine knowledge and understanding of topics; Correct analysis and
synthesis skills with coherent logical argumentation.
o 24-26: Fair knowledge and understanding of topics; Good analytical and
synthesis skills with rigorously expressed arguments.
o 27-29: Comprehensive knowledge and understanding of topics; Remarkable
skills of analysis, synthesis. Good independent judgment.
o 30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of topics.
Remarkable analytical and synthesis skills and independent judgment.
Arguments expressed in an original way.
written test will include exercises and both open-ended and closed-ended theoretical
questions covering the entire syllabus.
The final grade is on a scale of thirty points. The theoretical questions can earn up to 12
points. The inference exercise, which covers all aspects of likelihood theory and hypothesis
testing, can earn up to 12 points. The remaining 6 points are allocated to inference
exercises that require intuitive skills, demonstrating the ability to quickly analyze and
understand concepts to solve problems.
Throughout the course, students will complete one or two homework assignments, and
there will be one or two surprise multiple-choice quizzes in class (which can increase the
final grade by 2 points if the exam is taken in the winter session).
During the exam, the evaluation will assess whether the student has acquired the ability to
formalize practical problems and solve specific analytical questions (e.g., determining and
comparing estimators, evaluating different inference methods, implementing hypothesis
testing methods). Students will be evaluated on their ability to apply acquired knowledge
and critically interpret results.
Grading scale:
o Unsuitable: major deficiencies and/or inaccuracies in knowledge and
understanding of topics; limited ability to analyze and synthesize; frequent
generalizations.
o 18-20: Barely sufficient knowledge and understanding of topics with
possible imperfections; Sufficient ability to analyze synthesis and
independent judgment.
o 21-23: Routine knowledge and understanding of topics; Correct analysis and
synthesis skills with coherent logical argumentation.
o 24-26: Fair knowledge and understanding of topics; Good analytical and
synthesis skills with rigorously expressed arguments.
o 27-29: Comprehensive knowledge and understanding of topics; Remarkable
skills of analysis, synthesis. Good independent judgment.
o 30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of topics.
Remarkable analytical and synthesis skills and independent judgment.
Arguments expressed in an original way.
Modalità di frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma fortemente consigliata. La partecipazione attiva in
classe è fortemente consigliata.
classe è fortemente consigliata.
Attendance Rules
Not compulsory, but strongly recommended. Active class participation is very much
appreciated.
appreciated.
EN
IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI: Il corso ha come obiettivo la comprensione approfondita dei principali problemi inferenziali, con particolare riguardo alla teoria della stima e della verifica di ipotesi, per piccoli e grandi campioni , con un approccio sia concettuale sia applicato.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Lo studente apprenderà le principali tecniche di inferenza e avere gli strumenti per valutare la bontà dei vari procedimenti.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Alla fine del corso, lo studente avrà acquisito la capacità di saper formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di verifica di ipotesi)
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: Gli studenti sapranno utilizzare le conoscenze acquisite e
interpretare criticamente dati di natura quantitativa, relativi a fenomeni economici e finanziari.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Gli studenti devono acquisire il linguaggio tecnico della statistica e saper comunicare in modo chiaro e senza ambiguità i concetti appresi.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: Gli studenti alla fine del corso dovranno saper formalizzare e risolvere problemi pratici, dimostrando di poter implementare autonomamente il metodo acquisito.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Lo studente apprenderà le principali tecniche di inferenza e avere gli strumenti per valutare la bontà dei vari procedimenti.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Alla fine del corso, lo studente avrà acquisito la capacità di saper formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di verifica di ipotesi)
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: Gli studenti sapranno utilizzare le conoscenze acquisite e
interpretare criticamente dati di natura quantitativa, relativi a fenomeni economici e finanziari.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Gli studenti devono acquisire il linguaggio tecnico della statistica e saper comunicare in modo chiaro e senza ambiguità i concetti appresi.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: Gli studenti alla fine del corso dovranno saper formalizzare e risolvere problemi pratici, dimostrando di poter implementare autonomamente il metodo acquisito.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
The course is designed to provide an in-depth knowledge of the main aspects of statistical inference (point estimation and hypothesis testing), both from a conceptual and a technical point of view. Techniques for small and large samples will be provided.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING: The student is expected to learn the main inferential techniques and to acquire the tools to evaluate the goodness of the different methods.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
At the end of the course the student will be able to formalize practical problems and solve specific analytical problems such as finding and comparing estimators, comparing different inferential methods and implementing hypothesis testing techniques.
MAKING JUDGEMENTS:
At the end of the course, the students will be able to apply the knowledge learned and to critically interpret quantitative data related to economic and financial phenomena.
COMMUNICATION SKILLS:
Students will acquire the technical language typical of statistics and be able to comunicate in a clear and unambiguous way the concepts learned during the course.
LEARNING SKILLS:
At the end of the course the students will be able to formalize and to solve pratical problems, showing to be able to implement independently the methods learned.
The course is designed to provide an in-depth knowledge of the main aspects of statistical inference (point estimation and hypothesis testing), both from a conceptual and a technical point of view. Techniques for small and large samples will be provided.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING: The student is expected to learn the main inferential techniques and to acquire the tools to evaluate the goodness of the different methods.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
At the end of the course the student will be able to formalize practical problems and solve specific analytical problems such as finding and comparing estimators, comparing different inferential methods and implementing hypothesis testing techniques.
MAKING JUDGEMENTS:
At the end of the course, the students will be able to apply the knowledge learned and to critically interpret quantitative data related to economic and financial phenomena.
COMMUNICATION SKILLS:
Students will acquire the technical language typical of statistics and be able to comunicate in a clear and unambiguous way the concepts learned during the course.
LEARNING SKILLS:
At the end of the course the students will be able to formalize and to solve pratical problems, showing to be able to implement independently the methods learned.
Prerequisiti
È necessario aver seguito un buon programma sia di matematica sia di statistica a livello di laurea triennale. Gli studenti devono avere familiarità con i concetti di matematica (tra cui la connessione tra funzione esponenziale e logaritmica), calcolo di base (derivate e integrali) concetti elementari di probabilità e statistica (esempio:
statistica descrittiva, variabili aleatorie univariate e multivariate, indipendenza tra variabili aleatorie, distribuzione gaussiana e concetti basi di inferenza)
statistica descrittiva, variabili aleatorie univariate e multivariate, indipendenza tra variabili aleatorie, distribuzione gaussiana e concetti basi di inferenza)
Prerequisites
The student should have covered the material of a good undergraduate program both in mathematics and in statistics. Students should be comfortable with algebra (including the connection between logarithms and exponents), basic calculus (derivatives and integration), basic concepts of probability and statistics (e.g. descriptive statistics, probability and sample spaces, independence, random variables: univariate and multivariate, Gaussian distribution, basic concept of estimation).
Programma
Il Programma si articola in 3 aree tematiche:
Variabili aleatorie campionarie e Statistiche
Stima puntuale e intervallare
Verifica di ipotesi: criteri e costruzione di test ottimali
In particolare verranno affrontati i seguenti argomenti:
Breve richiamo probabilità
- Variabili aleatorie multiple. Richiamo teoria asintotica
- Campionamento e distribuzioni campionarie
Sufficienza e Principio di verosimiglianza
Inferenza e stima puntuale
-Proprietà degli stimatori per piccoli e grandi campioni
- Errore Quadratico Medio. Stimatori UMVUE
- Metodi di Stima: metodo dei momenti
- Metodo della massima verosimiglianza
- Stimatori di massima verosimiglianza
-Confronto tra stimatori
- Stimatori Bayesiani
Intervalli di confidenza
Verifica di ipotesi Test ottimi.
- Lemma di Neyman-Pearson
- Test del rapporto di verosimiglianza
- Test asintotici:Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
Approccio del p-value alla verifica di ipotesi
- Inferenza Nonparametrica
Variabili aleatorie campionarie e Statistiche
Stima puntuale e intervallare
Verifica di ipotesi: criteri e costruzione di test ottimali
In particolare verranno affrontati i seguenti argomenti:
Breve richiamo probabilità
- Variabili aleatorie multiple. Richiamo teoria asintotica
- Campionamento e distribuzioni campionarie
Sufficienza e Principio di verosimiglianza
Inferenza e stima puntuale
-Proprietà degli stimatori per piccoli e grandi campioni
- Errore Quadratico Medio. Stimatori UMVUE
- Metodi di Stima: metodo dei momenti
- Metodo della massima verosimiglianza
- Stimatori di massima verosimiglianza
-Confronto tra stimatori
- Stimatori Bayesiani
Intervalli di confidenza
Verifica di ipotesi Test ottimi.
- Lemma di Neyman-Pearson
- Test del rapporto di verosimiglianza
- Test asintotici:Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
Approccio del p-value alla verifica di ipotesi
- Inferenza Nonparametrica
Program
Topics include: random sampling; principles of data reduction; point estimation; hypothesis
testing; confidence intervals.
In Particular the following topics will be covered::
Brief review of probability:
-Random samples and asymptotic methods
-Sampling and sums of random variables
-Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction: Sufficiency
The Likelihood Principle: the Likelihood Function
Point Estimation
-Methods of Finding Estimators: Methods of Moments,
-Maximum Likelihood Estimators.
-Finite Sample Properties: Unbiasedness and Efficiency.
-Asymptotic Properties: Asymptotic Unbiasedness, Consistency
and Efficiency.
Comparison betweene stimators
Bayesian estimators
-Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
Confidence Intervals
Hypothesis Testing
-Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
-Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
-Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
-The p-value.
Nonparametric Inference
testing; confidence intervals.
In Particular the following topics will be covered::
Brief review of probability:
-Random samples and asymptotic methods
-Sampling and sums of random variables
-Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction: Sufficiency
The Likelihood Principle: the Likelihood Function
Point Estimation
-Methods of Finding Estimators: Methods of Moments,
-Maximum Likelihood Estimators.
-Finite Sample Properties: Unbiasedness and Efficiency.
-Asymptotic Properties: Asymptotic Unbiasedness, Consistency
and Efficiency.
Comparison betweene stimators
Bayesian estimators
-Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
Confidence Intervals
Hypothesis Testing
-Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
-Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
-Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
-The p-value.
Nonparametric Inference
Testi Adottati
Testo richiesto: Casella, George, and Roger L. Berger. Statistical inference. Cengage Learning, 2021.
Books
Required: Casella, George, and Roger L. Berger. Statistical inference. Cengage Learning, 2021.
Bibliografia
Testi consigliati:
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
Bibliography
Suggested texts:
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
Modalità di svolgimento
Lezioni e esercitazioni in classe
Teaching methods
Lessons and practices in class
Regolamento Esame
L'esame finale sarà una prova scritta e una prova orale. La prova scritta è composta di esercizi e domande aperte e chiuse di teoria su tutto il programma. Durante il corso gli studenti dovranno risolvere uno o due compiti scritti a casa e ci sarà uno o due test a sorpresa a scelta multipla in aula.
Durante l'esame, si verificherà che lo studente abbia acquisito la capacità di saper formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di verifica di ipotesi). Lo studente sarà valutato per le sue abilità nell'utilizzare le conoscenze acquisite e interpretare criticamente i risultati.
Durante l'esame, si verificherà che lo studente abbia acquisito la capacità di saper formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di verifica di ipotesi). Lo studente sarà valutato per le sue abilità nell'utilizzare le conoscenze acquisite e interpretare criticamente i risultati.
Exam Rules
Final Exam will have a written and an oral part. The written test will consist on exercises and open-ended and multiple choice questions on theory, covering all the program.
During the course students will be ask to solve one or two homework assignments and to
take one o two surprise multiple choice test during the class.
During the exam students are expected to be able to formalize pratical probelms and solve specific analytical problems such as finding and comparing estimators, comparing different inferential methods and implementing hypothesis testing techniques. The students will be evaluated for the ablitity to apply the knowledge learned and to critically interpret the findings.
During the course students will be ask to solve one or two homework assignments and to
take one o two surprise multiple choice test during the class.
During the exam students are expected to be able to formalize pratical probelms and solve specific analytical problems such as finding and comparing estimators, comparing different inferential methods and implementing hypothesis testing techniques. The students will be evaluated for the ablitity to apply the knowledge learned and to critically interpret the findings.
Modalità di frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma fortemente consigliata. La partecipazione attiva in classe è fortemente consigliata.
Attendance Rules
Not compulsory, but strongly recommended. Active class participation is very much appreciated.
EN
IT
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI: Il corso ha come obiettivo la comprensione approfondita dei principali problemi inferenziali, con particolare riguardo alla teoria della stima e della verifica di ipotesi, per piccoli e grandi campioni , con un approccio sia concettuale sia applicato.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Lo studente apprenderà le principali tecniche di inferenza e avere gli strumenti per valutare la bontà dei vari procedimenti.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Alla fine del corso, lo studente avrà acquisito la capacità di saper formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di verifica di ipotesi)
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: Gli studenti sapranno utilizzare le conoscenze acquisite e
interpretare criticamente dati di natura quantitativa, relativi a fenomeni economici e finanziari.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Gli studenti devono acquisire il linguaggio tecnico della statistica e saper comunicare in modo chiaro e senza ambiguità i concetti appresi.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: Gli studenti alla fine del corso dovranno saper formalizzare e risolvere problemi pratici, dimostrando di poter implementare autonomamente il metodo acquisito.
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Lo studente apprenderà le principali tecniche di inferenza e avere gli strumenti per valutare la bontà dei vari procedimenti.
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Alla fine del corso, lo studente avrà acquisito la capacità di saper formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di verifica di ipotesi)
AUTONOMIA DI GIUDIZIO: Gli studenti sapranno utilizzare le conoscenze acquisite e
interpretare criticamente dati di natura quantitativa, relativi a fenomeni economici e finanziari.
ABILITÀ COMUNICATIVE:
Gli studenti devono acquisire il linguaggio tecnico della statistica e saper comunicare in modo chiaro e senza ambiguità i concetti appresi.
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: Gli studenti alla fine del corso dovranno saper formalizzare e risolvere problemi pratici, dimostrando di poter implementare autonomamente il metodo acquisito.
Learning Objectives
LEARNING OUTCOMES:
The course is designed to provide an in-depth knowledge of the main aspects of statistical inference (point estimation and hypothesis testing), both from a conceptual and a technical point of view. Tecniques for small and large samples will be provided.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING: The student is expected to learn the main inferential tecniques and to acquire the tools to evaluate the goodness of the different methods.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
At the end of the course the student will be able to formalize pratical probelms and solve specific analytical problems such as finding and comparing estimators, comparing different inferential methods and implementing hypotheis testing tecniques.
MAKING JUDGEMENTS:
At the end of the course, the students will be able to apply the knowledge learned and to critically interpret quantitative data related to economic and financial phenomena.
COMMUNICATION SKILLS:
Students will acquire the technical language typical of statistics and be able to comunicate in a clear and unambiguous way the concepts learned during the course.
LEARNING SKILLS:
At the end of the course the students will be able to formalize and to solve pratical problems, showing to be able to implement independently the methods learned.
The course is designed to provide an in-depth knowledge of the main aspects of statistical inference (point estimation and hypothesis testing), both from a conceptual and a technical point of view. Tecniques for small and large samples will be provided.
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING: The student is expected to learn the main inferential tecniques and to acquire the tools to evaluate the goodness of the different methods.
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
At the end of the course the student will be able to formalize pratical probelms and solve specific analytical problems such as finding and comparing estimators, comparing different inferential methods and implementing hypotheis testing tecniques.
MAKING JUDGEMENTS:
At the end of the course, the students will be able to apply the knowledge learned and to critically interpret quantitative data related to economic and financial phenomena.
COMMUNICATION SKILLS:
Students will acquire the technical language typical of statistics and be able to comunicate in a clear and unambiguous way the concepts learned during the course.
LEARNING SKILLS:
At the end of the course the students will be able to formalize and to solve pratical problems, showing to be able to implement independently the methods learned.
Prerequisiti
È necessario aver seguito un buon programma sia di matematica sia di statistica a livello di laurea triennale. Gli studenti devono avere familiarità con i concetti di matematica (tra cui la connessione tra funzione esponenziale e logaritmica), calcolo di base (derivate e integrali) concetti elementari di probabilità e statistica (esempio:
statistica descrittiva, variabili aleatorie univariate e multivariate, indipendenza tra variabili aleatorie, distribuzione gaussiana e concetti basi di inferenza)
statistica descrittiva, variabili aleatorie univariate e multivariate, indipendenza tra variabili aleatorie, distribuzione gaussiana e concetti basi di inferenza)
Prerequisites
The student should have covered the material of a good undergraduate program both in mathematics and in statistics. Students should be comfortable with algebra (including the connection between logarithms and exponents), basic calculus (derivatives and integration), basic concepts of probability and statistics (e.g. descriptive statistics, probability and sample spaces, independence, random variables: univariate and multivariate, Gaussian distribution, basic concept of estimation).
Programma
Il Programma si articola in 3 aree tematiche:
Variabili aleatorie campionarie e Statistiche
Stima puntuale e intervallare
Verifica di ipotesi: criteri e costruzione di test ottimali
In particolare verranno affrontati i seguenti argomenti:
Breve richiamo probabilità
- Variabili aleatorie multiple. Richiamo teoria asintotica
- Campionamento e distribuzioni campionarie
Sufficienza e Principio di verosimiglianza
Inferenza e stima puntuale
-Proprietà degli stimatori per piccoli e grandi campioni
- Errore Quadratico Medio. Stimatori UMVUE
- Metodi di Stima: metodo dei momenti
- Metodo della massima verosimiglianza
- Stimatori di massima verosimiglianza
-Confronto tra stimatori
- Stimatori Bayesiani
Intervalli di confidenza
Verifica di ipotesi Test ottimi.
- Lemma di Neyman-Pearson
- Test del rapporto di verosimiglianza
- Test asintotici:Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
Approccio del p-value alla verifica di ipotesi
- Inferenza Nonparametrica
Variabili aleatorie campionarie e Statistiche
Stima puntuale e intervallare
Verifica di ipotesi: criteri e costruzione di test ottimali
In particolare verranno affrontati i seguenti argomenti:
Breve richiamo probabilità
- Variabili aleatorie multiple. Richiamo teoria asintotica
- Campionamento e distribuzioni campionarie
Sufficienza e Principio di verosimiglianza
Inferenza e stima puntuale
-Proprietà degli stimatori per piccoli e grandi campioni
- Errore Quadratico Medio. Stimatori UMVUE
- Metodi di Stima: metodo dei momenti
- Metodo della massima verosimiglianza
- Stimatori di massima verosimiglianza
-Confronto tra stimatori
- Stimatori Bayesiani
Intervalli di confidenza
Verifica di ipotesi Test ottimi.
- Lemma di Neyman-Pearson
- Test del rapporto di verosimiglianza
- Test asintotici:Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
Approccio del p-value alla verifica di ipotesi
- Inferenza Nonparametrica
Program
Topics include: random sampling; principles of data reduction; point estimation; hypothesis
testing; confidence intervals.
In Particular the following topics will be covered::
Brief review of probability:
-Random samples and asymptotic methods
-Sampling and sums of random variables
-Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction: Sufficiency
The Likelihood Principle: the Likelihood Function
Point Estimation
-Methods of Finding Estimators: Methods of Moments,
-Maximum Likelihood Estimators.
-Finite Sample Properties: Unbiasedness and Efficiency.
-Asymptotic Properties: Asymptotic Unbiasedness, Consistency
and Efficiency.
Comparison betweene stimators
Bayesian estimators
-Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
Confidence Intervals
Hypothesis Testing
-Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
-Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
-Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
-The p-value.
Nonparametric Inference
testing; confidence intervals.
In Particular the following topics will be covered::
Brief review of probability:
-Random samples and asymptotic methods
-Sampling and sums of random variables
-Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction: Sufficiency
The Likelihood Principle: the Likelihood Function
Point Estimation
-Methods of Finding Estimators: Methods of Moments,
-Maximum Likelihood Estimators.
-Finite Sample Properties: Unbiasedness and Efficiency.
-Asymptotic Properties: Asymptotic Unbiasedness, Consistency
and Efficiency.
Comparison betweene stimators
Bayesian estimators
-Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
Confidence Intervals
Hypothesis Testing
-Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
-Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
-Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
-The p-value.
Nonparametric Inference
Testi Adottati
Testo richiesto: Casella, George, and Roger L. Berger. Statistical inference. Cengage Learning, 2021.
Books
Required: Casella, George, and Roger L. Berger. Statistical inference. Cengage Learning, 2021.
Bibliografia
Testi consigliati::
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
Bibliography
Suggested texts:
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
K. Knight. Mathematical statistics. Chapman Hall/CRC (2000).
N. Mukhopadhyay. Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press (2000).
T. H. Wonnacott and R. J. Wonnacott. Statistics: Discovering Its Power. John Wiley
Sons; International Ed edition (1982).
A. Mood, F. Graybill and D. Boes. Introduction to the theory of statistics, McGraw-Hill (1974).
Modalità di svolgimento
La frequenza non è obbligatoria ma fortemente consigliata. La partecipazione attiva in classe è fortemente consigliata.
Teaching methods
Not compulsory, but strongly recommended. Active class participation is very much appreciated.
Regolamento Esame
L'esame finale sarà una prova scritta e una prova orale. La prova scritta è composta di esercizi e domande aperte e chiuse di teoria su tutto il programma. Durante il corso gli studenti dovranno risolvere uno o due compiti scritti a casa e ci sarà uno o due test a sorpresa a scelta multipla in aula.
Durante l'esame, si verificherà che lo studente abbia acquisito la capacità di saper formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di verifica di ipotesi). Lo studente sarà valutato per le sue abilità nell'utilizzare le conoscenze acquisite e interpretare criticamente i risultati.
Durante l'esame, si verificherà che lo studente abbia acquisito la capacità di saper formalizzare problemi pratici e di risolvere quesiti analitici specifici (ad. es.: determinare e confrontare stimatori, confrontare differenti metodi inferenziali, implementare metodi di verifica di ipotesi). Lo studente sarà valutato per le sue abilità nell'utilizzare le conoscenze acquisite e interpretare criticamente i risultati.
Exam Rules
Final Exam will have a written and an oral part. The written test will consist on exercises and open-ended and multiple choice questions on theory, covering all the program.
During the course students will be ask to solve one or two homework assignments and to
take one o two surprise multiple choice test during the class.
During the exam students are expected to be able to formalize pratical probelms and solve specific analytical problems such as finding and comparing estimators, comparing different inferential methods and implementing hypotheis testing tecniques. The students will be evaluated for the ablitity to apply the knowledge learned and to critically interpret the findings.
During the course students will be ask to solve one or two homework assignments and to
take one o two surprise multiple choice test during the class.
During the exam students are expected to be able to formalize pratical probelms and solve specific analytical problems such as finding and comparing estimators, comparing different inferential methods and implementing hypotheis testing tecniques. The students will be evaluated for the ablitity to apply the knowledge learned and to critically interpret the findings.
EN
IT
Updated A.Y. 2021-2022
Il corso introduce i principi e gli strumenti fondamentali per l'inferenza statistica. Gli argomenti principali sono: campionamento e statistiche campionarie, sufficienza, stima puntuale con particolare attenzione alla verosimiglianza e stima intervallare, verifica di ipotesi e cenni di statistica non parametrica.
In Particolare:
Richiami di Probabilità,
Statistiche campionarie e teoria asintotica: teorema limite centrale
La sufficienza: famiglia esponenaziale e statistiche sufficienti, teorema di fattorizzazione, principio di vermosimiglianza
La stima puntuale: metodi per trovare gli stumatori: metodo dei momenti, massima verosimiglianza, metodo dei minimi quadrati
Propirietà degli stimatori: consistenza, efficienza, stimatori a minima varianza, informazione di Fisher, Teorema di Cramer Rao
Verifica di ipotesi: Teorema di Neyman Pearson, Funzione di potenza, p-value
Test asintotici: Likelihood Ratio Tests, Score Test e Wald Test,
Cenni di Statistica Bayesiana
Cenni di stima non parametrica: Kolmogorov-Smirnov Test
Updated A.Y. 2021-2022
The course is an introduction to the fundamental principles and tools of statistical inference, i.e. how to draw conclusions from
data subject to random variation. Topics include: random sampling; principles of data reduction; point and interval estimation (likelihood theory); hypothesis testing; con fidence intervals and notes on nonparametric inference.
In Particular:
Brief review of probability
Random samples and asymptotic methods
- Sampling and sums of random variables
- Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction
The Likelihood Principle: the Likelihood Function.
Point Estimation
- Methods of Finding Estimators: Methods of Moments, Maximum Likelihood Estimators
- Evaluation of estimators: Unbiasedness, Consistency, Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
- Confidence Intervals
Hypothesis Testing
- Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
- Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
- Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
- The p-value.
Notes on Bayesian Inference
Non Parametric Inference
- Kolmogorov-Smirnov Test
EN
IT
Updated A.Y. 2020-2021
Il corso introduce i principi e gli strumenti fondamentali per l'inferenza statistica. Gli argomenti principali sono: campionamento e statistiche campionarie, sufficienza, stima puntuale con particolare attenzione alla verosimiglianza e stima intervallare, verifica di ipotesi e cenni di statistica non parametrica.
In Particolare:
Richiami di Probabilità,
Statistiche campionarie e teoria asintotica: teorema limite centrale
La sufficienza: famiglia esponenaziale e statistiche sufficienti, teorema di fattorizzazione, principio di vermosimiglianza
La stima puntuale: metodi per trovare gli stumatori: metodo dei momenti, massima verosimiglianza, metodo dei minimi quadrati
Propirietà degli stimatori: consistenza, efficienza, stimatori a minima varianza, informazione di Fisher, Teorema di Cramer Rao
Verifica di ipotesi: Teorema di Neyman Pearson, Funzione di potenza, p-value
Test asintotici: Likelihood Ratio Tests, Score Test e Wald Test,
Cenni di Statistica Bayesiana
Cenni di stima non parametrica: Kolmogorov-Smirnov Test
Updated A.Y. 2020-2021
The course is an introduction to the fundamental principles and tools of statistical inference, i.e. how to draw conclusions from
data subject to random variation. Topics include: random sampling; principles of data reduction; point and interval estimation (likelihood theory); hypothesis testing; con fidence intervals and notes on nonparametric inference.
In Particular:
Brief review of probability
Random samples and asymptotic methods
- Sampling and sums of random variables
- Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction
The Likelihood Principle: the Likelihood Function.
Point Estimation
- Methods of Finding Estimators: Methods of Moments, Maximum Likelihood Estimators
- Evaluation of estimators: Unbiasedness, Consistency, Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
- Confidence Intervals
Hypothesis Testing
- Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
- Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
- Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
- The p-value.
Notes on Bayesian Inference
Non Parametric Inference
- Kolmogorov-Smirnov Test
EN
IT
Updated A.Y. 2019-2020
Il corso introduce i principi e gli strumenti fondamentali per l'inferenza statistica. Gli argomenti principali sono: campionamento e statistiche campionarie, sufficienza, stima puntuale con particolare attenzione alla verosimiglianza e stima intervallare, verifica di ipotesi e cenni di statistica non parametrica.
In Particolare:
Richiami di Probabilità,
Statistiche campionarie e teoria asintotica: teorema limite centrale
La sufficienza: famiglia esponenaziale e statistiche sufficienti, teorema di fattorizzazione, principio di vermosimiglianza
La stima puntuale: metodi per trovare gli stumatori: metodo dei momenti, massima verosimiglianza, metodo dei minimi quadrati
Propirietà degli stimatori: consistenza, efficienza, stimatori a minima varianza, informazione di Fisher, Teorema di Cramer Rao
Verifica di ipotesi: Teorema di Neyman Pearson, Funzione di potenza, p-value
Test asintotici: Likelihood Ratio Tests, Score Test e Wald Test,
Cenni di Statistica Bayesiana
Cenni di stima non parametrica: Kolmogorov-Smirnov Test
Updated A.Y. 2019-2020
The course is an introduction to the fundamental principles and tools of statistical inference, i.e. how to draw conclusions from
data subject to random variation. Topics include: random sampling; principles of data reduction; point and interval estimation (likelihood theory); hypothesis testing; con fidence intervals and notes on nonparametric inference.
In Particular:
Brief review of probability
Random samples and asymptotic methods
- Sampling and sums of random variables
- Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction
The Likelihood Principle: the Likelihood Function.
Point Estimation
- Methods of Finding Estimators: Methods of Moments, Maximum Likelihood Estimators
- Evaluation of estimators: Unbiasedness, Consistency, Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
- Confidence Intervals
Hypothesis Testing
- Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
- Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
- Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
- The p-value.
Notes on Bayesian Inference
Non Parametric Inference
- Kolmogorov-Smirnov Test
EN
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Updated A.Y. 2018-2019
Il corso introduce i principi e gli strumenti fondamentali per l'inferenza statistica. Gli argomenti principali sono: campionamento e statistiche campionarie, sufficienza, stima puntuale con particolare attenzione alla verosimiglianza e stima intervallare, verifica di ipotesi e cenni di statistica non parametrica.
In Particolare:
Richiami di Probabilità,
Statistiche campionarie e teoria asintotica: teorema limite centrale
La sufficienza: famiglia esponenaziale e statistiche sufficienti, teorema di fattorizzazione, principio di vermosimiglianza
La stima puntuale: metodi per trovare gli stumatori: metodo dei momenti, massima verosimiglianza, metodo dei minimi quadrati
Propirietà degli stimatori: consistenza, efficienza, stimatori a minima varianza, informazione di Fisher, Teorema di Cramer Rao
Verifica di ipotesi: Teorema di Neyman Pearson, Funzione di potenza, p-value
Test asintotici: Likelihood Ratio Tests, Score Test e Wald Test,
Cenni di Statistica Bayesiana
Cenni di stima non parametrica: Kolmogorov-Smirnov Test
Updated A.Y. 2018-2019
The course is an introduction to the fundamental principles and tools of statistical inference, i.e. how to draw conclusions from
data subject to random variation. Topics include: random sampling; principles of data reduction; point and interval estimation (likelihood theory); hypothesis testing; con dence intervals and notes on nonparametric inference.
In Particular:
Brief review of probability
Random samples and asymptotic methods
- Sampling and sums of random variables
- Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction
The Likelihood Principle: the Likelihood Function.
Point Estimation
- Methods of Finding Estimators: Methods of Moments, Maximum Likelihood Estimators
- Evaluation of estimators: Unbiasedness, Consistency, Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
- Confidence Intervals
Hypothesis Testing
- Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
- Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
- Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
- The p-value.
Notes on Bayesian Inference
Non Parametric Inference
- Kolmogorov-Smirnov Test
EN
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Updated A.Y. 2017-2018
Il corso introduce i principi e gli strumenti fondamentali per l'inferenza statistica. Gli argomenti principali sono: campionamento e statistiche campionarie, sufficienza, stima puntuale con particolare attenzione alla verosimiglianza e stima intervallare, verifica di ipotesi e cenni di statistica non parametrica.
In Particolare:
Richiami di Probabilità,
Statistiche campionarie e teoria asintotica: teorema limite centrale
La sufficienza: famiglia esponenaziale e statistiche sufficienti, statistiche sufficienti minimale, teorema di fattorizzazione, principio di vermosimiglianza
La stima puntuale: metodi per trovare gli stumatori: metodo dei momenti, massima verosimiglianza
Propirietà degli stimatori: consistenza, efficienza, stimatori a minima varianza, informazione di Fisher, Teorema di Cramer Rao
Verifica di ipotesi: Teorema di Neyman Pearson, Likelihood Ratio Tests, Score Test e Wald Test, Funzione di potenza, p-value
Cenni di Statistica Bayesiana
Cenni di stima non parametrica: Kolmogorov-Smirnov Test
Updated A.Y. 2017-2018
The course is an introduction to the fundamental principles and tools of statistical inference, i.e. how to draw conclusions from
data subject to random variation. Topics include: random sampling; principles of data reduction; point and interval estimation (likelihood theory); hypothesis testing; con dence intervals and nonparametric inference.
In Particular:
Brief review of probability
Random samples and asymptotic methods
- Sampling and sums of random variables
- Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction
The Likelihood Principle: the Likelihood Function.
Point Estimation
- Methods of Finding Estimators: Methods of Moments, Maximum Likelihood Estimators
- Evaluation of estimators: Unbiasedness, Consistency, Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
- Confidence Intervals
Hypothesis Testing
- Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
- Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
- Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
- The p-value.
Notes on Bayesian Inference
Non Parametric Inference
- Kolmogorov-Smirnov Test
EN
IT
Updated A.Y. 2016-2017
Il corso introduce i principi e gli strumenti fondamentali per l'inferenza statistica. Gli argomenti principali sono: campionamento e statistiche campionarie, sufficienza, stima puntuale con particolare attenzione alla verosimiglianza e stima intervallare, verifica di ipotesi e cenni di statistica non parametrica.
In Particolare:
Richiami di Probabilità,
Statistiche campionarie e teoria asintotica: teorema limite centrale
La sufficienza: famiglia esponenaziale e statistiche sufficienti, statistiche sufficienti minimale, teorema di fattorizzazione, principio di vermosimiglianza
La stima puntuale: metodi per trovare gli stumatori: metodo dei momenti, massima verosimiglianza
Propirietà degli stimatori: consistenza, efficienza, stimatori a minima varianza, informazione di Fisher, Teorema di Cramer Rao
Verifica di ipotesi: Teorema di Neyman Pearson, Likelihood Ratio Tests, Score Test e Wald Test, Funzione di potenza, p-value
Cenni di Statistica Bayesiana
Cenni di stima non parametrica: Kolmogorov-Smirnov Test
Updated A.Y. 2016-2017
The course is an introduction to the fundamental principles and tools of statistical inference, i.e. how to draw conclusions from
data subject to random variation. Topics include: random sampling; principles of data reduction; point and interval estimation (likelihood theory); hypothesis testing; con dence intervals and nonparametric inference.
In Particular:
Brief review of probability
Random samples and asymptotic methods
- Sampling and sums of random variables
- Laws of large numbers and central limit theorem
Principles of Data Reduction
- The Sufficiency Principle
- Exponential family and Suciency.
- Minimal Sucient Statistics.
- Factorization theorem
- The Likelihood Principle: the Likelihood Function.
Point Estimation
- Methods of Finding Estimators: Methods of Moments, Maximum Likelihood Estimators
- Evaluation of estimators: Unbiasedness, Consistency, Fisher Information and the Cramer-Rao theorem.
- Confidence Intervals
Hypothesis Testing
- Methods of Finding Tests: Neyman Pearson lemma
- Large sample tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
- Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most Powerful Tests.
- The p-value.
Notes on Bayesian Inference
Non Parametric Inference
- Kolmogorov-Smirnov Test
Updated A.Y. 2015-2016
Updated A.Y. 2015-2016
The course is an introduction to the fundamental principles and tools of statistical inference, i.e. how to draw conclusions from data subject to random variation.
Topics include: random sampling; principles of data reduction; point estimation; hypothesis testing; con dence intervals.
In Particular:
-
Principles of Data Reduction
- The Suciency Principle: Exponential family, Sucient,
- Ancillary and Complete Statistics.
- Minimal Sucient Statistics.
- The Likelihood Principle: the Likelihood Function.
-
Point Estimation
- Methods of Finding Estimators: Methods of Moments,
- Maximum Likelihood Estimators, the EM Algorithm.
- Methods of Evaluating Estimators: Mean Squared Error,
- Uniform Minimum Variance Estimators, Fisher Information,Loss Function.
-
Hypothesis Testing
- Methods of Finding Tests: Likelihood Ratio Tests, Score Test, Wald Test
- Methods of Evaluating Tests: the Power Function, Most
- Powerful Tests, Loss Function.
- The p-value.
- Notes on Bayesian Inference
-
Non Parametric Inference
- Kolmogorov-Smirnov Test
Updated A.Y. 2014-2015
Updated A.Y. 2014-2015
DETAILED PROGRAM
Random Sample and Exponential family October 6
Sufficiency October 7
Tutorials October 7
Sufficiency October 8
Methods of Evaluating Estimators October 10
Mean Squared Error, Uniform Minimum Variance Estimators October 13
Methods of finding estimator :method of moments October 14
Maximum Likelihood Estimators
Tutorials October 15
Exercise October 17
Maximum Likelihood Estimators October 20
Bayesian Estimation October 21
Tutorials October 21
Confidence Intervals October 22
Hypothesis Testing: Methods of Finding Tests October 24
Neyman-Pearson Lemma October 27
Likelihood Ratio test October 28
Tutorials October 28
Score/wald test October 29
Nonparametric Inference October 30
Nonparametric Inference October 30
Exercise October 31